statistika

STATISTIKA
NADHIFAH A (24080560058)

TUJUAN PEMBELAJARAN

Melalui pembelajaran kooperatif peserta didik dapat:
a. menganalisis data dari distribusi data yang diberikan
b. menentukan rata - rata (mean), median, dan modus suatu kumpulan data

PENGERTIAN STATISTIKA
Statistika adalah sebuah cabang ilmu dari matematika yang mempelajari cara-cara:
- Mengumpulkan dan menyusun data, mengolah dan menganalisa data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram.
- Menarik kesimpulan, menafsirkan parameter dan menguji hipotesa (dugaan) yang didasarkan pada hasil pengolahan data. Dari hasil pengolahan suatu kumpulan data diperolah sebuah ringkasan data. Ringkasan data ini berupa sebuah nilai yang disebut statistik. Jadi, statistik dapat memberikan gambaran tentang suatu kumpulan data dalam bentuk sebuah nilai

SAMPEL DAN POPULASI
Populasi adalah seluruh objek yang akan diteliti, sedangkan sebagian populasi yang benar-benar diamati disebut sampel
Untuk memperoleh gambaran atau kesimpulan yang benar (mendekati benar) bagi sebuah populasi, sampel atau contoh yang diambil diupayakan dapat mewakili (representative) populasi itu.,

DATUM dan DATA

Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut. Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.
Datum adalah keterangan berupa informasi yang diperoleh dari sebuah penelitian. Dalam matematika, datum dapat berbentuk bilangan, lambang, sifat, atau keadaan dari objek yang diteliti. Datum-datum yang terkumpul disebut data.

PENYAJIAN DATA STATISTIK
Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu
a. Grafik atau diagram
b. Tabel distribusi frekuensi

a. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan, yaitu pada umumnya diagram tidak dapat memberikan gambaran yang lebih detail.

1) Diagram Batang

Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius. Ada dua jenis diagram batang, yaitu
a) Diagram batang vertical
b) Diagram batang horizontal
Contoh: Selama 1 tahun, toko "Anggo" mencatat keuntungan setiap bulan sebagai berikut. Keuntungan Toko "Anggo" per Bulan (dalam jutaan rupiah)

a. Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut.!
b. Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Toko "Anggo" selama 1 tahun?
c. Kapan Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan berturut-turut?
Jawab:
a. Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak pada gambar berikut.

b. Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan terbesar yang diperoleh Toko "Anggo" selama 1 tahun adalah sebesar Rp6.200.000,00.
c. Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.

2) Diagram Garis

Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan data tentang keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiap tahun, perkembangan berat badan bayi setiap bulan, dan suhu badan pasien setiap jam. Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis:
a) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data pengamatan.
b) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t.
c) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik titik koordinat tersebut dengan garis lurus.
Contoh :
Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau sejak lahir sampai berusia 9 bulan.

a. Buatlah diagram garisnya!
b. Pada usia berapa bulan berat badannya menurun?
c. Pada usia berapa bulan berat badannya tetap?

Jawab:
a. Langkah ke-1 Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalam bulan) dan sumbu tegak yang menunjukkan berat badan anak (dalam kg).
Langkah ke-2 Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t bulan. Langkah ke-3 Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut dengan garis lurus. Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh diagram garis dari data tersebut tampak pada Gambar

b. Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayi menurun pada usai 8 sampai 9 bulan.
c. Berat badan bayi tetap pada usia 5 sampai 6 bulan.

3) Diagram Lingkaran

Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan, suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring lingkaran yang luasnya disesuaikan dengan data yang ada. Untuk itu perlu ditentukan besar sudut pusat dari setiap juring tersebut.

Langkah-langkah membuat diagram lingkaran:
1. Ubah nilai data ke dalam bentuk persentase untuk masing-masing data

2. Tentukan besar sudut pada juring dari masing-masing data yang ada dengan rumus:







3. Buat sebuah lingkaran dengan menggunakan jangka. Usahakan ukuranlingkaran jangan terlalu besar dan jangan terlalu kecil
4. Masukkan data pertama dengan menggunakan busur derajat
5. Masukkan data-data lainnya ke dalam lingkaran sesuai juring sudut data yang telah dihitung
6. Setiap data yang terdapat dalam lingkaran hendaknya diberi arsiran atau warna yang berbeda

7. Masing-masing data yang terdapat dalam lingkaran diberi identitas: a. Nama data disertai nilai persentasenya, atau b. Nilai persentasenya saja, sedangkan nama data dicantumkan pada catatan tersendiri yang terletak di luar lingkaran disertai dengan arsir atau warna yang sesuai seperti yang terdapat di dalam lingkaran

PENGOLAHAN DATA
1. Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan serta penafsirannya suatu rangkaian data adalah suatu nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Suatu rangkaian data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat pada nilai pemusatan ini. Jadi yang dimaksud dengan ukuran pemusatan data adalah ukuran statistik yang dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi gambaran singkat tentang data. Ukuran pemusatan data dapat digunakan untuk menganalisis data lebih lanjut.

Ukuran Pemusatan Data terdiri dari tiga bagian, yaitu :
a. Rataan Hitung ( Mean / Arithmetic mean )
Rataan hitung ( mean ) dari suatu data adalah perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyaknya datum. Yang dinotasikan dengan (x bar). a) Rumus Umum Menghitung Rataan Data Tunggal Jika suatu data terdiri atas nilai – nilai x1, x2, x3, …, xn, maka rataan dari data tersebut dapat ditentukan dengan rumus :

b) Rataan Data Tunggal Berbobot
Jika nilai n buah data adalah x1, x2, x3, … xk dan masing-masing frekuensinya adalah f1, f2, f3, … fk , nilai rata-rata hitung sekumpulan data tersebut didefinisikan sebagai berikut






keterangan :
f_i = frekuensi untuk x_i
x_i = datum ke-i
∑_i^k =₁ f_ix_i = jumlah hasil perkalian setiap datum dengan frekuensinya
∑f_i = n = banyaknya datum

b. Modus
Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Data Tunggal Modus dari suatu data yang disajikan dalam bentuk statistic jajaran x1, x2, x3, … , xn-2, xn-1, xn ditentukan sebagai nilai datum yang paling sering muncul atau nilau datum yang mempunyai frekuensi terbesar. Suatu data dapat saja memiliki lebih dari satu modus atau kadangkadang tidak memiliki modus sama sekali. Hal ini dapat terlihat pada contoh berikut.
Contoh:
a) Suatu data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 mempunyai modus 6. Sebab nilai datum 6 paling sering muncul, yaitu sebanyak tiga kali.
b) Suatu data 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10 mempunyai modus 7 dan 8. Sebab nilai datum 7 dan 8 secara bersamaan paling sering muncul, yaitu sebanyak dua kali.
c) Suatu data 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10, 13 tidak mempunyai modus. Sebab data ini tidak mempunyai nilai datum yang paling sering muncul.

Dari contoh di atas tampak bahwa:
(i) Ada suatu data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus, mempunyai dua modus disebut bimodus, dan ada pula data yang mempunyai labih dari dua modus disebut multimodus.
(ii) Ada suatu data yang sama sekali tidak mempunyai modus. Dengan demikian, nilai modus kurang dapat dipercaya sebagai ukuran pemusatan data bagi data yang berukuran kecil. Modus hanya berguna sebagai ukuran pemusatan data untuk data yang mempunyai ukuran besar.

 

 

d) Simpangan Baku
Simpangan baku bermanfaat untuk melihat apakah data yang dimiliki bagus atau tidak. Data dikatakan bagus kalau simpangan bakunya kecil. Dalam arti, data yang dimiliki tidak terlalu tersebar kemana-mana.
Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskan penyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data. Dapat juga diartikan suatu bilangan yang merupakan rata-rata penyimpangan nilai suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya.

Data Tunggal
Simpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

7. PELUANG
a) RUANG SAMPEL, TITIK SAMPEL, DAN KEJADIAN
peluang yang rendah menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa itu sangat kecil. Konsep peluang berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan “hasil” yang tidak pasti. Artinya eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan “hasil” yang dapat berbeda-beda. Istilah eksperimen yang kita gunakan disini tidak terbatas pada eksperimen dalam laboratorium. Melainkan, eksperimen kita artikan sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu, dimana kondisi itu dapat diulang-ulang beberapa kali pada kondisi yang sama, dan setelah prosedur itu selesai berbagai hasil dapat diamati.
Himpunan S dari semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen yang diberikan disebut ruang sampel. Suatu hasil yang khusus, yaitu suatu elemen dalam S, disebut suatu titik sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. kejadian { a } yang terdiri atas suatu titik sampel tunggal a S disebut suatu kejadian yang elementer (sederhana).

definisi 2
Dua kejadian A dan B yang tidak mempunyai elemen yang berserikat, yaitu A ∩ B = ∅ dinamakan dua kejadian yang saling asing (atau “disjoint”).

Teorema 1
P(∅) = 0
Bukti : Misalkan A sebarang kejadian (himpunan bagian dari S) Maka A U ∅= A Dengan aksioma (A3), P(A) = P(A U ∅) = P(A) + P(∅) Jadi P(A) = P(A) + P(∅) Kedua ruas dikurangi dengan P(A), didapatkan : P(∅) = 0

Teorema 2
P(A^c) = 1 - P(A)
Bukti : S = A U Ac ; di mana A dan A^c saling asing Dari (A₂) : P(S) = 1 Karena S = A U A^c , maka menurut aksioma (A₃) 1 = P(S) = P(A U A^c ) = P(A) + P(A^c ) atau 1 = P(A) + P(A^c ) . Jadi P(A^c ) = 1 - P(A)

Teorema 3
Jika A ⊂ B maka P(A) ≤ P(B)
Bukti : Jika A ⊂B, maka B dapat dinyatakan ke dalam 2 kejadian, yaitu : A dan B \ A, yang saling asing. Atau B = A U (B \ A). Jadi : P(B) = P(A) + P(B \ A). Menurut aksioma (A1) : 0 ≤ P(B \ A) ≤ 1. Maka berarti bahwa P(B) ≥ P(A) ; atau P(A) ≤ P(B)

Teorema 4
Jika A dan B dua kejadian, maka P(A \ B) = P(A) - P(A ∩ B) Ingat : A \ B = A ∩ Bc atau himpunan anggota-anggota A yang bukan anggota B
bukti : A dapat dinyatakan ke dalam 2 kejadian yang saling asing, yaitu A \ B dan A ∩ B. Atau A = (A \ B) U (A ∩ B). Dengan aksioma (A₃) didapatkan : P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B) atau P(A \ B) = P(A) - P(A ∩ B)

Teorema 5 :
Jika A dan B sebarang dua kejadian, maka P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
bukti : A U B dapat dinyatakan dengan 2 kejadian yang saling asing yaitu A \ B dan B. Atau A U B = (A \ B) U B. Dengan aksioma (A3) dan teorema 4, didapatkan : P (A U B) = P (A \ B) + P (B) = P (A) - P (A ∩ B) + P (B) Karena P (A \ B) = P (A) - P (A ∩ B) Terbukti P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

Definisi 4
Misalkan S merupakan ruang sampel, S = {a1, a2, … ,an} ; dan misalkan pula bahwa p1, p2, … ,pn adalah bilangan-bilangan tidak negatif yang jumlahnya sama dengan 1, atau p1 + p2 + … + pn = 1. Untuk kejadian A, peluangnya didefinisikan sebagai P(A) = jumlah semua pi yang berkaitan dengan hasil ai , dengan ai di dalam A.

Multiple Choice

MODUS DARI DATA 72, 69, 63, 72, 79, 67, 77, 67, 65 ADALAH

• 67 SAJA

• 67 DAN 72

• 72 SAJA

• 79

Fill in the Blank

Sebuah kelas terdiri dari 30 siswa. Rata-rata tinggi badan siswa-siswi tersebut adalah 155 cm. Jika satu siswa laki-laki berpindah ke sekolah lain yang memiliki tinggi badan 170 cm, berapakah rata-rata tinggi badan siswa-siswi yang tersisa?

,

Fill in the Blank

Sebuah toko buku memiliki data penjualan buku selama 5 hari pertama di bulan Mei: 20, 30, 25, 35, dan 40 buku. Berapakah jumlah total penjualan buku selama periode tersebut?

Multiple Choice

RATA - RATA TINGGI 8 SISWA ADALAH 170 CM DAN RATA - RATA TINGGI 12 SISWA LAINNYA ADALAH 165 CM, RATA - RATA TINGGI SELURUH SISWA ADALAH

• 166,0 CM

• 166,5 CM

• 167,0 CM

• 167,5 CM

Fill in the Blank

HASIL ULANGAN SUSULAN BIDANG STUDI MATEMATIKA DARI BEBERAPA SISWA ADALAH 8, 10, 4, 5, 7, 3, 9, 8, 7, 10, 8, 5. MEDIAN DARI DATA DI ATAS ADALAH

,

Fill in the Blank

NILAI RATA - RATA MATEMATIKA 15 SISWA ADALAH 6,6. BILA NILAI DINDA DISERTAKAN, MAKA NILAI RATA - RATANYA MENJADI 6,7. NILAI DINDA DALAM TES MATEMATIKA TERSEBUT ADALAH

,

Multiple Choice

HASIL TES MATEMATIKA 14 SISWA SEBAGAI BERIKUT : 4, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 6, 9, 7, 5, 9, 8, 7. BANYAK SISWA YANG MEMPUNYAI NILAI DIBAWAH RATA - RATA ADALAH

• 4 ORANG

• 5 ORANG

• 6 ORANG

• 7 ORANG

Multiple Choice

Sebuah toko pakaian mengalami penjualan sebagai berikut selama lima hari: 120, 150, 100, 200, dan 180 item. Berapakah total penjualan selama lima hari tersebut?

• 720 item

• 700 item

• 650 item

• 750 item

Fill in the Blank

Dalam sebuah kelas, 25% siswanya memiliki tinggi badan di bawah 150 cm, 50% memiliki tinggi antara 150 cm dan 160 cm, dan sisanya memiliki tinggi di atas 160 cm.

Jika terdapat 40 siswa dalam kelas tersebut, berapa banyak siswa yang memiliki tinggi di atas 160 cm?

Fill in the Blank

Sebuah kelas terdiri dari 28 siswa. Rata-rata nilai ulangan matematika mereka adalah 75.

Jika nilai seorang siswa yang awalnya tidak termasuk dalam perhitungan adalah 80, berapakah rata-rata nilai ulangan matematika siswa-siswi tersebut setelah nilai tersebut dimasukkan?

,