Lingkaran dan garis singgung lingkaran

​GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik.

​SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN

​Garis singgung lingkaran selalu berpotongan tegak lurus dengan jari-jari, sehingga membentuk sudut siku-siku

​AO = jari-jari

PA = garis singgung lingkaran​

​MENENTUKAN PANJANG GARIS SINGGUNG LINGKARAN

​OA = Jari-jari

AP = Garis singgung

OP = Jarak titik pusat O terhadap P

Segitiga AOP adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku :

PO² = AO² + AP²

AP² = PO² - AO²

AO² = PO² - AP²​

​Diketahui panjang jari-jari suatu lingkaran 3 cm dan suatu titik P di luar lingkaran dengan jarak 5 cm dari titik pusat O, tentukan panjang garis singgung lingkaran

​Contoh

Multiple Choice

• A

• B

• C

• D

​​GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM

​

​​GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR

​

​GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LINGKARAN

​AB = garis singgung persekutuan dalam

MA = jari-jari lingkaran besar

BN = jari-jari lingkaran kecil

MN = jarak dua titik pusat lingkaran​

​AB = garis singgung persekutuan luar

MA = jari-jari lingkaran besar

BN = jari-jari lingkaran kecil

MN = jarak dua titik pusat lingkaran​

​GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM LINGKARAN

​PQ = m = garis singgung persekutuan dalam (GSPD)

AP = R = jari-jari lingkaran besar

BQ = r = jari-jari lingkaran kecil

AB = d = jarak dua titik pusat lingkaran​ (JDTP)​

​Sehingga berlaku :

​CONTOH :

​Dua lingkaran mempunyai jari-jari berturut-turut 2 cm, 1 cm dan panjang jarak dua titik pusat kedua lingkaran 5 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran

Fill in the Blanks

​GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR LINGKARAN

​AB = d = jarak dua titik pusat lingkaran (JDTP)

AP = R = jari-jari lingkaran besar

BQ = r = jari-jari lingkaran kecil

PQ = m = garis singgung persekutuan luar​ (GSPL)

​Sehingga berlaku :

​CONTOH

​Dua lingkaran dengan jari-jari 5 cm, 2 cm dan panjang titik pusat dua lingkaran 5 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran

Fill in the Blanks

Multiple Select

Pernyataan yang benar sesuai dengan kondisi gambar adalah .....

• panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm

• panjang garis singgung persekutuan luarnya 24 cm

• panjang jarak dua titik pusatnya adalah 17 cm

• panjang jarak dua titik pusatnya adalah 25 cm

Multiple Choice

Suatu garis tegak lurus pada garis singgung sudah pasti garis akan melalui titik pusat lingkaran.

• BENAR

• SALAH

PENYELESAIAN:

(mengembangkan bukti)

Hal ini dapat dibuktikan dengan sifat-sifat lingkaran, yaitu bahwa jarak dari titik pusat lingkaran ke titik potong garis tegak lurus pada garis singgung adalah sama dengan jari-jari lingkaran. Oleh karena itu, garis PQ harus melewati titik O, pusat lingkaran.

(menarik kesimpulan yang logis)

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika suatu garis tegak lurus pada garis singgung lingkaran, maka garis tersebut pasti akan melalui titik pusat

(melaksanakan proses pengamatan)

Pernyataan tersebut benar. Misalkan ada sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r. Jika terdapat sebuah garis singgung lingkaran di titik P, maka garis tegak lurus pada garis singgung tersebut akan melalui titik O. Perhatikan gambar!.

​Dalam gambar di atas, garis a adalah garis singgung lingkaran di titik P, garis PQ adalah garis tegak lurus pada garis 𝑎 dan melalui titik O, yaitu pusat lingkaran.

Multiple Choice

Suatu garis memotong lingkaran hanya di satu titik disebut garis singgung.

• BENAR

• SALAH

​PENYELESAIAN:

(menarik kesimpulan yang logis)

Pernyataan tersebut salah. Garis singgung pada lingkaran adalah garis yang hanya bersentuhan dengan lingkaran pada satu titik saja, tetapi garis singgung tersebut tidak memotong lingkaran. Garis singgung biasanya tegak lurus dengan jari-jari lingkaran di titik bersentuhan.

Multiple Choice

Suatu garis tegak lurus pada jari-jari yang melalui titik singgung disebut garis singgung.

• BENAR

• SALAH

PENYELESAIAN:

(melaksanakan proses pengamatan)

Pernyataan tersebut salah. Suatu garis tegak lurus pada jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung disebut bukan garis singgung, melainkan garis diameter. Garis singgung pada lingkaran adalah garis yang hanya bersentuhan dengan lingkaran pada satu titik saja, tetapi garis singgung tersebut tidak memotong lingkaran. Garis singgung biasanya tegak lurus dengan jari-jari lingkaran di titik bersentuhan.

Sedangkan garis diameter adalah garis yang memotong lingkaran pada dua titik dan melalui pusat lingkaran. Garis diameter juga tegak lurus dengan jari-jari lingkaran di titik tengah.

​

(menarik kesimpulan yang logis)

Jadi, pernyataan yang benar adalah "Suatu garis tegak lurus pada jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung disebut garis diameter, bukan garis singgung."

Multiple Choice

Dua lingkaran yang bersinggungan di luar akan berpotongan di dua titik persekutuan.

• BENAR

• SALAH

PENYELESAIAN:

(melaksanakan proses pengamatan)

Pernyataan tersebut salah. Dua lingkaran yang bersinggungan di luar tidak akan berpotongan di dua titik persekutuan, tetapi justru akan memiliki dua titik persekutuan yang sama. Dua lingkaran yang bersinggungan di luar berarti keduanya hanya bersentuhan di satu titik. Tetapi pusat kedua lingkaran terpisah.

Dalam hal ini, garis yang menghubungkan pusat kedua lingkaran adalah garis jarak antar pusat. Ketika garis jarak antar pusat diperpanjang, garis tersebut akan memotong kedua lingkaran di titik-titik yang disebut sebagai titik persekutuan.

Namun, karena dua lingkaran tersebut bersinggungan di luar, maka garis jarak antar pusat akan melewati titik persinggungan kedua lingkaran, sehingga hanya terdapat satu titik persekutuan yang sama, dengan kata lain, garis jarak antar pusat dan garis singgung kedua lingkaran tersebut memiliki satu titik yang sama.

​

(menarik kesimpulan yang logis)

Jadi, pernyataan yang benar adalah “Dua lingkaran yang bersinggungan di luar tidak akan berpotongan di dua titik persekutuan, tetapi justru akan memiliki dua titik persekutuan yang sama.”

Multiple Choice

Dua lingkaran yang berpotongan sudah pasti mempunyai dua titik persekutuan.

• BENAR

• SALAH

PENYELESAIAN:

(melaksanakan proses pengamatan)

Pernyataan tersebut benar. Dua lingkaran yang berpotongan pasti memiliki dua titik persekutuan. Ini karena saat dua lingkaran berpotongan, kedua lingkaran tersebut berbagi dua titik yang sama, oleh karena itu, dua titik ini adalah titik-titik persekutuan dari kedua lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut.

Dalam gambar di samping, kedua lingkaran berpotongan di titik A dan B, titik A dan B adalah titik persekutuan dari kedua lingkaran tersebut.

​

(menarik kesimpulan yang logis)

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa dua lingkaran yang berpotongan pasti memiliki dua titik persekutuan.

Multiple Choice

Dua lingkaran yang bersinggungan di dalam sudah pasti mempunyai satu titik persekutuan.

• BENAR

• SALAH

PENYELESAIAN:

(melaksanakan proses pengamatan)

Pernyataan tersebut salah. Dua lingkaran yang bersinggungan di dalam tidak memiliki satu titik persekutuan. Ketika dua lingkaran bersinggungan di dalam, mereka hanya bersentuhan di satu titik. Oleh karena itu, titik tersebut adalah titik singgung dari kedua lingkaran, bukan titik persekutuan.

(menarik kesimpulan yang logis)

Dalam gambar di samping, dua lingkaran bersinggungan di dalam pada titik P, tetapi tidak ada garis yang dapat menghubungkan pusat kedua lingkaran yang melewati titik P. Oleh karena itu, tidak ada titik persekutuan yang dapat dibuat untuk kedua lingkaran.

Multiple Choice

Dua lingkaran yang terpisah akan mempunyai satu titik persekutuan.

• BENAR

• SALAH

PENYELESAIAN:

(melaksanakan proses pengamatan)

Pernyataan tersebut salah. Perhatikan gambar.

Dua lingkaran yang terpisah tidak akan memiliki satu titik persekutuan. Ketika dua lingkaran terpisah, artinya tidak ada bagian dari kedua lingkaran yang saling tumpang tindih atau saling bersentuhan.

(menarik kesimpulan yang logis)

Sehingga tidak mungkin ada titik yang merupakan titik persekutuan dari kedua lingkaran tersebut.