Module 1 Vecteurs et droites de l'espace

Dans l'espace, pour déterminer si deux vecteurs sont colinéaires...

• On calcule le déterminant

• On cherche à trouver une relation de proportionnalité

Dans l'espace, on se sert de la colinéarité pour montrer que

• Des points sont alignés

• Des droites sont parallèles

• Des droites sont sécantes

• Un point est milieu d'un segment

Pour montrer que

 $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}\ \ et\ \ \overrightarrow{w}$  sont coplanaires, il faut

•  $\overrightarrow{u}\ \ et\ \ \overrightarrow{v}\$  non colinéaires
  

•  $\lambda\ et\ \mu\ existent\ tels\ que\ \overrightarrow{w}=\lambda\overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}$  
  

•  $\overrightarrow{u}\ \ et\ \ \overrightarrow{v}\$  colinéaires

•  $\lambda\ et\ \mu\ existent\ tels\ que\ \overrightarrow{w}<\lambda\overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}$  

 $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}\ \ et\ \ \overrightarrow{w}$  sont linéairement indépendant si

•  $a\overrightarrow{u}\ +b\overrightarrow{v}\ +c\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}\ \ \Longrightarrow\ a=b=c=0$ 
  

•  $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}\ \ et\ \ \overrightarrow{w}$  forment une base de l'espace
  

•  $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}\ \ et\ \ \overrightarrow{w}$  ne sont pas coplanaires
  

•  $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}\ \ et\ \ \overrightarrow{w}$  sont coplanaires
  

La droite d'équation paramétrique suivante

•  $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$  est un vecteur directeur
  

•  $A\left(x_0\ ;\ y_0\ ;\ z_0\right)$  est un point de la droite
  

•  $\overrightarrow{u}=\left(-\frac{b}{a};-\frac{c}{b};-\frac{a}{c}\right)$  est un vecteur directeur
  

•  $O\left(0\ ;\ 0\ ;\ 0\right)$  est un point de la droite
  

Dans l'espace, deux droites non coplanaires sont

• parallèles
  

• sécantes
  

• non parallèles
  

• non sécantes
  

Dans l'espace, deux droites coplanaires sont

• parallèles ou sécantes
  

• ni parallèles ni sécantes
  

• parallèles et sécantes
  

• toujours confondues
  

Les coordonnées de  I, le milieu de [AB], sont

•  $\left(\frac{x_a+x_b}{2};\frac{y_a+y_b}{2};\frac{z_a+z_b}{2}\right)$ 
  

•  $\left(\frac{x_b-x_a}{2};\frac{y_b-y_a}{2};\frac{z_b-z_a}{2}\right)$  
  

•  $\left(\frac{x_a-x_b}{2};\frac{y_a-y_b}{2};\frac{z_a-z_b}{2}\right)$