เรียนรวมๆ

การแจกแจงความน่าจะเป็น

รู้นะ คิดอะไรอยู่

ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

Multiple Choice

การแจกแจงแบบเอกรูปชนิดไม่ต่อเนื่อง หมายถึงอะไร?

• ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก

• ตัวแปรสุ่มที่แต่ละค่ามีความน่าจะเป็นเท่ากัน

• การแจกแจงที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นศูนย์

• ตัวแปรสุ่มที่มีค่าต่ำสุดเป็นศูนย์

Drag and Drop

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ ​

Placeholder

หรือ ​

Placeholder

(discrete uniform distribution) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นอย่างเป็นระบบโดยที่น่าจะสังเกตค่าจำนวนจำกัดได้เท่า ๆ กัน ทุกค่าจำนวน n มีความน่าจะเป็นเท่ากัน ​

Placeholder

​

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

การแจกแจงเอกรูปวิยุต

1/n

Labelling

ใส่ข้อความลงในช่องว่าง

Drag labels to their correct position on the image

รู้นะ

แน่ใจนะ

สบาย สบาย

ฮั่นแน่

Match

จับคู่สิ่งต่อไปนี้

• ใบไม้

• รากหงอก

• ดอกไม้

• ใบหญ้า

กระถาง

สีเขียว

เน่า

สวยงาม

คา

• กระถาง

• สีเขียว

• เน่า

• สวยงาม

• คา

Hotspot

ระบุประเทศเอเชียตะวันออกเฉียงใต้

4 | P a g e

4.3 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่ส าคัญ (Discrete Probability
Distribution)

การทดลองสุ่มแบบทั่วไป หากเราพิจารณาจะพบว่าในบางการทดลองสุ่มนั้น ลักษณะของตัวแปรสุ่ม

จะมีลักษณะคล้ายๆ กัน ถึงแม้ว่าจะเป็นการทดลองคนละชนิดกัน เช่น ในการโยนเหรียญ 1 อัน 3 ครั้ง สนใจ
จ านวนครั้งที่ขึ้นหัว จ านวนครั้งที่ขึ้นหัวจะมีค่าเป็นไปได้คือ 0,1,2 หรือ 3 และ ในการศึกษาเพศของบุตร โดย
สนใจจ านวนบุตรที่เป็นหญิง จากครอบครัวที่มีบุตร 3 คน จะได้ว่าจ านวนบุตรหญิงที่เป็นไปได้คือ 0,1,2 หรือ 3
เช่นเดียวกัน ดังนั้นเราจะเห็นได้ว่า ลักษณะของตัวแปรสุ่มจะมีลักษณะคล้ายๆ กัน จึงตั้งชื่อการแจกแจงความ
น่าจะเป็นของการทดลองที่มีลักษณะคล้ายๆ กันนี้ว่าเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นทวินาม (Binomial
distribution) และยังมีการแจกแจงของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องแบบอื่นๆ ที่ส าคัญ เช่น การแจกแจงปัวซง
(Poisson distribution) เป็นต้น

4.3.1 การแจกแจงแบบทวินาม (Binomial distribution)

การทดลองแบบทวินาม

การทดลองใดๆ ที่ประกอบด้วยการกระท าซ้ าๆ ที่เป็นอิสระกัน และผลที่เกิดขึ้นเป็นไปได้เพียงสอง

อย่าง คือความส าเร็จ (success) และความไม่ส าเร็จ (failure) เช่น การโยนเหรียญหนึ่งอัน 5 ครั้ง เป็นการ
กระท าที่ซ้ าๆ กัน 5 ครั้ง ซึ่งแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน กล่าวคือ ผลที่ได้จากการโยนเหรียญในแต่ละครั้งไม่ขึ้น
ต่อกันและผลจากการโยนเหรียญแต่ละเหรียญจะมีผลเกิดขึ้นได้เพียงสองอย่างคือจะได้หัวหรือได้ก้อยเท่านั้น
ซึ่งหากเราสนใจผลลัพธ์ขึ้นหัว จะถือว่าการขึ้นหัวเป็นความส าเร็จ ส่วนการขึ้นก้อยเป็นความไม่ส าเร็จ ส าหรับ
ตัวอย่างการโยนเหรียญนี้ความน่าจะเป็นของการขึ้นหัวในแต่ละครั้งเท่ากับ 1/2 และความน่าจะเป็นที่จะขึ้น
ก้อยในแต่ละครั้งเท่ากับ 1/2 เรียกการทดลองแบบนี้ว่าการทดลองทวินาม (binomial experiment)

อีกตัวอย่างหนึ่ง เช่น การหยิบไพ่จากส ารับครั้งละหนึ่งใบ 3 ครั้ง โดยการหยิบครั้งแรกแล้วใส่คืนก่อน

การหยิบครั้งต่อไป ถ้าก าหนดให้การหยิบไพ่ได้ไพ่สีแดงเป็นความส าเร็จ และการหยิบไพ่ได้ไพ่สีด าเป็นความไม่
ส าเร็จ ในแต่ละครั้งความน่าจะเป็นที่หยิบได้ไพ่สีแดงหรือความส าเร็จมีค่าเท่ากับ ½ และความน่าจะเป็นที่หยิบ
ไพ่ได้สีด า หรือความไม่ส าเร็จเท่ากับ ½ จะเห็นว่าเป็นการทดลองซ้ าๆกัน 3 ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน การกระท าแต่
ละครั้งมีผลเกิดขึ้นได้สองอย่าง และความน่าจะเป็นของความส าเร็จในแต่ละครั้งมีค่าเท่ากัน การทดลองนี้จึง
เรียกว่า การทดลองแบบทวินาม เช่นเดียวกัน ดังนั้นเราอาจสรุปได้ว่า

การทดลองแบบทวินามมีลักษณะทั่วๆ ไปดังนี้

1. การทดลองประกอบไปด้วยการกระท าซ้ าๆ กัน n ครั้ง
2. ในการกระท าแต่ละครั้งจะมีผลลัพธ์เกิดขึ้นได้ 2 อย่าง คือ ความส าเร็จ และ ความไม่ส าเร็จ
3. ความน่าจะเป็นของความส าเร็จ ที่เกิดขึ้นจากการกระท าแต่ละครั้งมีค่าคงที่เท่ากับ p และความ
น่าจะเป็นของความไม่ส าเร็จเท่ากับ q = 1 - p
4. การกระท าแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน

10 | P a g e

รูปที่ 4.3 การแจกแจงความน่าจะเป็นของจ านวนครั้งที่ยิงบอลลงห่วงจากการยิงลูกบอล 10 ครั้ง

จงหาความน่าจะเป็นที่
1. เขายิงลูกบอลลงห่วงอย่างน้อย 6 ครั้ง

ต้องการหาค่า P(X ≥6)
หาได้จาก𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) + 𝑃(𝑋 = 8) + 𝑃(𝑋 = 9) + 𝑃(𝑋 = 10)

หรือ

ซึ่ง P(X ≥6) เท่ากับ 1 - P(X ≤5)

ดังนั้น P(X ≥6) = 0.8497317

> 1-pbinom(5,10,0.7)
[1] 0.8497317

> a1=dbinom(6,10,0.7)
> a2=dbinom(7,10,0.7)
> a3=dbinom(8,10,0.7)
> a4=dbinom(9,10,0.7)
> a5=dbinom(10,10,0.7)
> a=a1+a2+a3+a4+a5
> a
[1] 0.8497317

11 | P a g e

2. เขายิงลูกบอลลงห่วงไม่เกิน 4 ครั้ง

ต้องการหาค่า P(X ≤4)

ดังนั้น P(X ≤4) = 0.04734899

ตัวอย่างที่ 4.4 ถ้าความน่าจะเป็นของกลอนประตูที่ช ารุดเท่ากับ 0.01 จงหาค่าเฉลี่ย และส่วนเบียงเบน
มาตรฐานของจ านวนกลอนประตูที่ช ารุด ถ้ามีกลอนประตู 4,000 อัน

ค่าเฉลี่ย

𝜇 = 𝑛𝑝 = 4000 × 0.01 = 40

ดังนั้น อาจจะพบกลอนประตูที่ช ารุด 40 อัน

ความแปรปรวน𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 = 4000 × 0.01 × 0.99 = 39.6
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน √39.6 = 6.29

4.3.2 การแจกแจงแบบปัวซง (Poisson distribution)

การทดลองแบบปัวซง

การทดลองที่ค่าของตัวแปรสุ่ม X แสดงจ านวนครั้งของความส าเร็จในช่วงเวลาหนึ่งที่ก าหนดหรือ

ภายในบริเวณที่ก าหนดให้เรียกว่าการทดลองแบบปัวซง (poisson experiment) ช่วงเวลาที่ก าหนดให้อาจจะ
เป็นหนึ่งนาทีหนึ่งชั่วโมง หนึ่งวัน หรือ หนึ่งปีก็ได้ ส่วนในบริเวณที่ก าหนดอาจะเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง ส่วน
หนึ่งของพื้นที่หรือปริมาตรก็ได้ ตัวอย่างเช่น จ านวนครั้งที่รับโทรศัพท์ในเวลา 1 ชั่วโมงของพนักงานโทรศัพท์
คนหนึ่ง หรือ จ านวนอุบัติเหตุรถชนกันที่สี่แยกแห่งหนึ่งในเวลา 1 เดือน เป็นต้น

ลักษณะของการทดลองแบบปัวซงโดยทั่วๆ ไปจะเป็นดังนี้

1. เราทราบค่าเฉลี่ย (λ) ของจ านวนความส าเร็จ (success) ที่ปรากฏขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งหรือบริเวณ

หนึ่งที่ก าหนด

2. ความน่าจะเป็นของการได้ความส าเร็จครั้งหนึ่งในช่วงเวลาที่สั้นมากช่วงหนึ่ง หรืออาณาบริเวณ

เล็กๆ บริเวณหนึ่ง ย่อมเป็นปฎิภาคโดยตรงกับช่วงเวลาหรือขนาดของบริเวณนั้นๆ แต่ไม่ขึ้นอยู่กับจ านวนครั้ง
ของความส าเร็จที่เกิดขึ้นภายนอกช่วงเวลาหรือบริเวณที่ก าหนด

3. ความน่าจะเป็นของการได้ความส าเร็จที่เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งในช่วงเวลาอันสั้น หรืออาณา

บริเวณเล็กๆ มีค่าน้อยมากจนสามารถตัดทิ้งได้

> pbinom(4,10,0.7)
[1] 0.04734899

18 | P a g e

3. น้อยกว่า 7 ตัว ต่อพื้นที่นา 1 ตารางวา

ต้องการหา P(X < 7) = P(X ≤6)

ดังนั้น P(X < 7) = 0:1301414

4. มากกว่า 23 ตัว ต่อพื้นที่ 2 ตารางวา

เนื่องจากหน่วยพื้นที่เปลี่ยนเป็นต่อนา 2 ตารางวา ดังนั้นจะต้องปรับค่าของ λใหม่จาก λ= 10 ต่อ

พื้นที่ 1 ตารางวา เป็น λ= 20 ต่อพื้นที่2 ตารางวา

ต้องการหา P(X > 23) = P(X ≥ 24) = 1 - P(X≤24)

ดังนั้น P(X > 23) = 0:1567726

5. น้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 ตัวต่อพื้นที่ 0.5 ตารางวา

เนื่องจากหน่วยพื้นที่เปลี่ยนเป็นต่อ 0.5 ตารางวา ดังนั้นจะต้องปรับค่าของ λใหม่จาก λ= 10 ต่อ

พื้นที่ 1 ตารางวา เป็น λ= 5 ต่อพื้นที่ 0.5 ตารางวา

ต้องการหา P(X≤3)

ดังนั้น P(X ≤3) = 0:2650259

4.4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องที่ส าคัญ

ที่ผ่านมาเราได้ศึกษาถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่ส าคัญแล้ว ในส่วน

เราจะศึกษาถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องที่ส าคัญบางชนิด ได้แก่

1. การแจกแจงปกติ (Normal Distribution)
2. การแจกแจงไคสแควร์ (Chi-Square Distribution)
3. การแจกแจงที (t Distribution)
4. การแจกแจงเอฟ (F Distribution)

> ppois(6,10)
[1] 0.1301414

> 1-ppois(24,20)
[1] 0.1567726

> ppois(3,5)
[1] 0.2650259

25 | P a g e

ตัวอย่างที่ 4.9 นักศึกษาชายของวิทยาลัยแห่งหนึ่งมีน้ าหนักค่าเฉลี่ย 75 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
7 กิโลกรัม สมมติว่าน้ าหนักมีการแจกแจงแบบปกติ
ก าหนดให้ 𝜇= 75 และ 𝜎= 7 จงหาความน่าจะเป็นที่นักศึกษามีน้ าหนัก

1. ระหว่าง 60 และ 78 กิโลกรัม

ต้องการหา P(60 < X < 78)

ดังนั้น P(60 < X < 78) = 0:6498201

2. มากกว่า 92 กิโลกรัม

ต้องการหา P(X > 92)

ดังนั้น P(X > 92) = 0.007579219

ตัวอย่างที่ 4.10 จงหาค่า a ที่ท าให้
1. P(Z < a) = 0.0025

ดังนั้น a = -2.807034

2. P(Z < a) = 0.95

ดังนั้น a = 1.644854

> pnorm(78,75,7)-pnorm(60,75,7)
[1] 0.6498201

> 1-pnorm(92,75,7)
[1] 0.007579219

> qnorm(0.0025)
[1] -2.807034

> qnorm(0.95)
[1] 1.644854