Filipe Afonso 1

(UFAL) Desde o fim da última era glacial até hoje, a humanidade desenvolveu a agricultura, a indústria, construiu cidades e, por fim, com o advento da internet, experimentou um avanço comercial sem precedentes. Quase todos os produtos vendidos no planeta atravessam alguma fronteira antes de chegar ao consumidor. No esquema abaixo, suponha que os países a, b, c e d estejam inseridos na logística do transporte de mercadorias com o menor custo e no menor tempo.

Na imagem, os números indicados representam o número de rotas distintas de transporte aéreo disponíveis, nos sentidos indicados. Por exemplo, de a até b são 4 rotas; de c até d são 2 rotas, e assim por diante. Nessas condições, o número total de rotas distintas, de a até d é igual a:

• 66

• 65

• 64

• 63

• 62

Answer explanation

Uma alternativa é pensar em casos. As possíveis formas distintas de se chegar de A até D são:

1º caso: A > D

2º caso: A > B > D

3º caso: A> C > D

4º caso: A > B > C > D

Para calcular a quantidade de possibilidades de cada uma, multiplicamos a quantidade de escolhas de cada etapa.

1º caso: 7 possíveis caminhos

2º caso: 4 × 6 = 24 possíveis caminhos

3º caso: 5 × 2 = 10 possíveis caminhos

4º caso: 4 × 3 × 2 = 24 possíveis caminhos

Assim, como alguém poderia escolher qualquer rota, basta adicionarmos a quantidade de rotas disponíveis.

7 + 24 + 10 + 24 = 65

São, portanto, 65 rotas disponíveis.

(UNESP) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é:

• 9

• 10

• 12

• 15

• 20

Answer explanation

Dividindo em casos e calculando as possibilidades temos:

1º caso: rodovia de A para B e tem de B para C.

3 × 2 = 6 possíveis trajetos

2º caso: trem de A para B, rodovia de B para C.

2 × 2 = 4 possíveis trajetos

Dessa forma, existem 10 possíveis trajetos que obedecem aos requisitos.

(EPCAR) Um baralho é composto por 52 cartas divididas em 4 naipes distintos (copas, paus, ouros e espadas). Cada naipe é constituído por 13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10, e as outras 4 são 1 valete (J), 1 dama (Q), 1 rei (K) e 1 ás (A).Ao serem retiradas desse baralho duas cartas, uma a uma e sem reposição, a quantidade de sequências que se pode obter em que a primeira carta seja de ouros e a segunda não seja um ás é igual a:

• 612

• 613

• 614

• 615

Answer explanation

Existem dois casos possíveis aqui, é o que geralmente os estudantes tem dificuldade de identificar:

1º caso: a primeira carta é um Ás de ouros.

Para a primeira carta então, só existirá uma possibilidade.

Para a segunda carta, tendo sobrado 51 cartas e 3 Ás no baralho e, são 48 possíveis cartas.

Assim para o primeiro caso ficamos com 1 × 48 = 48

2º caso: a primeira carta não é um Ás de ouros.

Para a primeira carta, que deve ser de ouros, teremos 12 possibilidades.

Para a segunda carta, terão restado 51 cartas no baralho, das quais 4 são Ás. Então podem ser colocadas na segunda posição 47 cartas.

Para o segundo caso, então, são 12 × 47 = 564

Assim, somando as possibilidades de 1º e 2º casos teremos 612 maneiras de fazer essa retirada.

A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos é

• 36

• 56

• 61

• 85

Answer explanation

1º caso: números de 1 algarismo -> 5

2º caso: números de dois algarismos distintos -> 5 × 4

3º caso: números de três algarismos distintos que seja menor que 400.

No algarismo das centenas, só podem estar os algarismos 1, 2 ou 3.

No algarismo das dezenas, podem estar os 4 que ainda não foram escolhidos após a primeira escolha.

No algarismo das unidades, podem estar os 3 que ainda não foram escolhidos, após as duas primeiras escolhas.

Assim, para esse caso fazemos 3 × 4 × 3 = 36.

Somando as possibilidades referentes a cada um dos casos, temos 5 + 20 + 36 = 61.

Portanto, existem 61 números que obedecem a essas condições.

Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:

• 120

• 320

• 720

• 600

Answer explanation

Uma das formas de fazer essa questão é calcular o total de possibilidade e desse resultado subtrair as possibilidades que não nos interessam. Assim, devemos calcular todas as formas possíveis de os vagões estarem ordenados (todos) e, em seguida, subtrair disso a quantidade de maneiras em que o restaurante fica logo depois da locomotiva (ruins).

• Todas as formas de ordenar os vagões (todos) ->

A locomotiva tem lugar fixo. Portanto, para a primeira posição, existe apenas uma possibilidade e para as outras posições, não há restrições. Fazemos então:

1 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! = 720

• Maneiras em que o restaurante fica logo depois da locomotiva (ruins) ->

A locomotiva e o restaurante têm lugares fixos. Portanto, para a primeira posição, existe apenas uma possibilidade e para as outras posições, não há restrições. Fazemos então:

1 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120

Agora:

Todos - ruins = 720 - 120 = 600

(UFTM - MG) A figura mostra uma circunferência de centro O e raio igual a 2 e um pentágono regular ABCDO, cujos vértices A e D pertencem à circunferência. A região hachurada tem área igual a:

(ENEM) O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um número natural.

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

Considere 3,0 como aproximação para π.

• 16

• 28

• 29

• 31

• 49

(UEL) Na figura ABCD é um quadrado cujo lado mede a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a. A área da região hachurada é

• Um quarto da área do círculo de raio a

• Um oitavo da área do círculo de raio a

• O dobro da área do círculo de raio a/2

• Igual à area do círculo de raio a/2

• A metade da área do quadrado

(UNIFOR) A figura ao lado mostra quatro rodas circulares, tangentes duas a duas, todas de mesmo raio r e circundadas por uma correia ajustada. Determine o comprimento da correia, em termos de r.

 

      Obs.: despreze a espessura da correia.

Três rodas, de mesmo raio R e tangentes entre si duas a duas, são envolvidas por uma correia, como mostra a figura. O comprimento total da correia é

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