PDE

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

 $y^2\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0$  

•  $z=\Phi\left(x-\frac{y^2}{2}\right)\$  де  $\Phi$  -- довільна числова диференційована  функція.
  

•  $z=\Phi\left(\frac{x^2}{2}+\frac{y^3}{3}\right)\$  де  $\Phi$  -- довільна числова диференційована  функція.

•  $z=\Phi\left(\frac{x^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right)$  де  $\Phi$  -- довільна числова диференційована  функція.

•  $z=\Phi\left(\frac{y^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)$  де  $\Phi$  -- довільна числова диференційована  функція.

Для того, щоб рівняння Пфаффа
 $P\left(x,y,z\right)dx+Q\left(x,y,z\right)dy+R\left(x,y,z\right)dz=0$ 
інтегрувалося одним співвідношенням, необхідною та достатньою умовою є те, що   векторне поле
 $\overrightarrow{F}\left(P,Q,R\right)$  має задовільняти рівності:

•  $\overrightarrow{F}\times\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$  

•  $div\ \overrightarrow{F}=0$  

•  $\overrightarrow{F}\cdot rot\overrightarrow{F}=0$  

•  $\overrightarrow{F}\times rot\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$  

 $2u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}+2u_x+2u_y-u=0$ 
Визначити тип рівняння.

• параболічний

• гіперболічний

• еліптичний

• тип визначити неможливо
  

 $u_t=a^2u_{xx}$ 
Визначити тип рівняння.

• параболічний

• гіперболічний

• еліптичний

• тип визначити неможливо
  

 $2u_{xx}-3u_{xy}+u_{yy}+7u_x+4u_y-2u=0$  

Звести рівняння  до канонічного вигляду

•  $u_{\xi\eta}+3u_{\xi}-u_{\eta}+2u=0$  

•  $u_{\eta\eta}-5u_{\eta}+2u=0$  

•  $u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}-u_{\eta}+2u_{\xi}=0$  

•  $u_{\xi\xi}-6u_{\eta}+2u_{\xi}-u=0$  
  

 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=25\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$  

Знайти розв'язок задачі Коші для рівняння, якщо початкові умови такі:

 $u\left(x,0\right)=0$   $\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,0\right)=\cos3x$  
 

•  $\frac{\cos\left(3\left(x+5t\right)\right)-\cos\left(3\left(x-5t\right)\right)}{30}$  

•  $\frac{sh\left(3\left(x+5t\right)\right)-sh\left(3\left(x-5t\right)\right)}{30}$  

•  $\frac{\arcsin\left(3\left(x+5t\right)\right)-\arcsin\left(3\left(x-5t\right)\right)}{30}$  

•  $\frac{\sin\left(3\left(x+5t\right)\right)-\sin\left(3\left(x-5t\right)\right)}{30}$  

Для рівняння коливань струни довжиною   $l=1м$ , закріпленої на кінцях

 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$  

Задані такі початкові умови:

 $u\left(x,0\right)=x-x^2;$   $\frac{\partial u}{\partial y}\left(x,0\right)=0;$ 

Знайти коефіцієнти  $a_k$  та  $b_k$  для розкладання розв'язку у ряд Фур'є:
 $u\left(x,t\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos\ \frac{ak\pi}{l}t+\ b_k\sin\ \frac{ak\pi}{l}t\right)\sin\ \frac{k\pi}{l}x$  

•  $a_k=\frac{4}{k^3\pi^3}\cos\ \frac{k\pi}{2};$   $b_k=0$  

•  $a_k=0;$   $b_k=\frac{4}{k^3\pi^3}\left(1-\left(-1\right)^k\right)$  

•  $a_k=\frac{4}{k^3\pi^3}\left(1-\left(-1\right)^k\right);$  $b_k=0$  
  

•  $a_k=0;$   $a_k=\frac{4}{k^3\pi^3}\sin\ \frac{k\pi}{2}$  

Для рівняння коливань струни довжиною   $l=\piм$ , закріпленої на кінцях

 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$  

Задані такі початкові умови:

 $u\left(x,0\right)=\sin x;$   $\frac{\partial u}{\partial y}\left(x,0\right)=0;$ 

Знайти розв'язок методом Фур'є:
 $u\left(x,t\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos\ \frac{ak\pi}{l}t+\ b_k\sin\ \frac{ak\pi}{l}t\right)\sin\ \frac{k\pi}{l}x$  

•  $u\left(x,t\right)=\cos\ t\ \sin ax$  
  

•  $u\left(x,t\right)=\cos\ ax\ \sin t$  
  

•  $u\left(x,t\right)=\sin\ at\ \cos x$  
  

•  $u\left(x,t\right)=\cos\ at\ \sin x$  
  

Функція

 $u\left(x,t\right)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\ \frac{1}{\sqrt{a^2t}}e^{-\frac{\left(x-\xi\right)^2}{4a^2t}}\varphi\left(\xi\right)d\xi$ 

для початкової умови  $u\left(x,0\right)=\varphi\left(x\right)$  дає розв'язок задачі Коші для:

• рівняння, що описує  розповсюдження тепла уздовж однорідного нескінченого  стержня
  

• рівняння, що описує  розповсюдження хвилі уздовж однорідної струни

• рівняння Лапласа рівняння, що описує  розподілення електричного потенціалу уздовж нескінченої полоси 
  

• Одновимірного рівняння Шредінгера
  

 $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\right)+V\psi$ 
Це:

• Класичне хвильове рівняння для тривимірного  простору
  

• Рівняння розповсюдження тепла у тривимірному  просторі

• Рівняння Шредінгера
  

• Нестаціонарне рівняння Лапласа у тривимірному  просторі