BAHAN AJAR

Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT. Atas berkat dan rahmatnya sehingga

bahan ajar matematika dengan materi Persamaan kuadrat ini dapat kita gunakan untuk

pembelajaran. Bahan ajar ini dibuat untuk memenuhi kebutuhan belajar bagi para siswa SMK

Kelas X dan sebagai pelengkap bagi guru matematika. Setiap kompetensi yang ada di dalam

buku ini disampaikan dengan cara yang mudah dipahami oleh para siswa. Untuk mempelajari

bahan ajar ini, anda harus mengingat kembali beberapa materi penting yang pernah anda

pelajari sebelumnya.

Cakupan materi bahan ajar ini meliputi pengertian, pemahaman, dan keterampilan.

Oleh karena itu, selain dijelaskan tentang pengertian, juga diberikan contoh-contoh soal, uji

komptensi, tugas dan rangkuman. Keseriusan anda dalam mempelajari bahan ajar ini

menjadi kunci keberhasilan anda. Pemahaman anda terhadap materi bahan ajar ini akan

bermanfaat untuk mempelajari matematika di tingkat yang lebih tinggi maupun dalam mata

pelajaran lain, seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Kompetensi dasar materi bahan ajar ini

adalah melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan

persamaan kuadrat.

Dibagian akhir kompetensi ini diberikan tes formatif yang soalnya berbentuk pilihan

ganda mengacu kepada kompetensi yang ada pada bahan ajar. Setelah mempelajari materi ini,

melalui kegiatan pembelajaran menggunakan metode problem based learning yang

dipadukan dengan metodediskusi kelompok, tanya jawab, dan penugasan peserta didik

diharapkan mampu :

1.Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, melengkapi

kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus ABC.

2.Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

3.Menerapkan konsep dan strategi pemecahan masalah yang relevan berkaitan

dengan persamaan kuadrat.

Kritik dan saran selalu saya harapkan dari para siswa, guru, dan pembaca yang

budiman, demi perbaikan bahan ajar ini kedepan. Semoga amal ibadah kita diterima oleh

Allah SWT. Aaminn..

Padangsidempuan, Januari 2024

KATA PENGANTAR

i

Omar Khayyan meneruskan tradisi aljabar a-Khawarizmi dengan memberikan

persamaan sampai pangkat tiga. Seperti pendahulunya, Omar Khayyan melengkapi dengan

persamaan kuadrat baik untuk solusi araitmatika maupun sousi geoetri. Untuk persamaan-

persamaan umum pangkat tiga dipercayainya bahwa solusi untuk aritmatika adalah tidak

mungkin (kelak pada abad lima belas dibuktikan bahwa pernyataan ini salah ), sehingga dia

hanya memberi solusi geometri.

Gambar kerucut yang dipoton untuk menyelesaikan persamaan pangkat dua sudah

pernah dipakai oleh Menaechmus, Archimedes, dan Alhazen. Namun,Omar Khayyam

mengambil cara lebih elegan dengan melakukan generalisasi metode guna mencakup

persamaan-persamaan pangkat tiga, Omar Khyayyam toidak dapat memberikan gambaran

dengan menggunakan metode geometri yang sama. Dianggap bahwa tidak da dimensi lebih

dari tiga, “Apa yang disebut dengan kuadrat dikuadratkan oleh para ahli aljabar, memberi

daya tarik dari sisi teoritis”.

Untuk lebih memudahkan uraian diberikan contoh persamaan : x2 + ax2 +b2x + c3 = 0

, kemudian, dengan tehnik subsitusi, mengganti, x2 = 2py akan diperolejh 2pxy +2apy + b2x

+c3 = 0. Hasilnya dari persamaan ini adalah hiperbola dan variable untuk melakukan

subsitusi, x2 = 2py, adalah parabola. Tampak jelas disini bahwa hiperbola digambar bersama-

sama dengan parabola pada (sistem) ordinat yang sama, sedangkan absis merupakan titik-titik

perpoyongan parabola dan hiperbola, adalah hasil akar persamaan kuadrat. Dia belum

menjeleaskan tentang koefisien negatif. Niatnya memecahkan masalah berdasarkan

parameter a, b, c adalah bilangan positif, negatif atau nol. Tidak semua akar dari persamaan

kuadrat diketahui, karena dia tidak mengetahui akar bilangan negatif.

Omar Khayyam

Tokoh Matematka

Omar Khayyan lahir 18 Mei 1048 di Nishapur di Timur laut Iran.

Pada usia muda ia pindah ke Samarkand dan memperoleh pendidikan

disana. Setelah itu ia pindah ke Bukhara dan berhasil menjadi

matematikawan besar dan astronom dari periode abad pertengahan.

Dia adalah penulis dari salah satu risalah yang paling penting pada

aljabar dan ditulis sebelum zaman modern, Treatise on Demonstrasi

Masalah

Aljabar,

yang

mencakup

metode

geometri

untuk

memecahkan persamaan kubik dengan memotong sebuah hiperbola

dengan lingkaran.

ii

Peta Konsep

PERSAMAAN
DAN FUNGSI
KOORDINAT

PERSAMAAN

KUADRAT

MENENTUKAN

AKAR-AKAR
PERSAMAAN

KUADRAT

APLIKASI

RUMUS

KUADRATIK

METODE

PEMFAKTORAN

METODE
KUADRAT
SEMPURNA

iii

Identitas Bahan Ajar

Nama Mata Pelajaran

: Matematika

Semester

: Genap

Kompetensi Dasar :

Indikator Pencapaian:

Materi pokok

: Persamaan Kuadrat

Tujuan Pembelajaran:

PERSAMAAN KUADRAT

3.2Menjelaskan persamaan kuadrat dan

karakteristiknya

berdasarkan

akar-

akarnya serta cara penyelesaian.

1.Peserta didik dapat memahami konsep dari persamaan kuadrat

2.Peserta didik dapat mengetahui penjelasan dari pengertian persamaan kuadrat dengan

tepat.

3.Peserta didik diharapkan dapat membangun masalah yang berkaitan dengan persamaan

kuadrat dengan benar.

4.Peserta didik mampu menerapkan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

dengan benar

5.Peserta didik mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

dengan tepat

Mengetahui dan memahami konsep persamaan kuadrat.

Mengetahui pengertian dan karakteristik dari persamaan kuadrat.

Mengetahui dan dapat membangun masalah mengenai persamaan kuadrat.

Mampu menerapakan masalah kontekstual dalam bentuk persamaan kuadrat.

Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan permasalahan kuadrat.

4.2Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan persamaan kuadrat.

1

PERSAMAAN KUADRAT

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita jumpai persoalan atau perhitungan yang

berkaitan dengan materi persamaan kuadrat. Agar kalian lebih memahami tentang bentuk

umum persamaan kuadrat dalam persoalan matematika yang berkaitan dengan persamaan

kuadrat tersebut.

Perhatikan permasalahan berikut ini dengan seksama :

MATERI

Pada gambar di atas terlihat sebuah rumah yang memiliki pekarangan cukup luas. Pak

Nana memiliki pekarangan yang berbentuk persegi panjang dengan ukuran 80m x 60m.

Pak Nana merencanakan tanah tersebut akan dibuat taman. Pada sekeliling taman dibuat

jalan setapak dengan ukuran lebar yang sama. Setelah taman tersebut selesai dibuat,

ternyata luas tamannya menjadi seperenam luas tanah pekarangan semula. Berapakah

lebar jalan setapak yang mengelilingi taman tersebut?

Permasalahan di atas dapat kita selesaikan menggunakan persamaan kuadrat. Nah, kita

cari tahu dulu yuk!

Dari permasalahan di atas kita akan mengetahui, Seperti apakah materi persamaan

kuadrat?

Permasalahan

2

Untuk menentukan lebar jalan setapak yang mengelilingi taman di pekarangan Pak

Nana dengan menentukan model matematika dari permasalahan tersebut. agar lebih mudah

dalam memodelkan maka dapat dimisalkan terlebih dahulu. Misalkan lebar jalan setapak

adalah x meter, gambar tanah pekarangan Pak Nana adalah sebagai berikut.

Panjang tanah pekarangan adalah 80 m karena pada kedua sisinya dibuat jalan setapak x

meter, maka panjang taman adalah (80 – 2x) m dan lebar tanah pekarangan adalah 60 m

karena pada kedua sisinya dibuat jalan setapak x meter maka lebar taman adalah (60 – 2x) m.

Maka diperoleh

(80 – 2x) (60 – 2x) = 800

4800 – 160 x – 120 x + 4 x2 = 800

4800 – 800 – 160 x – 120 x + 4 x2 = 0

4x2 – 280 x + 4000 = 0

x2 – 70 x + 1000 = 0

(x – 50) (x – 20) = 0

x – 50 = 0

atau

x – 20 = 0

x = 50

x = 20

Maka : Untuk x = 50

Pt = 80 – 2 (50) = 80 – 100 = - 20

Lt = 60 – 2 (50) = 60 – 100 = - 40 ( Tidak Memenuhi )

Untuk x = 20

Pt = 80 – 2 (20) = 80 – 40 = 40

Lt = 60 – 2 (20) = 60 – 40 = 20

Penyelesaian :

x m

x m

Telah diketahui bahwa ukuran tanah Pak Nana panjangnya 80
m dan lebarnya 60 m.

Maka luas pekarangan Pak Nana = 80 x 60 = 4800 m2

Luas taman =

1
6 𝑥 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

= 1

6 𝑥 4800

=800 m2

: 4

Jadi, lebar jalan setapak yang mengelilingi taman
adalah 20 m

3

i

Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya

dua. Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c ∈

R. Beberapa contoh persamaan kuadrat yaitu : 3x2 – 8x – 3 = 0, x2 – 2x + 24 = 0 dan lainnya.

Akar persamaan kuadrat dari ax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi

persamaan tersebut. cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara, yaitu:

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎dengan a, b, dan c

bilangan real dan a ≠ 0. Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan (ditentukan akar-akarnya)

atau tidak tergantung pada nilai a, b, dan c dari persamaan itu. Ada tiga cara untuk

menentukan akar-akar persamaan kuadrat yaitu dengan cara memfaktorkan, melengkapkan

kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

sebagai berikut :

𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

1.BENTUK UMUM PERSAMAAN

𝑎𝑥2

a merupakan bilangan real
dan disebut koefisien dari

variable x2

𝑏𝑥2

b merupakan bilangan real
dan disebut koefisien dari

variable x

𝑐3

c merupakan bilangan real
dan disebut konstanta

PERSAMAAN KUADRAT

MATERI

Cara menentukan

akar kuadrat

Melengkapi kuadrat

Sempurna

Memfaktorkan

Rumus Kuadrik
( Rumus ABC)

4

i

Dari keterangan di atas, Perhatikan contoh dibawah ini :

Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat dibawah ini :

Mempunyai nilai

Mempunyai nilai

Mempunyai nilai

Mempunyai nilai

Memfaktorkan

Memfaktorkan persamaan kuadrat, untuk a ≠ 0

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan artinya

menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara mengubah persamaan itu kebentuk

perkalian.

Berarti bentuk persamaan kuadrat 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat difaktorkan (diubah)

menjadi : ( x + p) (x + q)

𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = (𝒙 + 𝒑)(𝒙 + 𝒒)

Bernilai nol apabila salah satu faktornya bernilai nol, Sehingga :

Contoh

a.𝑥2+ 2𝑥 − 3 = 0

a = 1, b = 2, c = -3

b.2𝑥2− 𝑥 − 6 = 0
a =2, b= -1, c = -6

c.−2𝑥2+ 3𝑥 − 5 = 0

d.𝑥2+ 7𝑥 = 0

a = -2, b = 3, c= -5

a = 1, b = 7, c = 0

2.CARA MENYELESAIKAN PERSAMAAN

𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 ⟺ 0 = 𝑥 − 𝑥1 = 0 atau 𝑥 − 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑥1atau 𝑥 = 𝑥2

Jadi, akar-akar dari𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 adalah 𝑥1dan 𝑥2

5

i

Keliling suatu taman kota yang berbentuk persegi
panjang adalah 100 m. Jika luas taman 400 m2.
Berapa panjang dan lebarnya ?

Dik

: L = panjang x lebar= 400 m2

K = 2 ( P + L ) = 100 m

Dit

: Berapa Panjang dan lebarnya?

Jawab :

Langkah I : K = 2 (P + L)

100 = 2 (P + L)

CONTOH

P...?

L...?

Penyelesaian

100

2 = P + L

P + L = 50

P = 50 – L ( Pers. I )

Langkah II : L = P . L

400 = P . L

400 = (50 – L) L

400 = 50L – L2

L2 – 50L + 400 = 0 ( Bentuk Persamaan Kuadrat)

Diselesaikan dengan cara faktorisasi :

L2 – 50L + 400 = 0

a = 1, b = -50, c = 400

(L – 10) (L – 40) = 0

L – 10 = 0

atau

L – 40 = 0

L1 = 10

atau

L2 = 40

Maka : L1 = 10 m ⟶ P1 = 50 – 10 = 40 m

L2 = 40 m ⟶ P1 = 50 – 40 = 10 m

Jadi, panjangdaritamankotaadalah 40 m danlebarnya 10 m.

6

i

MelengkapkanBentukKuadratSempurna

Bentuk – bentuk (𝑥 + 2)2, ( 𝑥 − 3)2, (𝑥 + 5)2 disebut bentuk kuadrat

sempurna. Berikut adalah langkah –langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan

melengkapkan kuadrat sempurna .

Mengubah bentuk 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ke bentuk 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 = −𝑐

Apabila𝑎 ≠ 0 , kedua ruas dibagi dengan a sehingga diperoleh 𝑎𝑥2+

𝑏

𝑎𝑥 =

−

𝑐

𝑎

Menambahkan kedua ruas dengan(

𝑏

2𝑎)2 untuk melengkapkan bentuk kuadrat.

Menuliskan ruas kiri persamaan sebagai bentuk kuadrat

(𝑥 +

𝑏

2𝑎)2= −

𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)2

Menyelesaikan bentuk 4)

𝑥 +

𝑏

2𝑎= ±√−

𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)2⟺ 𝑥 = −

𝑏

2𝑎= ±√−

𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)2

Panjang salah satu sisi siku-siku sebuah segitiga siku siku adalah 21 meter lebih panjang

dari sisi siku-siku lainnya, dan panjang hipotenusanya 39 m. Hitunglah panjang kedua

sisisiku-siku segitiga tersebut.

CONTOH

7

i

𝑥2+ (𝑥 + 21)2= 392

𝑥2+ 𝑥2+ 42𝑥 + 441 = 1.521

2𝑥2+ 42𝑥 = 1080

𝑥2+ 21𝑥 = 540

− 21

2 + 51

2 = 15

Perhatikan gambar segitiga siku-siku disamping!

Misalkan :

x

= panjang sisi tegak terpendek

x + 21 = panjang sisi tegak terpanjang

39

= sisi hipotenusa.

Berdasarkan teorema Pythagoras, diperoleh persamaan :

2𝑥2+ 42𝑥 = 1.521 − 441

(𝑥 +

21

2)2= 540 + (

21

2)2

(𝑥 +

21

2)2 =

2.601

4

√(𝑥 +

21

2) 2 = ±√2.601

4

𝑥 +

21

2= ±

51

2

−

21

2−

51

2 = −36

Karena panjang suatu sisi tidak boleh negative, maka x = 15 dan x + 21 = 36.
Jadi, panjang sisi-sisi tegak segitiga adalah 25 m dan 36 m.

Penyelesaian

x + 21

39

x

x

8

i

MenggunakanRumus ABC

Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering disebut

dengan Rumus ABC adalah :

𝒙𝟏,𝟐 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒. 𝒂. 𝒄

𝟐𝒂

Menentukan akar-akar dengan melengkapkan kuadrat sempurna merupakan

proses yang cukup panjang. Jika proses ini di akhiri suatu rumusan, maka diperoleh

rumus kuadrat berikut :

𝒙𝟏 =

−𝒃+√𝒃𝟐−𝟒.𝒂.𝒄

𝟐𝒂
atau 𝒙𝟐 =

−𝒃−√𝒃𝟐−𝟒.𝒂.𝒄

𝟐𝒂

Perhatikan Gambar dibawah dengan seksama :

Paman Arip dan Amang Anton adalah sama-sama penjual buah pisang di Pasar

Terapung. Pada suatu hari hasil kali berat muatan pisang yang diletakkan dalam kelotok

paman Arip dan amang Anton adalah 1.400 kg. Tetapi berat muatan pisang amang Anton

5 kg lebih berat dari paman Arif. Apabila dipisah, berapakah berat muatan masing-

masing paman Arip dan amang Anton.

CONTOH

9

i

Dik :Misalkan x = berat muatan kelotok paman Arip

y = berat muatan amang Anton

Dit :Berapakah berat muatan masing-masing paman Arip dan amang Anton?

Jawab

x.y = 1.400

x(x + 5) = 1.400

x2 + 5x – 1.400 = 0 (bentuk persamaan kuadrat)

a = 1, b = 5, c = -1.400

Penyelesaian

Maka : 𝑥1,2 =

−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

=

−5±√52−4(1)(−1.400)

2(1)

=

−5±√25+ 5.600

2

=

−5±√5625

2

=

−5+75

2
=

70

2 = 35

=

−5−75

2
=

−80

2 = - 40

Karena berat tidak ada yang negatif jadi, berat muatan kelotok paman Arip adalah 35 kg
dan berat muatan kelotok amang Anton adalah 40 kg.

Dalam mengerjakan persoalan ini maka sebaiknya kita
menggunakan rumus ABC karena angka yang ada pada
persamaan kuadrat yang dibentuk besar, sehingga akan jauh
lebih mudah ketika menggunakan rumus.

10

i

1.Keliling sebuah kebun berbentuk persegi panjang adalah 44 m dan luas

kebun tersebut 96 m2. Tentukan ukuran panjang kebun tersebut?

2.Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 5 m

lebih dari lebarnya. Luas taman tersebut adalah 84 m2. Bagimana

menentukan panjang dan lebar taman tersebut?

UjiKompetensi

11

i

BukuPaketMatematikaSiswa SMK Kelas XI Semester I. KementrianPendidikan

danKebudayaan 2017

https://www.youtube.com/live/tsrokkO63EU?si=Es2LWDzTxpwjsTS6

https://www.youtube.com/live/4evSLlyy3SM?si=fKgaDBQPvo9E1cnX

https://youtu.be/rVvypnoaNe0?si=5seUs15N-hn5lhSf

https://youtu.be/bBOK3XLpcOU?si=nf-JRuPHmc3AoMtA

DAFTAR PUSTAKA

12

i