Dimensi Tiga

Dimensi Tiga
Bab

1

Husnil Khotimah Siregar

Tujuan

Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, siswa dapat:

•Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis,
dan titik ke bidang).
•Menentukan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan
titik ke bidang).

Pengertian Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

Titik, garis, dan bidang merupakan unsur-unsur dalam ruang
atau sering disebut unsur ruang.

A.Titik

Titik biasanya dilukiskan dengan noktah (•) atau tanda silang
(×) dan ditulis dengan huruf besar, seperti A, B,C, dan
seterusnya.
Titik tidak mempunyai ukuran, dan sering disebut benda
berdimensi nol.

B.Garis

Garis sering dijumpai sebagai rusuk dari benda ruang.
Sebuah garis panjangnya tak hingga, karena itu gambar
sebuah garis biasanya dilukiskan dengan wakil dari garis itu.
Pemberian nama sebuah garis dapat dilakukan dengan
menuliskan wakilnya atau titik-titik ujung garis itu.

Suatu garis dapat dituliskan dengan huruf kecil, seperti l, m,
n. Garis merupakan bendaberdimensi satu.

BANGUN RUANG

Pengertian
1.

Sisi yaitu daerah yang membatasi
bangun ruang tersebut

2.

Rusuk yaitu perpotongan antara dua sisi

3.

Titik sudut yaitu titik potong antara
beberapa rusuk

4.

Diagonal sisi yaitu ruas garis yang
menghubungkan dua titik sudut yang
berhadapan pada sisi

5.

Diagonal ruang yaitu ruas garis yang
menghubungkan dua titik sudut yang
berhadapan pada bangun ruang

6.

Bidang diagonal yaitu bidang yang
melalui dua rusuk berhadapan yang tidak
terletak pada satu bidang

A
B

C
D

E
F

G
H

A. Tempat kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang

1.

Titik terhadap garis

a. Titik terletak pada garis
b. Titik diluar garis

2. Titik terhadap bidang
a. Titik terletak pada bidang
b. Titik diluar bidang

3. Garis terhadap garis
a. Berpotongan
b. Sejajar
c. Berimpit
d. Bersilangan

4. Garis terhadap bidang
a. Garis terletak pada bidang
b. Garis sejajar bidang
c. Garis menembus bidang

5. Bidang terhadap bidang
a. Berimpit
b. Sejajar
c. Berpotongan

B.KUBUS

Kubus adalahbangun ruang yang
dibatasi oleh enam persegi yang
kongruen

Kubus dengan dengan rusuk a cm, maka
1)

Luas permukaan = 6 a² cm²

2)

Volume = cm3

3)

Panjang diagonal sisi = a cm

4)

Panjang diagonal ruang = a cm

A
B

C
D

E
F

G
H

C. BALOK

. Balok adalah bangun ruang yang
dibatasi oleh enam persegi
panjang dan dua-dua kongruen

Luas balok = 2(pl + pt + lt)
Volume balok = plt

D. prisma

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang

sejajar dan beberapa bidang yang memotong menurut garis –
garis yang sejajar

Dua bidang sejajar disebut bidang alas dan bidang atas, bidang

yang lain disebut sisi tegak

Jenis – jenis prisma

1.

Prisma segi n adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk segi n

2.

Prisma tegak adalah prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus bidang alas

3.

Prisma beraturan adalah prisma tegak yang bidang alasnya berbentuk
segi banyak beraturan

4.

Prisma miring/condong adalah prisma yang rusuk tegaknya tidak tegak
lurus dengan bidang alas

5.

Paralel epipedum adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk jajar
genjang

6.

Paralel epipedum tegak adalah paralel epipedum yang rusuk tegaknya
tegak lurus bidang alas

7.

Paralel epipedum tegak dan siku-siku adalah balok

8.

Paralel epipedum tegak,sku-siku dan rusuknya sama adalah kubus

9.

Paralel epipedum yang semua bidang sisinya berbentuk belah ketupat
disebut Rhomboeder

10.

Prisma terpancung adalah prisma yang bidang alas dan bidang atasnya
tidak sejajar

Luas dan volume prisma
Luas prisma = luas alas + luas atas + luas selubung
Volume prisma = luas alas x tinggi
Contoh :
Sebuah prisma rusuk alasnya 6,8,10 dan rusuk tegaknya 5.
Tentukan luas permukaan dan volumenya
Jawab :
Luas permukaan = 2 x luas alas + luas selubung
= 2. ½ . 6.8 + (6 + 8 + 10) . 5
= 48 + 120
= 168
Volume = luas alas x tinggi
= ½ . 6 . 8 . 5
= 120

E. Limas

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi n dan

beberapa bidang sisi tegak yang berbentuk segitiga

Jenis – jenis limas
1.

Limas sisi n sembarang adalah limas yang alasnya
sembarang segi n dan puncaknya sembarang

2.

Limas sisi n beraturan adalah limas yang alasnya segi n
beraturan dan puncaknya berproyeksi pada pusat alas

3.

Limas yang alasnya berbentuk lingkaran disebut kerucut

Luas permukaan limas = luas alas + luas selubung
Volume limas = luas alas x tinggi

Contoh :
Sebuah kerucut mempunyai jari-jari alas 6 cm dan tingginya 8 cm.

Tentukan luas permukaan dan volumenya

Jawab :
Luas permukaan = luas alas + luas selubung
= π . 6² + π.6.10
= 36π + 60π
= 96π cm²

Volume = luas alas x tinggi

= .π. 6².8

= 96π cm³

F. Perbandingan volume

Kubus dan limas

A
B

C
D

E
F

G
H

T

a

V kubus : V limas = a³ : ⅓ a².a
= a³ : ⅓ a³
= 3 : 1

G. Menggambar bangun ruang

1.

Bidang gambar yaitu bidang tempat
gambar (buku)

2.

Bidang frontal yaitu bidang yang
sejajar dengan bidang gambar
(bidang ABFE, bid DCGH )

3.

Bidang ortogonal yaitu bidang yang
tegak lurus dengan bidang frontal
(bidang ADHE, bid ABCD)

4.

Garis frontal yaitu garis yang terletak
pada bidang frontal ( garis AB,garis
AE)

A
B

C
D

E
F

G
H

5. Garis ortogonal yaitu garis yang

tegak lurus bidang frontal (
garis AD, garis BC)

6. Sudut surut / sudut menyisi yaitu

sudut dalam gambar antara
garis frontal horisontal arah
kekanan dan garis ortogonal
arah ke belakang ( sudut BAD,
sudut FEH)

7. Perbandingan proyeksi /

perbandingan ortogonal yaitu
perbandingan antara panjang
garis ortogonal dalam gambar
dengan panjang sebenarnya
(AD pada gambar : AD
sebenarnya)

A
B

C
D

E
F

G
H

Contoh :
Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, sudut surut

30°, perbandingan proyeksi ⅓ , ABFE frontal dan AB horisontal

Jawab:

30°

A
B

E
F

C
D

G
H

Panjang AD pada gambar = ⅓.6
= 2
cm

H. Jarak pada bangun ruang
1. Jarak dua titik
Jarak titik A dan B adalah panjang ruas garis AB

A

B

A

B

C
D

E
F

G
H

a

Jarak titik D dan H adalah a
Jarak titik B dan G adalah a√2

2. Jarak titik ke garis
Jarak titik A dengan garis g adalah panjang ruas garis AP
dimana titik P pada garis g dan AP ┴ g

A

B

C
D

E
F

G
H

a

P

A

Jarak titik A ke garis g
adalah AP
Jarak titik F ke garis AB
adalah FB

H

A

C

T

Jarak titik C ke garis AH
adalah CT

g

3. Jarak titik ke bidang
Jarak titik A ke bidang α adalah panjang garis proyeksi titik A ke

bidang α

A

A’
Γ

Jarak A ke bidang α adalah
Panjang AA’

A
B

C
D

E
F

G
H

T

Jarak titik B ke bidang ACGE
adalah BT

Jarak titik H ke bidang ABCD
adalah HD

α

4. Jarak garis ke bidang

Jarak garis g dan bidang α adalah panjang ruas garis yang tegak

lurus garis g dan bidang α (panjang ruas garis PA)

g

α

Γ

P

A

Garis dan bidang sejajar

A
B

C
D

E
F

G
H

Jarak garis GH ke bidang ABCD
adalah CG (rusuk kubus)

5. Jarak dua bidang

Jarak dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus

kedua bidang

α

β

P

Q
Γ

∟

Jarak kedua bidang
adalah PQ

A
B

C
D

E
F

G
H

Γ

∟

Jarak bidang ABCD dan EFGH
adalah BF(rusuk kubus)

6. Jarak dua garis

a. Jarak dua garis sejajar
Jarak dua garis sejajar adalah panjang ruas garis yang tegak
lurus kedua garis

∟

∟

P

Q

Jarak kedua garis
adalah PQ

A

C
D

E
F

G
H

Γ

∟

Jarak garis AB dan EF
adalah BF(rusuk kubus)

B

b. Jarak dua garis yang bersilangan

.Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis yang

tegak lurus kedua garis

Jarak kedua garis
adalah PQ

P

Q

∟

∟

A

C
D

E
F

G
H

B

∟

∟

Jarak garis AD dan CG
Adalah DC(rusuk kubus)

7. Proyeksi garis ke bidang

.

A

A’

B

B’

A
B

C
D

E
F

G
H

g

α

Tentukan dua titik A dan B pada
garis g
Proyeksikan A dan B pada
bidang α
Hasil bayangannya A’ dan B’
Garis yang melalui A’ dan B’
adalah hasil proyeksi garis g
pada bidang α

Contoh :
Tentukan proyeksi garis EG
pada bidang ABCD dalam
kubus
Jawab :
Hasil proyeksi adalah garis AC

Sudut

1. Sudut antara dua garis berpotongan

α

g

h

A
B

C

D

E
F

G
H

α

Sudut antara garis g dan h
adalah α (diambil sudut
lancip)

Contoh :
Tentukan besar sudut antara
garis AC dan garis AH (kubus)
Jawab :

Sudut yang dicari adalah
sudut CAH
Segitiga CAH samasisi
Jadi besar sudut garis AC
dan AH adalah 60º

2. Sudut antara dua garis yang bersilangan

.

α

A
B

C
D

E
F

G
H

α

g

h

g’

h’

Apabila garis g dan h bersilangan
maka sudut antara garis g dan h
adalah sudut yang dibentuk oleh
garis g’ dan h’ dimana g // g’ dan
h // h’

Contoh :
Tentukan besar sudut antara garis
HG dan BC dalam kubus ?
Jawab :

Besar sudut garis HG dan BC
= < ADC
= 90º

3. Sudut antara garis dan bidang
.
P

Γ

P’

T

A
B

C

D

E
F

G
H

α

Γ
α

Contoh
Tentukan sudut antara garis AF
dengan bidang ABCD pada
kubus ?
Jawab :

Pilihlah sembarang titik P pada
garis
Proyeksikan titik P pada bidang
misalnya titik P’
Sudut PTP’ adalah sudut antara
garis dan bidang

Segitiga BAF sama kaki
Besarnya sudut yang
ditanyakan adalah 45º

4. Sudut antara dua bidang

.

u

v

A
B

Γ

C

Γ

α

A
B

C

D

E
F

G
H

α

Contoh:
Tentukan besar sudut antara
Bidang ABCD dan bidang AFGD
Jawab :

Tan α = BF/AB
= 1
α = 45º

Ambil sembarang titik pada garis potong
misalnya titik A
Dari titik A dibuat dua buah garis yang
masing – masing terletak pada bidang
u dan bidang v serta tegak lurus pada
garis potong.
Sudut BAC = α adalah sudut antara bidang
u dan bidang v

<

<

Irisan bangun ruang

Ada dua cara menggambar irisan
1.

Dengan sumbu affinitas

2.

Dengan perpotongan garis antara bidang diagonal

Contoh :
Tentukan irisan antara limas T.ABCD dan bidang melalui PQR
seperti gambar berikut :

T

C

D

P

Q

R

A

B

Jawab : ( dengan sumbu affinitas)
.

T

A

B

C

D

P

Q

R

U

V
S

M

Hubungkan PR dan AD memotong
di u
Hubungkan PQ dan AB memotong
di v
u dan v dihubungkan merupakan
sumbu affinitas
uv memotong BC di S dan CD di M
PQSMR adalah bidang iris

Sumbu affinitas

Jawab : (dengan perpotongan garis antara diagonal bidang

.

T

C

D

P

Q

R

B

Bidang diagonal ACT dan
diagonal BDT berpotongan
yaitu garis OT
PQ dihubungkan (sebidang)
PR dihubungkan (sebidang)
RQ dihubungkan memotong
OT di U
PU dihubungkan memotong
TC di S
RS dan QS dihubungkan
PQSR adalah bidang iris

o

A

S

U

Balok ABCD EFGH , AB=8 , AD=6 , AE=4 , ACGE frontal , AC
horisontal , sudut surut 60º , perbandingan proyeksi = 1 : 2

Jawab :

A

C

A
C

B

D

l∆ABC = l∆ABC
½ AB BC = ½ AC BT
½ 8.6 = ½ 10. BT
BT = 4,8
BT pada gambar = ½.4,8
= 2,4
TC² = BC² - BT²
TC² = 36 – 23,04
TC = 3,6

T

Γ

60º

B

T

3,6

D

E

F

G

H

.

A
B

C
D

E
F

G
H

P

Q

R

R’

R’ adalah hasil proyeksi R pada bidang PQHE