Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин

By Андрей Лапицкий

​Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:

​Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины является неслучайной (постоянной) величиной.
2. Математическое ожидание M(X) является средним значением дискретной случайной величины X (центром распределения).
3. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(С) = С , при С = const.
4. Если X , Y независимые случайные величины, то M(X+Y)=M(X)+M(Y); M(X⋅Y)=M(X)⋅M(Y).

​Пример

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Fill in the Blanks

​Дисперсия дискретной случайной величины

Пусть Х – случайная величина, M(X) – её математическое ожидание.
Разность X − M(X) называют отклонением случайной величины Х от её математического ожидания M(X).
Дисперсией (рассеянием) D(X) дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

​Свойства дисперсии дискретной случайной величины

1. Дисперсия характеризует разброс (рассеивание) значений случайной величины относительно её математического ожидания.
2. D(X)=M(X²)−(M(X))².
3. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С)=0, при С=const.
4. Если Х , Y независимые случайные величины, то D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X⋅Y)=M(X)²⋅M(Y)²−(M(X))²⋅(M(Y))²

​Пример

Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Fill in the Blanks

​Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины Х, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса имела размерность случайной величины Х, используют другую числовую характеристику – среднее квадратическое отклонение.
Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины Х называют квадратный корень из её дисперсии:

​Пример

Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной законом распределения (см. предыдущий пример):

Fill in the Blanks

​Задание

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

​Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.