Funktionen Wiederholung

​Lernumgebung Funktionen

By Angelina Kirchhoff

Ablauf

Ihr habt euch mit euren Ipads über den QR-code in das Programm eingeloggt. Ihr durftet euch auf dem Fragebogen einen Nickname für diese Doppelstunde aussuchen. Diesen schreibt ihr nun auch in das Programm. Es ist wichtig, dass es genau derselbe Nickname vom Fragebogen ist.
Dann habt ihr kurz Zeit, euren Avatar zu erstellen. Ihr könnt selbst entscheiden, ob ihr direkt die Aufgabe machen wollt oder die Folien zur Wiederholung nutzen möchtet. Ihr könnt jederzeit zu vorherigen Folien zurückkehren. An der linken Seite erscheint eine Bestenliste mit euren Nicknames, sodass ihr völlig anonym sein könnt und euren eigenen Status in der Bestenliste verfolgen könnt

Ihr dürft selbst entscheiden, welche Aufgaben ihr lösen wollt, um die Rangliste nach oben zu klettern. Die Aufgaben geben unterschiedlich viele Punkte, gemessen an ihrem Anforderungsbereich.

​Aufgabenauswahl

Wenn ihr die Aufgaben relativ zügig bearbeitet, erhaltet ihr Bonuspunkte. Je nach Komplexität der Aufgabe erhaltet ihr diesen nach unterschiedlichen Bearbeitungszeiten nicht mehr.

​Zeitbonus

Infos zur Lernumgebung

Wiederholung

Grundlegendes zu Funktionen

Mathematische Definition: Bei einer Funktion wird jedem Element 𝑥 aus ihrer Definitionsmenge genau ein Element 𝑦 aus der Wertemenge zugeordnet. Das heißt, es gibt keinen 𝑥 −Wert, dem mehrere 𝑦 −Werte zugeordnet werden. 𝒇(𝒙) = 𝒚 bedeutet „eine Funktion 𝑓 ordnet der Zahl 𝑥 die Zahl 𝑦 zu"

Darstellung: Eine Funktion kann durch ihren Graphen, mit Hilfe von Tabellen, als Funktionsgleichung oder im Text dargestellt werden. Jede Darstellung hat bestimmte Vorteile, weshalb ein Darstellungswechsel oft hilfreich ist.










Definitionsmenge: Die Definitionsmenge Df einer Funktion 𝑓 ist die Menge aller Zahlen, die ein 𝑥-Wert annehmen darf.
Beispiel: Die Funktion f auf der rechten Seite ist auf 𝐷𝑓 = [1; 5] definiert, das heißt die 𝑥-Werte können Zahlen aus dem Intervall [1; 5] annehmen,
also gilt 1 ≤ 𝑥 ≤ 5.
Wertemenge: Die Wertemenge Wf einer Funktion 𝑓 ist die Menge aller Funktionswerte (für eine bestimmte Definitionsmenge).
Beispiel: Die Wertemenge der Funktion auf der rechten Seitre ist 𝑊𝑓 = [−1; 4], also liegen alle Funktionswerte in diesem Intervall und es gilt −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 4.

Funktionsgraphen

Anhand eines Funktionsgraphen kann man viele Informationen ablesen, zum Beispiel die Nullstellen der Funktion. Zwei wesentliche Aspekte, die man an Funktionsgraphen untersuchen kann, sind:

Zuordnung: Welche Funktionswerte werden einem bestimmten 𝑥-Wert zugeordnet? Welche 𝑥-Werte sind einem bestimmten Funktionswert zugeordnet?
Beispiel: Für f(x)=x² sind dem Funktionswert y=4 genau zwei x zugeordnet, x₁=2 und x₂=-2, denn f(2)=2²=4 und f(-2)=(-2)^²=4. y=0 ist allerdings eindeutig x=0 zugeordnet.

Veränderung: Wie ändern sich die Funktionswerte, wenn sich die 𝑥-Werte ändern? Wie ändern sich die 𝑥-Werte, wenn sich die Funktionswerte ändern?
Beispiel: Wenn für f(x)=x² immer größere x eingesetzt werden, so wird der Funktionswert zunehmend schneller höher

Sachkontexte

Graphen werden häufig benutzt, um Sachverhalte aus dem Alltag darzustellen. Oft handelt es sich um Situationen, in denen der Weg oder die Geschwindigkeit eines Objekts eine Rolle spielen.

Beispiel: Ein Auto durchfährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit eine Linkskurve. Der Funktionswert 𝑠(𝑡) gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt 𝑡 an.







Typische Fehler:
Ein häufiger Fehler ist das Interpretieren eines Funktionsgraphen als reales Abbild der Situation. Der Graph beschreibt jedoch eine Situation nicht direkt. Es erfolgt immer noch der Zwischenschritt, indem die Situation zunächst mathematisch als eine Menge von Zahlenpaaren (Beispiel 1: „Zeit“  „zurückgelegter Weg“) beschrieben wird.

Lineare Funktionen

Funktionsgleichung: Eine lineare Funktion ist immer von der Form f(x)=mx+b, wobei m der Steigung der Funktion und b dem y-Achsenabschnitt entsprocht.

Lagebeziehungen: Im Zusammenhang mit Linearen Funktionen (Geraden) interessiert man sich oft für die Lage zweier Geraden zueinander. Diese können sich schneiden, parallel verlaufen oder identisch sein.












In welchem Punkt sich zwei Geraden schneiden berechnet man, indem man die Funktionsgleichungen gleichsetzt und nach x auflöst.

Beispiel: f(x)=2x und g(x)=-4x haben unterschiedliche Steigungen, also schneiden sie sich. Gleichsetzen liefert f(x)=g(x) <=> 2x=-4x und teilen durch 2 liefert x=-2, also schneiden sich die Funktionen an der Stelle x=-2. Setzt man nun diesen Wert in eine der beiden Funktionen ein, so erhält man den zugehörigen y-Wert und somit den Schnittpunkt.

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen werden beispielsweise verwendet, um beschleunigte Bewegungen (wie einen Ballwurf) zu beschreiben. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt „Parabel“. Die Funktion mit der Gleichung 𝒇(𝒙) = 𝒙² nennt man Normalparabel (s. Bild rechts)
Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄.
Bei dieser Darstellung kann man den Streck-/Stauchfaktor 𝒂 sowie den y-Achsenabschnitt 𝒄 direkt ablesen.
Der Faktor a bestimmt, wie gestreckt oder gestaucht der Graph ist, und c verschiebt die Funktion entlang der y-Achse.

Beispiel:
Die Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 1 kann graphisch schnell skizziert werden, indem man die einzelnen Parameter betrachtet. a=1 bedeutet, die Streckung/Stauchung entspricht der der Normalparabel. Der y-Achsenabschnitt ist bei x=1, daher muss an dieser Stelle der Graph die y-Achse schneiden. Betrachtet man nun die Form einer quadratischen Funktion und insbesondere der Normalparabel, so ergibt sich schnell der folgende Graph:

Nullstellenberechnuung

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Happy teaching!

Aufgaben

Math Response

Jedem Monat des Jahres 2015 wurde eine Durchschnittstemperatur zugeordnet. Schreibe die Sätze in Funktionssymbolik mit 𝑓(𝑥)=𝑦 und ordne die abhängige und die unabhängige Variable zu! (Lassen sie das °C in der Lösungseingabe weg)

a) Im September betrug die Durchschnittstemperatur 12,8 °C.

Type answer here

Correct Answer: f\left(x\right)=12.8

Deg^°

Rad

Fill in the Blanks

Jedem Monat des Jahres 2015 wurde eine Durchschnittstemperatur zugeordnet. Schreibe die Sätze in Funktionssymbolik mit 𝑓(𝑥)=𝑦 und ordne die abhängige und die unabhängige Variable zu! (Lassen sie das °C in der Lösungseingabe weg)

b) Die durchschnittliche Temperatur im März betrug 5 °C.

Fill in the Blanks

Jedem Monat des Jahres 2015 wurde eine Durchschnittstemperatur zugeordnet. Schreibe die Sätze in Funktionssymbolik mit 𝑓(𝑥)=𝑦.

c) Die Durchschnittstemperatur im Februar war geringer als die Durchschnittstemperatur im Januar

Multiple Select

Welcher der folgenden Abbildungen stellen die Graphen von Funktionen dar?

• a

• b

• c

Multiple Choice

Welcher der folgenden Abbildungen stellen die Graphen von Funktionen dar?

• d

• e

• f

Multiple Choice

Ordne die Funktionsgleichung f(x)=13x-4 einem der unten stehenden Graphen zu.

Graphing

Skizziere die Funktion f(x)=3 durch verschieben der Punkte.

Math Response

Gegeben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

a) Berechne die Nullstelle der Funktion. Trage die Stelle als x=... in das Feld unten ein.

Type answer here

Correct Answer: x=-0.5

Deg^°

Rad

Categorize

Options (12)

f(x)=x²

f(x)=x-3

f(x)=-2

-x²-2

f(x)=x²-1

f(x)=x³-3x

f(x)=2x-5

f(x)=x²+x-6

f(x)=x²+1

f(x)=3

f(x)=0.5x²+2

f(x)=5-x²

Ordne die Funktionen in die Kategorien "hat Nullstellen" und "hat keine Nullstellen" zu.

hat Nullstellen

hat keine Nullstellen

Multiple Choice

Ordne die Funktionsgleichung f(x)=-2x²-2x-1 einem Graphen zu.

Fill in the Blanks

Gegeben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

b) Gib den Schnittpunkt mit der 𝑦-Achse in der Form P(x,y) an.

Multiple Choice

Gegeben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

Geben Sie den Funktionswert für x=4 an.

• 8

• 7

• 6

• 9

• 10

Fill in the Blanks

Gegeben ist die Ableitungsfunktion f' mit

f'(x)=x²−2x−8, x∈IR.

f' ist die Ableitung einer Funktion f.

Berechnen Sie f'(−4) und tragen Sie das Ergebnis unten ein.

Multiple Choice

Gegeben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

Wie lautet/lauten die Nullstelle/n?

• x₁=0,5, x₂=-0,5

• x=2

• x=-0,5

• x=-1

• x=-0,5

Multiple Choice

Gegeben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥² -x.

Bestimme die Nullstellen.

• x₁=x₂=0

• x₁=1, x₂=-1

• x₁=x₂=-1

Fill in the Blanks

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=4x²−16.

Geben Sie die Nullstellen von f in der Form x₁,x₂ in das Lösungsfeld ein.

Match

Verbinden Sie die Funktionsgleichungen mit den passenden Nullstellen.

• f(x)=x²

• f(x)=x²-4

• f(x)=x²-9x

• f(x)=2x-18

x₁=x₂=0

x₁=2, x₂=-2

x₁=0, x₂=9

x=9

• x₁=x₂=0

• x₁=2, x₂=-2

• x₁=0, x₂=9

• x=9

Multiple Choice

Welcher der gegebenen Funktionsgleichungen passt zu der beschriebenen Situation?

"Nach einem heftigen Schneefall liegen 50 cm Neuschnee. Aufgrund milder Temperaturen schmilzt der Schnee und die Schneehöhe nimmt pro Stunde um 4 cm ab."

x gibt bei allen Funktionsgleichungen die Zeit in Minuten und y=f(x) die Schneehöhe an.

• f₁(x)=4-50x

• f₂(x)=-4x-50

• f₃(x)=-4x+50

• f₄(x)=50x-4

Reorder

Ordne die Funktionen ihrer Steigung nach, beginnend mit der geringsten Steigung.

• f(x)=-3x+12

• f(x)=-0,5x+13

• f(x)=-x

• f(x)=3

• f(x)=2x+4

1

2

3

4

5

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

Fill in the Blanks

Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung: $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^3−3x^2+\frac{9}{2}x−1,\ x∈IR$

a) Die Funktion f besitzt neben der in der Abbildung 1 ablesbaren Nullstelle x = 2 zwei weitere

Nullstellen.

Berechnen Sie diese und tragen Sie die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen in die zwei Kästchen gerundet ein.

Fill in the Blanks

Geben Sie den Schnittpunkt der Funktionen 𝑓₁(𝑥)=3𝑥+7 und 𝑓₂(𝑥)=−2𝑥−3 in der Form S(x,y) an.

Fill in the Blanks

Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung: $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^3−3x^2+\frac{9}{2}x−1,\ x∈IR$

b) Geben Sie f '(x) an und bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von f. Gib deine Lösung in dem Format "H(x,y), T(x,y), ..." ein, wobei H für lokalen Hochpunkt und T für lokalen Tiefpunkt steht.

Für die Hochpunkte H(1,2) und H(3,4) wäre also die Eingabe: "H(1,2), H(3,4)"

Math Response

Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung: $$f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^3−3x^2+\frac{9}{2}x−1,\ x∈IR$$

c) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte

P(1 | f (1)) und Q(3 | f (3)) verläuft.

Type answer here

Correct Answer: y=-x+2

Deg^°

Rad

Multiple Choice

Gegeben ist die Ableitungsfunktion f' mit

f'(x)=4x²−16, x∈IR.

b) Schau dir die Wertetabelle an. Überlege dir, welche Art lokaler Extrempunkt vorliegt.

• lokales Minimum

• lokales Maximum

Fill in the Blanks

Gegeben ist die Ableitungsfunktion f' mit

f'(x)=4x²−16, x∈IR.

c) Gib den lokalen Extrempunkt in der Form H(x,y) für ein lokales Maximum und T(x,y) für ein lokales Minimum an.

Multiple Choice

Der Ederstausee in Hessen ist einer der größten Stauseen in Deutschland. Wenn er bis zum

Überlauf gefüllt ist (Vollstau), dann enthält er eine Wassermenge von 200 Millionen mÑ.

Im Sommer 2022 herrschte in Deutschland eine extreme Trockenheit. Dadurch nahm die Wassermenge im Ederstausee immer weiter ab. Die Füllmenge des Ederstausees in Millionen m³ von Anfang Januar 2022 bis Mitte September 2022 kann für 0 ≤ t ≤ 8,5 näherungsweise mithilfe der Funktion $$f\left(x\right)=0,17t^5−3,49t^4+25,2t^3−83,4t^2+136,8t+93,\ t∈IR,$$

beschrieben werden.

a) Berechnen Sie die Füllmenge des Ederstausees am 01. April 2022.

• f (3) = 191,82

• f (3) = 180,34

• f (3) = 191

• f (3) = 120,91

Fill in the Blanks

Der Ederstausee in Hessen ist einer der größten Stauseen in Deutschland. Wenn er bis zum

Überlauf gefüllt ist (Vollstau), dann enthält er eine Wassermenge von 200 Millionen mÑ.

Im Sommer 2022 herrschte in Deutschland eine extreme Trockenheit. Dadurch nahm die Wassermenge im Ederstausee immer weiter ab. Die Füllmenge des Ederstausees in Millionen m³ von Anfang Januar 2022 bis Mitte September 2022 kann für 0 ≤ t ≤ 8,5 näherungsweise mithilfe der Funktion $f\left(x\right)=0,17t^5−3,49t^4+25,2t^3−83,4t^2+136,8t+93,\ t∈IR,$

beschrieben werden.

b) Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Füllmenge des Ederstausees von Anfang Juni bis Ende Juli 2022. Gib nur eine Zahl als Ergebnis in das Eingabefeld ein.