OLIMPIADAS INTERNAS DE MATEMATICA 2022-2023

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Problema #1

El profesor Estrella tiene en su salón de clases 2018 cajas, en cada caja tiene 2018 fundas, en cada funda tiene 2018 objetos, en cada objeto tiene 8102 figuras, en cada figura tiene 8102 estrellas; tiene, además, una cajita que contiene 16 objetos con 4 estrellas cada una; decidió repartir en partes iguales todas las estrellas que tiene entre sus 13 alumnos más sobresalientes ¿Cuántas estrellas le sobran al profesor Estrella?1

• El profesor Estrella tiene 2018(2018) (2018) (8102) (8102) +16(4) estrellas y va a dividir entre 13 alumnos, lo que debe investigarse es el residuo de esta división. Pero, [2018(2018)(2018)(8102)(8102) + 16(4)]𝑚ó𝑑(13) ≡ [20182 . 81022 + 64]𝑚ó𝑑(13) ≡ [3 3 . 3 2 + 12]𝑚ó𝑑(13) ≡ [27(10) + 12]𝑚ó𝑑(13)

• El profesor Estrella tiene 2018(2018) (2018) (8102) (8102) +16(4) estrellas y va a dividir entre 13 alumnos, lo que debe investigarse es el residuo de esta división. Pero, [2018(2018)(2018)(8102)(8102) + 16(4)]𝑚ó𝑑(13) ≡ [20183 . 81022 + 64]𝑚ó𝑑(13) ≡ [3 3 . 3 2 + 12]𝑚ó𝑑(13) ≡ [27(9) + 12]𝑚ó𝑑(13) ≡ [1(9) + 12]𝑚ó𝑑(13) ≡ [(9) + 12]𝑚ó𝑑(13) ≡ [21]𝑚ó𝑑(13) ≡ 8𝑚ó𝑑(13)

Hallar todos los números enteros positivos primos de dos cifras a y b tales que 𝑎 + 𝑏 ≤ 2( 𝑎 2 + 𝑏 2 2 ) 1 2

• Usando la desigualdad entre media aritmética y cuadrática 𝑎 + 𝑏 2 ≤ √ 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 + 𝑏 ≤ 2( 𝑎 2 + 𝑏 2 2 ) 1 2 ⁄ Se concluye que esto es cierto para todos los enteros positivos primos de dos cifras, a saber: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

• Usando la desigualdad entre media aritmética y cuadrática 𝑎 + 𝑏 2 ≤ √ 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 + 𝑏 ≤ 2( 𝑎 3 + 𝑏 32 ) 1 2 ⁄ Se concluye que esto es cierto para todos los enteros positivos primos de dos cifras, a saber: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 42, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Hallar la suma de los impares entre 2018 y 20182

• 𝑆 = (2018 ∗ 1009) 2 − (2017) 2 = 4145955690245 − 4068280 𝑆 = 4,145,951,621,955

• Sea 𝑆 la suma pedida, entonces 𝑆 = 2019 + 2021 + 2023 + ⋯ + (20182 − 1) Esta es la suma de los 𝑛 términos de una progresión aritmética, así que: 𝑠 = (𝑎1 + 𝑎𝑛) 𝑛 2 𝑠 = (2019 + 20182 − 1)( 20182 − 2018 2 ∗ 2 ) 𝑠 = (2019 + 20182 − 1)( 20182 − 2018 2 ∗ 2 ) 𝑠 = (2018 + 1 + 2018 ∗ 2018 − 1)( 2018 ∗ 2018 − 2018 2 ∗ 2 ) 𝑠 = (2018 + 2018 ∗ 2018)( 2018 ∗ 2018 − 2018 2 ∗ 2 ) 𝑠 = [2018 ∗ (1 + 2018)][ 2018 ∗ (2018 − 1) 2 ∗ 2 ] 𝑠 = [2018 ∗ (2019)][ 2018 ∗ (2017) 2 ∗ 2 ] 𝑠 = [1009 ∗ (2019)][1009 ∗ (2017)] 𝑠 = [2037171][2035153] 𝑠 = 4,145,954,672,163

usando a pitadora resuelva este problema

• 5.83

• 6

Los tipos de polinomio son

• monomio

  binomio

  trinomio

  cuadrinomio

• polinomios

  monomios

Operaciones básicas son

• suma

  resta

  multiplicación

  división

• radicación

  suma

  resta