Números complexos FVA 11-05-2020

Considere, em C, os números complexos  $z=2+\left(1+2\ln a\right)i$  e  $w=3-\left(\ln a^4\right)i$ ,  $a\in IR^+$  .

Se  $z+w$  é um número real, qual é o valor de  $a$  ? 

•  $e$  

•  $\sqrt{e}$  

•  $\frac{\sqrt{e}}{e}$  

•  $1-e$  

Considere, em C , um número complexo w diferente de zero.
Em qual das opções, está indicada a representação no plano da condição  $\left|z-w\right|=\left|z+\overline{w}\right|$  

• Eixo real
  

• Eixo imaginário
  

• Bissetriz dos quadrantes pares
  

• Bissetriz dos quadrantes ímpares
  

Considere o complexo  $z_1=-1$  . Sejam  $z_1,\ z_2\ e\ z_3$   as raízes da equação:
   $z^3+z^2+9z+9=0$  .
Seja A o afixo de  $z_1$   , B o afixo da raiz em que Im(z) > 0 e C o afixo da restante raiz.
Qual é o perímetro do triângulo [ABC]?

•  $6-2\sqrt{10}$  

•  $3$  

•  $6+2\sqrt{10}$  
  

•  $6+\sqrt{10}$  

Considere, em C , os complexos  $z_1=2+2i$  e   $z_2=2z_1$ .

Qual das seguintes representa o conjunto dos pontos do plano complexo sombreado?

•  $1\le\left|z-z_1\right|\le2\wedge Im\left(z\right)\ge Re\left(z_1\right)\wedge\left|z\right|\ge\left|z-z_2\right|$  
  

•  $1\le\left|z-z_1\right|\le2\wedge\left|z\right|\ge\left|z-z_2\right|$  

•  $1\le\left|z-z_1\right|\le2\wedge Im\left(z\right)\ge Re\left(z_1\right)$  

•  $1\le\left|z-z_1\right|\le2\wedge Im\left(z\right)\ge Re\left(z_1\right)\wedge\left|z\right|\le\left|z-z_2\right|$  

Sejam w e z dois números complexos, tais que:  $w=\frac{z-i}{2z+i}$  . Determine o conjunto dos números complexos z , tal que w seja um imaginário puro.

• Circunferência de centro  $\left(0;0\right)$  e raio  $1$ 

• Circunferência de centro  $\left(0;\frac{1}{4}\right)$  e raio  $1$ 

• Circunferência de centro  $\left(0;0\right)$  e raio  $\frac{3}{4}$ 

• Circunferência de centro  $\left(0;\frac{1}{4}\right)$  e raio  $\frac{3}{4}$  
  

A representação geométrica, no plano complexo, da condição  $z+\overline{z}=24\wedge z\overline{z}\le169$   é uma linha. O comprimento dessa linha é:

• 5

• 25

• 10

• 12

Seja 𝒛 um número complexo de argumento  $\frac{\pi}{7}$ .
Qual poderá ser um argumento do complexo resultante do produto de  $-i$  por  $\overline{z}$  ?

•  $\frac{5\pi}{14}$  

•  $\frac{19\pi}{14}$  

•  $\frac{9\pi}{14}$  

•  $-\frac{5\pi}{14}$  

Para um certo valor de 𝒌 real, sabe-se que 𝟏+𝒊 é uma raiz da equação  $x^2+kx-k=0$  .
O valor de k é:

•  $1$  

•  $2$  

•  $-1$  

•  $-2$  

Considere o complexo  $z=8-6i$ . Qual das afirmações é verdadeira?

• O conjugado de z é  $-8-6i$  
  

• O simétrico de z é  $8+6i$  
  

• O módulo de z é 10
  

• O inverso de z é  $\frac{1}{8}-\frac{1}{6}i$  
  

Considera, no conjunto dos números complexos, a condição:  $\frac{\pi}{6}\le Arg\left(z-1\right)\le\frac{\pi}{2}\wedge Im\left(z-1\right)\ge1$  .

Qual dos seguintes números complexos tem o seu afixo na região definida pela condição dada?

•  $\frac{1}{2}+3i$  

•  $3+\frac{1}{2}i$  

•  $3e^{i\ \frac{\pi}{3}}$  

•  $\sqrt{3}e^{i\ \frac{\pi}{2}}$