Simulado Teoria dos Números I- AP Unimes.

Seja B o conjunto dos números inteiros não negativos menores que 12, ou seja, B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Considere a relação Tem B definida por:

T={(x,y)∈B×B∣x é múltiplo de y}.

Com base nisso, analise as afirmações abaixo e assinale a opção correta:

I. A relação T é reflexiva.

II. A relação T é simétrica.

III. A relação T é transitiva.

IV. O par (6,3) pertence a T.

• Apenas I, II e III estão corretas.

• Apenas I e IV estão corretas.

• Apenas II e III estão corretas.

• Apenas I e III estão corretas.

Answer explanation

A relação T é reflexiva, pois todo número é múltiplo de si mesmo. Não é simétrica, pois se x é múltiplo de y, y não é necessariamente múltiplo de x. É transitiva, pois se x é múltiplo de y e y de z, então x é múltiplo de z. O par (6,3) pertence a T, pois 6 é múltiplo de 3.

Seja B={p,q,r} e T uma relação em B definida por:

T={(p,q),(q,r),(r,p)}.

A relação T possui as seguintes propriedades:

• Apenas simétrica.

• Antissimétrica.

• Reflexiva e antissimétrica.

• Apenas reflexiva.

Answer explanation

A relação T é antissimétrica porque, para cada par (x,y) em T, não existe o par (y,x) a menos que x = y. Não é reflexiva, pois não contém (p,p), (q,q) ou (r,r). Portanto, a resposta correta é antissimétrica.

Com base nas afirmações abaixo, analise se são verdadeiras ou falsas:

I - O número 123456789 é divisível por 9.

II - O número 24681012 é divisível por 2.

III - O número 98765432 é divisível por 3.

• Somente duas são verdadeiras.

• As três são verdadeiras.

• Somente uma é verdadeira.

• Todas são falsas.

Answer explanation

A afirmação I é verdadeira, pois a soma dos dígitos de 123456789 é 45, que é divisível por 9. A afirmação II é verdadeira, pois 24681012 é par. A afirmação III é falsa, pois a soma dos dígitos de 98765432 é 43, que não é divisível por 3. Portanto, somente duas são verdadeiras.

Um fazendeiro possui um conjunto de sacos de sementes e está organizando-os para transporte. Ao contar os sacos em grupos de 8, sobraram 5 sacos; ao contar em grupos de 12, sobraram 9 sacos; e ao contar em grupos de 15, sobraram 9 sacos.

Qual sistema de congruência devemos utilizar para descobrir o número mínimo de sacos de sementes que o fazendeiro possui?

• x≡5 (mod 8)

  x≡9 (mod 12)

  x≡9 (mod 15)

• x≡5 (mod 8)

  x≡7 (mod 12)

  x≡9 (mod 15)

• x≡9 (mod 8)

  x≡5 (mod 12)

  x≡9 (mod 15)

• x≡9 (mod 8)

  x≡5 (mod 12)

  x≡7 (mod 15)

Answer explanation

O fazendeiro tem 5 sacos a mais que múltiplos de 8, e 9 sacos a mais que múltiplos de 12 e 15. Portanto, as congruências corretas são x≡5 (mod 8), x≡9 (mod 12) e x≡9 (mod 15).

Leia as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:

I - O número 3¹⁰⁰ deixa resto 1 quando dividido por 13.
II - O número 4¹⁰⁰ deixa resto 1 quando dividido por 13.
III - O resto da divisão de 7¹⁰⁰ por 13 é igual a 1.

Escolha uma opção:

• São verdadeiras as afirmativas II e III.

• São verdadeiras as afirmativas I e II.

• São verdadeiras as afirmativas I e III.

• Todas as afirmativas são falsas.

Answer explanation

As per Fermat's Little Theorem, 3^12 ≡ 1 (mod 13), so 3^100 ≡ 3^4 ≡ 9 (mod 13). For 4^100, 4^12 ≡ 1 (mod 13), so 4^100 ≡ 4^4 ≡ 3 (mod 13). For 7^100, 7^12 ≡ 1 (mod 13), so 7^100 ≡ 7^4 ≡ 10 (mod 13). All statements are false.