Ecuaciones De Rectas Y Planos #1

Pasa a paramétrica la siguiente ecuación

r=⟨1,3,−1⟩+λ⋅⟨2,0,−1⟩

• x=1-2λ

  y=3

  z=-1+λ

• x=1+3λ

  y=3

  z=-1-λ

• x=1+2λ

  y=3

  z=-1+λ

• x=1+2λ

  y=3

  z=-1-λ

Answer explanation

• Sí, pero primero debemos pasarla a paramétrica

• Sí, y además de forma directa. Me llamaban Gauss

• No, no podemos

• No, porque tendremos un dividido por 0 en la respuesta.

• x=1+ 1μ

  y=2 + 1λ + 4μ

  z=3 + 2λ + 3μ

• x=1 + 0λ + 1μ

  y=2 - 1λ + 4μ

  z=3 + 2λ + 3μ

• x=1 + 1λ + 1μ,

  y=2 + 1λ + 4μ

  z=3 + 2λ + 3μ

• x=1 + 1λ + 1μ,

  y=-2 + 1λ + 4μ

  z=3 + 2λ + 3μ

Answer explanation

En esta ecuación podemos observar que hay dos vectores y un punto.

Por tanto, se obtiene la paramétrica tal y como se especifica en la imagen.

Información adicional IMPORTANTE: Cuando una incógnita está multiplicada por 0 como en el caso de λ en la fila de x, no hace falta que escriban 0λ. Omítanlo como en la respuesta presentada en el test.

Teniendo un plano definido como

-5x +3y -z+2 = 0

¿Puedo averiguar si el punto P (1,1,0) pertenece al plano?

• No, para ello deberíamos tener la ecuación paramétrica y eso es imposible.

• Los planos son infinitos por tanto contienen todos los puntos posibles incluido ese

• Sí podemos averiguarlo con una comprobación matemática que además adjuntaré al final del examen porque piloto mucho sobre este temario.

• No, no se puede averiguar tal cosa, se debe hacer una simulación con un programa de representación gráfica.

Answer explanation

Respuesta corta: Si sustituimos las incógnitas x,y,z de la ecuación general del plano por un punto, y el resultado de esta ecuación nos da 0, quiere decir que ese punto pertenece al plano.

Por tanto:

-5·1+3·(1)-1·0+2=0

El punto sí pertenece al plano

Respuesta algo más extensa: Cuando una matriz nos da 0, siempre hay una relación de pertenencia o dependencia entre sus filas. En la matriz que utilizamos para encontrar la ecuación del plano, escribimos una columna tal que (x-1),(y-2),(z-3). Esta columna la obtuvimos tras restar a las incógnitas x,y,z (que a fin de cuentas pueden ser un punto cualquiera del plano) el punto (1,2,3) que ya sabemos que pertenece al plano. ¿Qué obtenemos cuando restamos las coordenadas de un punto a otro? Un vector. ¿Qué pasa cuando calculamos el determinante de una matriz con 3 vectores que pertenecen al mismo plano? Que el resultado será 0, dado que todas son dependientes. Por ello, tiene lógica que si el punto dado pertenece al plano, al sustituir las incógnitas x,y,z por las coordenadas de este la ecuación del plano nos dé 0, dado que esa ecuación es el determinante del matriz.

Teniendo la siguiente ecuación paramétrica

x=1+λ+3μ

y=-1+2λ+μ

z=2+λ−2μ

¿Cuál sería su forma vectorial?

• r = <1, -1, 2> + λ<1, 2, 1> + μ<3, 1, -2, 0>
• r = <1, -1, 2> + λ<1, 2, 1> + μ<3, 1, 2>

• r = <1, -1, 2> + λ<1, 2, 1> + μ<3, 1, -2>
• r = <1, 1, 2> + λ<1, 2, 1> + μ<3, 1, -2>

Answer explanation

Como pueden ver en la imagen, basta con identificar el punto, el vector 1 y el vector 2 para reescribirlos en forma de ecuación vectorial.

¿Dónde pueden haber fallado?

Posiblemente cayeron en la malvada trampa del profesor que puso respuestas muy parecidas pero omitiendo algunos negativos

(*introducir risa malvada de villano de Disney*)

Recuerden que cuando vayan a tomar valores para reescribirlos o aplicarnos en fórmulas deben tomar SIEMPRE el signo que esté a su izquierda. Son inseparables a menos que la situación lo requiera (que no suele ser el caso).

No se olviden de los negativos :))))

Pasa la siguiente ecuación paramétrica a continua

x=1+2λ

y=-2+λ

z=3-2λ

Answer explanation

En la imagen verán como se realiza este cambio de ecuación en 4 pasos.

Pregunta:¿Qué hubiera pasado si una de las fracciones estuviera dividida por 0?

Pasen a la siguiente pregunta para afrontar tal arduo destino

¿Qué podemos concluir de la siguiente ecuación continua?

• Al estar el término de x dividido por 0 , se concluye que la ecuación de la recta está mal planteada o que no existe.

• Al estar el término de x dividido por 0, se concluye que en la recta no existen valores para x

• Al estar el término de x dividido por 0, se concluye que el valor de x es constante para toda la recta

• 

Answer explanation

Si pasamos a paramétrica la ecuación (aplicando los pasos de la pregunta anterior a la inversa), podemos observar que x no está en función de λ, lo que quiere decir que para cualquier valor de λ que tome la recta, x siempre será igual a 1, por tanto el valor se mantendrá constante en x.

Dado la ecuación de un plano tal que:

π: -2x+3y-z+2=0

Indica un vector que sea perpendicular a este plano

• 2,3,1

• -2,3,-1

• Todos los vectores pueden ser perpendiculares a este plano, depende de como se oriente.

• 2,3,1,2

Answer explanation

Se deben tomar los valores que multiplican x, y, z para obtener el vector normal del plano (es decir, un vector perpendicular a dicho plano)

Recuerden tener en cuenta los signos - y + de dichos valores.

Si el siguiente vector

(1,3,-2)

Es perpendicular a un plano π

¿Qué otro vector también será perpendicular a ese plano?

• 1,1,1

• 1,3,2

• 3,9,-6

• Solo existe un vector perpendicular a ese plano, y es 1,3,-2

Answer explanation

El vector 3,9,-6 es el resultado de multiplicar por 3 el vector normal del plano 1,3,-2 .

Si un vector es proporcional a otro como en este caso (es decir, que es el mismo vector pero multiplicando cada una de sus dimensiones x,y,z por un mismo valor), quiere decir que será paralelo a esto.

¿Conocen la frase "el enemigo de mi enemigo es mi amigo"?

Pues si un vector es perpendicular a un plano, pues todos los vectores paralelos a este vector también serán perpendiculares a este.

Escribe como ecuación implícita la siguiente operación

(realiza las igualaciones entre (x,y) y (x,z)

• -2x-3y+2z+7=0

• -x-4y+3=0

  -x+8z+7=0

• -2x-3y+7=0

• -2x-3y+7=0

  x-3z+7=0

Answer explanation

Para halla la ecuación implícita, se deben igualar dos de las fracciones que componen la ecuación continua, y desarrollarlas igualándolas a 0. Se pueden tomar la combinación que ustedes prefieran (podríamos haber hecho la igualdad entre (y,z) ), o incluso al despejar la ecuación resultante pasando todos los valores al mismo lado, podemos obtener la misma ecuación pero con signos cambiados. Todas esas opciones son correctas.