spltv

SISTEM PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 4

Sumber gambar: Shutterstock.com

4.1 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Himpunan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu ሼ

ሽ

𝑥, 𝑦, 𝑧 | 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +

𝑐𝑧 = 𝑑 adalah suatu bidang datar dalam sumbu-sumbu ortogonal 𝑥 𝑦, dan 𝑧.

ቐ

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3

Hanya mempunyai satu
penyelesaian untuk
𝑥, 𝑦, dan𝑧, yaitu
(𝑥, 𝑦, 𝑧).

Untuk menyelesaikan sIstem persamaan linear tiga variabel dapat
menggunakan metode substitusi ataupun metode eliminasi.

Metode Substitusi

langkah-langkah sebagai berikut.

1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana. Nyatakan 𝑥 sebagai fungsi 𝑦 dan 𝑧, atau

𝑦 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑧, atau 𝑧 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑦.

2.Subtitusikan x, atau y, atau z yang diperoleh pada Langkah 1 ke dua persamaan yang

lainnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel.

3.Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang diperoleh pada Langkah 2.

4.Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada Langkah 3 ke salah satu persamaan

semula untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan metode substitusi.

ቐ

2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 23

⋯ (1)

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 15

⋯ (2)

5𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −2

⋯ (3)

Jawab:

5𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −2
𝑦 = −5𝑥 + 2𝑧 − 2

⋯ 4

Substitusi persamaan (4) ke persamaan (2).

3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 15

3𝑥 − (−5𝑥 + 2𝑧 − 2) + 3𝑧 = 15
3𝑥 + 5𝑥 − 2𝑧 + 2 + 3𝑧 = 15

8𝑥 + 𝑧 = 13

⋯ (5)

Substitusi persamaan (4) ke persamaan (1).

2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 23

2𝑥 + 2(−5𝑥 + 2𝑧 − 2) + 3𝑧 = 23

2𝑥 − 10𝑥 + 4𝑧 − 4 + 3𝑧 = 23

−8𝑥 + 7𝑧 = 27

Persamaan (5) dan persamaan (6) membentuk
sistem persamaan linear dua variabel.

ቊ 8𝑥 + 𝑧 = 13
−8𝑥 + 7𝑧 = 27

SPLDV tersebut akan diselesaikan dengan metode
substitusi.
8𝑥 + 𝑧 = 13 ⟺ 𝑧 = −8𝑥 + 13

⋯ 7

Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6):

−8𝑥 + 7𝑧 = 27

−8𝑥 + 7 −8𝑥 + 13 = 27

−8𝑥 − 56𝑥 + 91 = 27

−64𝑥 = −64

𝒙 = 𝟏

Substitusi 𝑥 = 1 ke persamaan (7):
𝑧 = −8𝑥 + 13
𝑧 = −8 1 + 13
𝒛 = 𝟓

Dari SPLDV Mempunyai penyelesaian 𝑥 = 1 dan 𝑧 = 5.
Substitusi 𝑥 = 1 dan 𝑧 = 5 ke persamaan (3):
5𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −2
5 1 + 𝑦 − 2 5 = −2
𝑦 − 5 = −2
𝒚 = 𝟑
Himpunan penyelesaiannya adalah

1, 3, 5

.

Metode Eliminasi

Langkah-langkah sebagai berikut.

1.Eliminasi salah satu variabel, 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 sehingga diperoleh sistem persamaan

linear dua variabel.

2.Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel pada Langkah 1 sehingga diperoleh nilai

dua variabel, 𝑥 dan 𝑦 atau 𝑥 dan 𝑧 atau 𝑦 dan 𝑧.

3.Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada Langkah 2 ke salah satu persamaan

semula untuk mendapatkan nilai variabel yang ketiga.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode eliminasi.

ቐ

𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4

⋯ (1)

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5

⋯ (2)

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 16

⋯ (3)

Jawab:

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2), kemudian
persamaan (2) dan (3).

ቤ
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5

× 1
× 3 ቤ 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4

6𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 15

7𝑥 − 𝑦 = 11

⋯ (4)

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 16
−𝑥 − 3𝑦 = −11 ⋯ (5)

+

Eliminasi persamaan (4) dan (5).

ฬ
7𝑥 − 𝑦 = 11

−𝑥 − 3𝑦 = −11

× 3
× 1 ቤ 21𝑥 − 3𝑦 = 33

−𝑥 − 3𝑦 = −11

22𝑥 = 44

𝑥 = 2

ฬ
7𝑥 − 𝑦 = 11

−𝑥 − 3𝑦 = −11

× 1
× 7 ቤ
7𝑥 − 𝑦 = 11

−7𝑥 − 21𝑦 = −77

−22𝑦 = −66

𝑦 = 3

Substitusi 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 3 ke persamaan (2)

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5

2 2 − 3 + 𝑧 = 5

𝑧 = 4

Jadi, penyelesaiannya adalah

2, 3, 4

−

+

−

MODEL MATEMATIKA

SPLTV

Apakah 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 termasuk sistem persamaan linier tiga variabel?

INGAT KEMBALI!

Jika ada permasalahan seperti berikut:
Lima tahun lalu, jumlah usia Andi, Bobi dan Cita adalah 34 tahun. Tahun
ini, usia Bobi 2 tahun lebihnya dari usia Andi, sedangkan jumlah usia Bobi
dan Cita adalah 36 tahun. Jika tahun ini adalah tahun 2024, kapan tahun
cita lahir?

Bagaimana cara mencari solusinya?

Contoh

Ayu, Bimo, dan Candra berbelanja di sebuah toko buku

secara bersamaan. Ayu membeli 3 set pensil, 4 buku tulis,
dan 1 penghapus. Bimo membeli 6 set pensil, 2 buku tulis,
dan 1 penghapus. Candra membeli 2 set pensil, 5 buku
tulis,

dan

10penghapus.

Dikasir,

Ayu

membayar

Rp83.000,00; Bimo membayar Rp86.000,00; dan Candra
membayar Rp158.000,00. Berapa harga masing-masing
benda tersebut?
Jawab:

Langkah 1:
Misalkan: 𝑥 = harga 1 set pensil

𝑦 = harga 1 buah buku tulis
𝑧 = harga 1 buah penghapus

Sistem peramaannya adalah ቐ

3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 83.000
6𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 86.000

2𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 158.000

Langkah 2: Modelkan

−

Eliminasi Persamaan (1) dan Persamaan (2):
3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 83.000
6𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 86.000
−3𝑥 + 2𝑦 = −3.000

⋯ (4)

Eliminasi persamaan (2) dan persamaan (3):

ฬ
6𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 86.000

2𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 158.000

× 10
× 1 ቤ60𝑥 + 20𝑦 + 10𝑧 = 860.000

2𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 158.000

58𝑥 + 15𝑦 = 702.000

⋯ (5)

−

Eliminasi persamaan (4) dan persamaan (5):

ฬ
−3𝑥 + 2𝑦 = −3.000
58𝑥 + 15𝑦 = 702.000

× 15
× 2ቤ −45𝑥 + 30𝑦 = −45.000

116𝑥 + 30𝑦 = 1.404.000

−161𝑥 = −1.449.000

𝑥 = 9.000

−

Langkah 3: Mencari Solusi dengan eliminasi dan subtitusi

Substitusi 𝑥 = 9.000 ke persamaan (4):

−3𝑥 + 2𝑦 = −3.000

−3 9.000 + 2𝑦 = −3.000

−27.000 + 2𝑦 = −3.000

2𝑦 = 24.000
𝑦 = 12.000

Substitusi 𝑥 = 9.000 dan 𝑦 = 12.000 ke persamaan (1):
3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 83.000

3 9.000 + 4 12.000 + 𝑧 = 83.000

27.000 + 48.000 + 𝑧 = 83.000
𝑧 = 8.000

Jadi, harga 1 set pensil adalah Rp.9.000,00; harga 1 buah buku tulis adalah
Rp12.000,00; dan harga 1 buah penghapus adalah Rp8.000,00.

AYO MENCOBA

Nyatakan kondisi berikut dalam sistem persamaan:

1. Harga 3 buku tulis, 2 pensil dan 3 bolpoin adalah Rp. 15.700, dan

harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp. 9.200 sedangkan harga 4
pensil dan 3 bolpoin adalah Rp. 11.000

2. Rizki mempunyai pita hias berwarna merah, ungu dan kuning.

Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut 275 cm. Panjang pita ungu 5
cm kurang dari panjang pita kuning. Panjang pita kuning 20cm lebih
dari panjang pita merah.

Misalkan: 𝑥 = harga 1 buku tulis

𝑦 = harga 1 pensil
𝑧 = harga 1 bolpoin

1.Harga 3 buku tulis, 2 pensil dan 3 bolpoin adalah Rp. 15.700, dan harga 2 buku
tulis dan 3 pensil adalah Rp. 9.200 sedangkan harga 4 pensil dan 3 bolpoin adalah
Rp. 11.000

3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 15.700

Modelkan

2𝑥 + 3𝑦 = 9.200
4𝑦 + 3𝑧 = 11.000

Misalkan: 𝑥 = Panjang pita warna merah

𝑦 = Panjang pita warna ungu
𝑧 = Panjang pita warna kuning

2. Rizki mempunyai pita hias berwarna merah, ungu dan kuning. Jumlah panjang
ketiga pita hias tersebut 275 cm. Panjang pita ungu 5 cm kurang dari panjang pita
kuning. Panjang pita kuning 20cm lebih dari panjang pita merah.

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 275

Modelkan

𝑦 = 𝑧 − 5
𝑧 = 𝑥 + 20

1. Harga 3 buku tulis, 2 pensil dan 3 bolpoin adalah Rp. 15.700, dan

harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp. 9.200 sedangkan harga 4
pensil dan 3 bolpoin adalah Rp. 11.000. tentukan berapakah harga 1
buku tulis, 1 pensil dan 1 bolpoin?

2. Rizki mempunyai pita hias berwarna merah, ungu dan kuning.

Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut 275 cm. Panjang pita ungu 5
cm kurang dari panjang pita kuning. Panjang pita kuning 20cm lebih
dari panjang pita merah. Berpakah Panjang pita merah dan ungu?

Latihan
1. Candra membeli 4 roti, 3 donat, dan segelas kopi, ia harus membayar Rp14.000,00.

Bima membeli 2 roti, 4 donat dan segelas kopi, ia harus membayar Rp11.000,00. Uci
membeli 5 donat dan 2 gelas kopi, ia membayar Rp10.000,00. Jika Bintang hanya
membeli sebuah roti dan sebuah donat, ia harus membayar sebesar ....

2. Syifa, Selvi, Raikhana, dan Veril berbelanja di sebuah toko. Syifa membayar

Rp20.000 untuk membeli 3 susu kotak, 3 bungkus keripik, dan 2 bungkus kacang.
Selvi membayar Rp13.500,00 untuk membeli 2 susu kotak dan 3 bungkus kacang.
Sementara itu, Raikhana membayar Rp19.500,00 untuk membeli 6 bungkus keripik
dan 3 bungkus kacang. Jika veril membeli 2 susu kotak, 3 bungkus keripik dan 1
bungkus kacang, sedangkan uangnya RP20.000,00, maka kembalian yang
diterimanya adalah ….

Pembagian Tim

MUHAMMAD BINTANG RAYA RABBANI
SELFI KURNIA
BHIMA RIZKY NARENDRA
DANU HUDAN PRIATNA

DAVISA PRAYUDISTAMA
NADIA HASNA AL'GHANY
PRISHA HANISA FAHRA
RAHAYU TRI SETIASIH

RIKHIH KURNIAWAN
SYIFA AYU FEBRIANTI
UCI PRIYONO
AZAHRA RAHMADINI

CANDRA KURNIAWAN
DANAR JATI YUDHISTIRA
RAIHANAH NUR SA'DIYAH
SAFIRA

SURTININGSIH
ALVIA NADIAH ZAHRA
RESNU NOVERIAL ALANSYAH PUTRA
SALVA DYAS PRAMESTI

FEGA NUR FEBRIANTI
NURI ALIFIANI
MUHAMMAD FADHIL
SALMA DWI GUSTYANINGSIH

SYARIF BAGUS WICAKSONO
IVANA RAHMA FIKA
AULIA NUR AZIZAH
DELVA RAHMAH ERAWATI

ZULFA NUR KHASANAH
KARISYA PUTRI SUNDARI
VERA VIBRIANTY
INDAH NURAENI IFATUNNISA

FAIKHA QURROTU 'AINI
SALSA BILLA ZALFAANUR
A'ISY SYAFIQ WENING ZUKRUF AL WALIY
SANDY FITRANTO PRATAMA

Tim 4

Tim 1

Tim 3

Tim 5

Tim 2

Tim 8

Tim 7

Tim 6

Tim 9

UJI PEMAHAMAN

4.2 Pertidaksamaan Linear

0

Daerah yang memenuhi

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 > 𝑐

Daerah yang memenuhi

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐

𝑋

𝑌

Gambar di samping menunjukkan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
yang memberikan tiga penyelesaian, yaitu:
1.Himpunan titik-titik 𝑥, 𝑦 yang memenuhi garis
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐.

2.Himpunan titik-titik 𝑥, 𝑦 yang memenuhi
pertidaksamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 > 𝑐, dan

3.Himpunan titik-titik 𝑥, 𝑦 yang memenuhi
pertidaksamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐.

Contoh

Tentukan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan berikut.

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 6

𝑥 − 𝑦 < 1

𝑥 ≥ −1
𝑦 ≥ 0

Jawab:

𝑥0

3

𝑦2

0

2𝑥 + 3𝑦 = 6⟶

𝑥0

1

𝑦−10

𝑥 − 𝑦 = 1 ⟶

Ambil titik selidik (0, 1).
•2𝑥 + 3𝑦 ≤ 6
2 0 + 3 1 ≤ 6
3 ≤ 6(benar)

•𝑥 − 𝑦 < 1
0 − 1 < 1
−1 < 1 (benar)

•𝑥 ≥ −1
0 ≥ −1(benar)

•𝑦 ≥0
1 ≥ 0 (benar)

Arsirlah daerah yang memuat (0, 1).
Jadi, daerah pennyelesaiannya adalah daerah yang diarsir seperti
pada gambar di samping.