Pembahasan AM

MENYELESAIKAN PERSAMAAN NILAI MUTLAH

Contoh soal :

|3x - 3| = 9
Untuk 9 = (-) maka 3x – 3 = -9

3x = -9 + 3
3x = -6

x = -2

Himpunan penyelesaian dari
|3x - 3| = 9 adalah …

Jawab :
|3x - 3| = 9
Untuk 9 = (+) maka 3x – 3 = 9

3x = 9 + 3
3x = 12

x = 4

Jadi HP adalah { -2,3}

MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAH

Contoh soal :

|3x - 3| > 9
Untuk 9 = (-) maka 3x – 3 > -9

3x > -9 + 3
3x > -6

x < -2

Himpunan penyelesaian dari
|3x - 3| > 9 adalah …

Jawab :
|3x - 3| > 9
Untuk 9 = (+) maka 3x – 3 > 9

3x > 9 + 3
3x > 12

x > 4

Jadi HP adalah { x < -2 atau x > 4}

MENYELESAIKAN SPLTV

Contoh soal :

Substitusikan nilai y dan z ke
persamaan terakhir yaitu :
2x + y + 2z = 5
2x + (-9) + 2(3) = 5
2x -9 + 6 = 5
2x = 5 + 3 ↔ 2x = 8 ↔ x = 4

Maka nilai dari
x + y + z =
4 + (-9) + 3 = -2

ቐ

2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5

𝑦 − 𝑧 = −12

2𝑧 = 6

Nilai dari x + y + z adalah …
Jawab :
Pilih persamaan yang mengandung 1
variable yaitu :
2z = 6 maka z = 3

Pilih persamaan yang mengandung 2
variable yaitu :
y - z = -12 maka substitusikan z = 3
Sehingga y – 3 = -12

y = -12 + 3 ↔ y = -9

FUNGSI KOMPOSISI

Contoh soal :

Mengenal istilah dalam fungsi

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥2+
2𝑥 maka 𝑔𝑜𝑓

𝑥 adalah …

Jawab :
𝑔𝑜𝑓

𝑥 = g(f(x))

= g(x - 3)
= (x – 3)2+ 2(x - 3)
= x2- 6x + 9 + 2x – 6
= x2- 4x + 3

Jadi nilai (g o f)(x) = x2- 4x + 3

Fungsi komposisi f dan g ditulis
g o f dan didefinisikan
sebagai (g o f)(x)= g(f(x))
Fungsi komposisi g dan f ditulis
f o g dan didefinisikan
sebagai (f o g)(x)= f(g(x))

SUDUT ISTIMEWA

Contoh soal :
Mengenal Sudut Istimewa
Hasil dari sin 60 − cos 30 + tan 45
adalah …

Jawab :
sin 60 − cos 30 + tan 45 =
=

1
2
3 -

1
2
3 + 1

= 1
Jadi nilai sin 60 − cos 30 + tan 45 =1

Sudut

0

30

45

60

90

Sin

0
1
2

1
2
2
1
2
3
1

Cos

1

1
2
3
1
2
2
1
2

0

Tan

0

1
3
3

1
1
2
3
-

INDUKSI MATEMATIKA

Contoh soal :
Mengenal Sigma (∑)

Nilai dari෍

𝑘8

11

2𝑘 − 9 = …

Jawab :

෍

𝑘8

11

2𝑘 − 9

= (2.8 – 9) + (2.9 – 9) + (2.10 – 9) + (2.11 – 9)
= 16 − 9 + 18 − 9 + 20 − 9 + 22 − 9
= 7 + 9 + 11 + 13
= 40
Jadi nilai σ𝑘8

11 2𝑘 − 9 = 40

෍

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖

Lambang (∑) dibaca sigma
yaitu Notasi Penjumlahan

i = batas bawah
n= batas atas
xi = Fungsi dari penjumlahan

PROGRAM LINIER

Contoh soal :

Berhubungan dengan Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Dua Variabel
Menentukan batas daerah penyelesaian dari dua garis linier dan Sumbu X, Y

Jawab :
Pertidaksamaan garis 1 adalah
12x + 8y < 96 3x + 2y < 24
Pertidaksamaan garis 2 adalah
4x + 12y > 48 x + 3y > 12
x = 6
x > 0 ; y > 0

Jadi HP dari pertidaksamaan daerah
3x + 2y < 24 ; x + 3y > 12 ; x = 6 ; x > 0 ; y > 0

Daerah yang diarsir pada
gambar di atas merupakan
himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan …

MATRIK

Contoh soal :

Perhatikan gambar berikut ∶

Jawab :

(A – B)= 2

−1

3

5
-
3

2

−1

4

=
2 − 3

−1 − 2

3 − −1

5 − 4

= −1

−3

4

1

Jadi nilai (A – B)= −1

−3

4

1

Angka-angka di dalam matrik
disebut elemen

{2, -1, 3} disebut elemen baris ke- 1

{-1, 5, 2} disebut elemen kolom ke- 2

Jika A = 2−1

3

5
, B =
3

2

−1

4, maka nilai (A – B) adalah …

LIMIT FUNGSI

Contoh soal :

Jawab :
lim
𝑥→−22(𝑥2 + 𝑥) = 2( −2 2 + (−2))

= 2(4 − 2)
= 2(2)
= 4

Jadi nilai 2(𝑥2+ 𝑥) =4

Hasil dari lim

𝑥→−22(𝑥2 + 𝑥) adalah …

TRNSFORMASI – TRANSLASI - DILATASI

Contoh Soal :
Diketahui titik P(2,-3) didilatasi dari titik
pusat dengan faktor skala 2
Tentukan bayangannya ?
Jawab :

𝑃 2, −3

[𝑜,2]𝑃′(2.2 , 2. −3)

= 𝑃′(4, −6)
Jadi bayangan dari 𝑃(2, −3) adalah P’(4,-6)

Dilatasi :

𝐴 𝑥, 𝑦

[𝑜,𝑘]𝐴′(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦) untuk pusat O(0,0)

Contoh Soal :
Diketahui titik P(2,-3) ditranslasi (2,3)
Tentukan bayangan titik P ?
Jawab :

𝐴 𝑥, 𝑦

𝑇𝑎

𝑏 𝐴′(𝑥 + 𝑎 , 𝑦 + 𝑏)

𝑃 2, −3

𝑇 2

3 𝑃′(2 + 2 , −3 + 3)

𝑃 2, −3

𝑇2

3 𝑃′(4 , 0)

Jadi bayangan dari 𝑃(2, −3) adalah
P’(4,0)

Translasi :

𝐴 𝑥, 𝑦

𝑇 𝑎

𝑏 𝐴′(𝑥 + 𝑎 , 𝑦 + 𝑏)

𝐴 𝑥, 𝑦

[(𝑎,𝑏),𝑘]𝐴′(𝑘 𝑥 − 𝑎 + 𝑎 , 𝑘 𝑦 − 𝑏 + 𝑏)

untuk pusat O(0,0)

𝐴 𝑥, 𝑦

[𝑜,𝑘]𝐴′(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦) untuk pusat O(0,0)

DIMENSI 3

Garis Sejajar :
Jika kedua garis terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik persekutuan
Garis berpotongan :
Jika kedua garis terletak pada bidang yang sama dan mempunyai satu titik persekutuan
Garis Bersilang :
Jika kedua garis tidak terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik persekutuan
Bidang Sejajar :
Jika kedua bidang tersebut tidak mempunyai garis persekutuan
Bidang Berpotongan :
Jika kedua bidang tersebut mempunyai garis persekutuan

Garis AB//DC//HG//EF
Garis AB berpotongan dengan AE dititik A
Bidang ABCD // bidang EFGH

Jarak 𝐶𝐹 =

𝐶𝐺2+ 𝐺𝐹2

STATISTIK

Ukuran Pemusatan Data:
Mean, Median, Modus
Ukuran Letak Data :
Kuartil, Desil, Presentil
Ukuran Penyebaran Data :
Jangkauan, Hamparan, Simpangan Kuartil, Simpangan Rata-rata, Ragam dan Simpangan Baku
Distribusi Frekuensi Berkelompok :
Interval Kelas, Batas Kelas, Tepi Kelas, Panjang Kelas, dan Titik Tengah
Contoh Soal :
Diketahui data 9, 10, 15, 8, 13, 12, 11, 14, 10
Tentukan mean, median, dan modus dari data tersebut !
Jawab :
Mean = (9 +10 + 15 + 8 + 13 + 12 + 11 + 14 + 10)/9 Median = 8, 9, 10, 10, 11 12, 13, 14, 15

= 102/9 = 11
= 11,33

Modus nya adalah 10
Jadi Mean. Median dan Modus adalah 11,33 ; 11 ; 10

KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah Perkalian:
Jika ingin memilih secara kombinasi dari suatu
keadaan/kasus yang mungkin terjadi
Contoh :
Zahra memiliki 3 buah kemeja dan 4 buah rok,
berapa cara yang bisa Zahra pilih jika dia ingin
memakai kemeja dan rok tersebut secara
bersamaan ?
Jawab :
Kemeja = 3
Rok = 4
Maka banyaknya cara yang dipilih Zahra
adalah 3 x 4 = 12 cara

Kaidah Penjumlahan:
Jika ingin memilih salah satu dari suatu
keadaan/kasus yang mungkin terjadi
Contoh :
Bintang memiliki 3 buah tas ransel dan 4 buah
tas selempang, berapa cara yang bisa
Bintang pilih jika dia ingin memilih salah satu
dari tas tersebut ?
Jawab :
Ransel = 3
Selempang = 4
Maka banyaknya cara yang dipilih Bintang
adalah 3 + 4 = 7 cara

KAIDAH PENCACAHAN

Permutasi:
-Mengatur objek secara berurutan

-Relevan

-Ciri pertanyaan :
Cara menyusunnya
Banyaknya susunan
Pemilihan pengurus, Juara dll

Rumus Permutasi :

Permutasi dengan unsur yang sama :

Permutasi Siklis :

𝑛𝑃𝑟 =
𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

𝑃 = 𝑛!

𝑝! 𝑞!

𝑃 = 𝑛 − 1 !

Kombinasi:
-Mengatur objek tanpa berurutan

-Tidak Relevan

-Ciri pertanyaan :
Banyaknya kelompok berbeda
Banyaknya cara memilih/mengambil
Pemilihan bola merah dan kuning dll

Rumus Kombinasi :

Kombinasi 2 jenis (mengandung kata “dan”) :

Maka Kombinasinya :
= 𝑛𝐶𝑟 1 𝑥 𝑛𝐶𝑟 2

𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

𝑛𝐶𝑟 1 =
𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
𝑛𝐶𝑟 2 =
𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

KAIDAH PENCACAHAN

Contoh Soal Permutasi:
Sebuah keluarga terdiri atas 6 orang akan
berfoto bersama Berapa cara posisi meraka
berfoto jika berdiri sejajar ?
Jawab :

Banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk
dari kata WAHANA ?
Jawab :

5 karyawan akan mengadakan rapat dengan
mengelilingi meja bundar. Berapa cara
mereka dapat duduk dengan posisi yang
berbeda ?

𝑛𝑃𝑟 =
𝑛!

(𝑛−𝑟)!
↔

6𝑃1 =
6!

(6−1)!
↔

𝑃 =6!

5!= 6 cara

𝑃 = 𝑛 − 1 ! ↔ 𝑃 = 5 − 1 ! ↔ 𝑃 = 4!
𝑃 = 4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1 = 24 cara

Contoh Soal Kombinasi:
Sebuah toko mempunyai 8 macam bunga.
Berapa cara merangkai bunga, jika
rangkainnya terdiri atas 5 macam bunga ?
Jawab :

Dalam sebuah kotak terdapat 7 bola merah
dan 4 bola putih. Akan diambil 4 boa
sekaligus. Tentukan banyaknya cara
terambilnya 2 bola merah dan 2 bola putih ?
Jawab :

Maka banyaknya kombinasi : 21 x 6 = 126 cara

𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)!
↔ 8𝐶5 =
8!

5!(8−5)!↔ 𝐶 =
8!
5!3!

𝐶 =6 𝑥 7 𝑥 8

3 𝑥 2 𝑥 1= 56 cara

7𝐶2 1 =
7!

2!(7−2)!= 7!

2!5!= 6 𝑥 7

2𝑥 1= 3 𝑥 7 = 21 cara

4𝐶2 2 =
4!

2! (4 − 2)!

𝑃 =
𝑛!
𝑝!𝑞!
↔

𝑃 =6!

3!
↔

𝑃 = 4 𝑥 5 𝑥 6 = 120 cara

4𝐶2 1 =
4!

2!(4−2)!= 4!

2!2!= 3 𝑥 4

2𝑥 1= 3 𝑥 2 = 6 cara

PELUANG KEJADIAN

Percobaan:
Kegiatan yang dilakukan dari suatu kejadian
Ruang Sampel:
Himpunan yang dihasilkan dari suatu kejadian
dan dinyatakan dalam “S = { }”
Titik Sampel:
Jumlah anggota dari ruang sampel “n(S)”

Contoh :
Pelemparan sebuah dadu, maka :
Ruang sampel = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Titik sampel = n(S) = 6

Ruang sampel :
S = { GG, GA, AG, AA}
Titik sampel :
n(S) = 4

Peluang Kejadian “P(A)”:
Sebuah toko mempunyai 8 macam bunga.
Berapa cara merangkai bunga, jika
rangkainnya terdiri atas 5 macam bunga ?

Peluang kejadian berlaku 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

Contoh :
Pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang
munculnya mata dadu 5 ?
Jawab :
n(A) = {5} = 1
n(S) = 6

Jadi peluang munculnya angka 5 adalah

1
6

𝑝(𝐴) =

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛=

𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)

Uang 1
Uang 2
G

A

G

GG

GA

A

AG

AA
𝑝(𝐴) = 1

6

PELUANG KEJADIAN

Frekuensi Harapan :
Banyaknya kejadian yang diharapkan dalam
beberapa kali percobaan.
𝐹ℎ 𝐴 = 𝑛 𝑥 𝑃(𝐴)

Contoh :
Pelemparan 2 buah dadu sebanyak 180 kali,
tentukan peluang dadu berjumlah 8 ?
Jawab :
n = 180
P(A) =

5
36

𝐹ℎ 𝐴 = 𝑛 𝑥 𝑃(𝐴)
𝐹ℎ 𝑑𝑎𝑑𝑢 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 8 = 180 𝑥

5
36= 25

Jadi frekuensi harapan munculnya dadu
berjumlah 8 dalam 100 kali percobaan adalah
25 kali

Peluang Kejadian Majemuk tidak saling lepas :

Peluang Kejadian Majemuk saling lepas :

𝑃 𝐴 = Peluang kejadian A
𝑃 𝐵 = Peluang kejadian B
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = Peluang kejadian A atau B
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = Peluang kejadian A dan B

Contoh :
Pelemparan dua buah dadu bersama-sama,
tentukan peluang munculnya mata dadu
berjumlah 8 atau 10 ?
Jawab :
P(8) =

5
36
 P(10) =

3
36

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴 ↔ =

5
36+

3
36=

8
36=

2
9

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴