ДЗ №3 Хард | Трикутники

∠ABC=∠ACB, як кути при основі рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника дорівнює 180˚, а отже ∠ABC=∠ACB=(180−52)÷2=64˚. 

Кут МСА суміжний куту АСВ, а отже їх сума становить 180˚, тому ∠MCA=180˚−∠ACB=180−64=116˚. 

АБО: кут МСА – зовнішній кут трикутника АВС, тому дорівнює сумі двох несуміжних з ним кутів: ∠MCA=∠ABC+∠BAC=52+64=116˚.

$$BM^2=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4};$$  

$$673=\frac{2\cdot28^2+3\cdot30^2-AC^2}{4}$$  

$$2692=1568+1800-AC^2$$  

$$AC^2=676$$  

$$AC=\sqrt[]{676}=\sqrt[]{4\cdot169}=2\cdot13=26\ см$$  

$$S=\sqrt[]{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$$  

$$p=\frac{28+30+26}{2}=\frac{84}{2}=42\ см$$  

$$S=\sqrt[]{42\cdot14\cdot12\cdot16}=\sqrt[]{7\cdot6\cdot7\cdot2\cdot6\cdot2\cdot16}=7\cdot2\cdot6\cdot4=336\ см^2$$  

5x + 6x + 7x = 180°

18x = 180°

x = 10°

Отже, ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠C = 70°.

Розглянемо △AHO, де О-точка перетину висоти та бісектриси.

$$\angle BHD\ =\ \frac{1}{2}\angle A=25\degree$$  

$$\angle OHA=90\degree$$  

$$\angle OAH\ =\ 180\degree-90\degree-25\degree=65\degree$$  

Периметр – це сума усіх сторін трикутника, отже третя сторона дорівнює: 1500-(550+450)=1500-1000=500 м.

Оскільки кут С більший за 90°, то це кут при вершині даного трикутника. Тоді кут при його основі дорівнюватиме(180°- 104°)/2=76°/2=38°.

Нехай бічна сторона трикутника дорівнює х, тоді основа  – х+2. Тоді периметр трикутника х+х+(х+2) = 20; 3х+2 = 20; 3х = 18; х = 6. Звідси основа трикутника дорівнює 6+2 = 8.

Нехай маємо рівнобедрений трикутник ABC, у якого AC = BC = 60 – бічні сторони. У ΔABC вписано коло з центром у точці O, причому CO:HO = 12:5 (за умовою). Проведемо радіус вписаного кола OK до сторони BC, тоді OK⊥BC (за властивістю). Нехай HO = 5x – радіус вписаного кола, тоді OK = HO = 5x і CO = 12x. Розглянемо прямокутні трикутники ΔAHC (∠H = 90°) і ΔOKC (∠K = 90°). У них гострі кути при вершині C рівні (адже HC – висота, медіана і бісектриса). Звідси випливає, що ΔAHC і ΔOKC подібні, а тому їх відповідні сторони пропорційні:

$$\frac{AC}{CO}=\frac{AH}{OK},\ звідси\ AH=\frac{OK\cdot AC}{CO}=\frac{5x\cdot60}{12x}=5\cdot5=25$$  

Оскільки HC – медіана, то AB = 2*AH = 2*25 = 50. Знайдемо периметр рівнобедреного ΔABC: PΔABC = 2*AC + AB = 2*60 + 50 = 170.

Величина кута при вершині дорівнює 180°-2*50°=80°. Тоді величина дуги, що стягує даний кут дорівнює 80°*2=160°.

У рівнобедреного трикутника два кути рівні. У прямокутного трикутника один кут дорівнює 90 градусів. У гострокутного трикутника всі кути гострі.