Kosinová věta

​Kosinová věta

By Veronika Šišková

Jak vypadá a k čemu ji potřebujeme?

Trojúhelník ABC

​Známe jeden úhel a dvě strany... jak dopočítáme 3. stranu?

Představte si zadání příkladu, ve kterém známe délky stran a,b
a velikost úhlu, který svírají.

Jak budeme postupovat, když bude mít známý úhel velikost 90°?

Fill in the Blanks

Uvažme pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C.

Pokud znáte délky stran a,b, jak dopočítáte délku strany c?

pomocí ...

(začněte velkým písmenem a uveďte 2. pád)

Multiple Choice

Jak vypadá Pythagorova věta?

strana c je přepona, strany a,b jsou odvěsny

• c² = a² : b²

• c² = a² + b²

• c² = a² · b²

• c² = a² - b²

Obecný trojúhelník ABC

Co budeme dělat, když trojúhelník nebude pravoúhlý?

Pro zjednodušení problému uvažujme pouze trojúhelník ostroúhlý.

Dokážeme nějak využít Pythagorovu větu i tak? Můžeme v ostroúhlém trojúhelníku najít pravoúhlý? Jak?

Home

Open in new tab

Copy link

https://www.geogebra.org/m/jraee64d

Fill in the Blanks

Co musíme v ostroúhlém trojúhelníku sestrojit, abychom ho rozdělili na dva pravoúhlé trojúhelníky?

(uveďte slovo ve 4. pádě)

Multiple Choice

Jak bude vypadat Pythagorova věta pro trojúhelník APC?

• b² = v² + u²

• v² = b² + u²

• b² = a² + v²

• v² = (c-u)² + a²

Multiple Choice

Jak bude vypadat Pythagorova věta pro trojúhelník BPC?

• a² = v² + c²

• a² = v² + (u-c)²

• a² = v² + (c-u)²

• a² = b² + v²

Co ještě platí v pravoúhlém trojúhelníku?

Když známe velikost ještě jednoho úhlu...

V pravoúhlém trojúhelníku umíme dopočítat délky stran i v případě, že známe pouze délku jedné strany a velikost jednoho (nepravého) úhlu.

Jak se nazývají funkce, které můžeme pro výpočet použít?

Nápověda: přilehlá ---- protilehlá ---- přepona --------> podíl

Fill in the Blanks

Jak se nazývají funkce, které můžeme použít pro výpočet v případě, že známe délku jedné strany a velikost jednoho (nepravého) úhlu?

Multiple Select

Které funkce patří mezi goniometrické funkce?

• Sinus

• Kosinus

• Absolutní hodnota

• Tangens

• Mocninná

Multiple Choice

Jaký vztah platí pro kosinus úhlu α?

Multiple Choice

Jaký vztah platí pro sinus úhlu α?

Nyní jsme připraveni!

​Již známe všechny potřebné nástroje
k vyjádření a dopočítání strany a

Znáte:
- velikosti stran b,c a velikost úhlu α
- Pythagorovu větu: a² = v² + (c - u)²
- goniometrické funkce

a² = v² + (c - u)²

Pokud se nám podaří vyjádřit v a u pomocí známých hodnot, získáme tím vyjádření délky strany a, které hledáme.

​Použijte goniometrické funkce a vzniklé pravoúhlé trojúhelníky k vyjádření výšky v a strany u pomocí b,c a α.

Multiple Choice

Jak vyjádříme velikost výšky v z pravoúhlého trojúhelníku APC pomocí známých hodnot b,c a α?

Multiple Choice

Jak vyjádříme velikost strany u z pravoúhlého trojúhelníku APC pomocí známých hodnot b,c a α?

Už máme téměř hotovo!

​Dosaďte vyjádřené hodnoty do a² = v² + (c - u)²

v = b · sin α
u = b · cos α

a² = (b · sin α)² + (c - b · cos α)²

Multiple Choice

Jak bude vypadat rovnice

a² = (b · sin α)² + (c - b · cos α)²

poté, co se zbavíme závorek?

Multiple Choice

a² = b² · sin² α + c² - 2bc · cos α + b² · cos² α

Co lze vytknout ze dvou členů?

• sin² α

• c²

• cos² α

• b²

Home

Open in new tab

Copy link

Pozorně si prohlédněte uvedené vzorce pro goniometrické funkce. Znalost jednoho z nich budete potřebovat pro další úpravu naší rovnice.

Multiple Choice

a² = b² · (sin² α + cos² α) + c² - 2bc · cos α

Po vytknutí b² se objeví součet sin² α + cos² α.

Čemu se tento součet rovná?

• α

• 1

• 0

• cos α

Finální tvar

​Rovnici jsme upravili do tvaru

a² = b² + c² - 2bc · cos α

​a tím jsme získali kosinovou větu!

Kosinová věta

​Má tři různé podoby

a² = b² + c² - 2bc · cos α
b² = a² + c² - 2ac · cos β
c² = a² + b² - 2ab · cos γ

Multiple Select

a² = b² + c² - 2bc · cos α

Při jakém zadání je vhodné použít kosinovou větu?

• Když známe tři strany.

• Když známe jednu stranu a jeden úhel.

• Když známe dva úhly a jednu stranu.

• Když známe dvě strany a úhel, který svírají.

Hurá do praxe!

Vyzkoušejte si použít kosinovou větu při řešení příkladů

Zadání příkladů i s teorií naleznete například zde:
https://is.muni.cz/do/rect/el/estud/prif/ps23/metodika_matematiky/web/pages/04_09_trigonometrie.html

Zdroje
https://is.muni.cz/do/rect/el/estud/prif/ps23/metodika_matematiky/web/pages/04_09_trigonometrie.html
https://cs.wikipedia.org/wiki/Kosinov%C3%A1_v%C4%9Bta
https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/ilustrace-trojuhelnik-znaceni.png
https://www.e-matematika.cz/stredni-skoly/obr/goniometricke-vzorce.gif