Números Naturales y Axiomas de Peano

¿Qué se define cuando dos conjuntos tienen el mismo cardinal?

• Definición de función biyectiva

• Definición de conjunto vacío

• Definición de número natural

Answer explanation

Cuando dos conjuntos tienen el mismo cardinal, se puede establecer una función biyectiva entre ellos, lo que significa que hay una correspondencia uno a uno entre los elementos de ambos conjuntos.

¿Cuáles son los conceptos primitivos del sistema axiomático de Peano?

• Conjunto no vacío, elemento uno, relación sucesor

• Conjunto vacío, elemento cero, relación anterior

• Conjunto no vacío, elemento dos, relación sucesor

Answer explanation

Los conceptos primitivos del sistema axiomático de Peano son un conjunto no vacío, el elemento uno y la relación sucesor, que son fundamentales para definir los números naturales.

¿Qué establece el axioma Ax3 del sistema axiomático de Peano?

• El uno es siguiente de todos los elementos de ℕ

• El uno pertenece a ℕ

• El uno no es siguiente de ningún elemento de ℕ

Answer explanation

El axioma Ax3 establece que el uno no es siguiente de ningún elemento de ℕ, lo que significa que no hay un número natural cuyo sucesor sea uno. Esta propiedad es fundamental en la definición de los números naturales.

¿Qué se requiere para que un subconjunto P de ℕ sea válido?

• 1∈P y si h∈P entonces s(h)∈P

• 0∈P y si h∈P entonces s(h)∈P

• 1∈P y si h∈P entonces h+1∈P

Answer explanation

Para que un subconjunto P de ℕ sea válido, debe contener el número 1 y, además, si un número h pertenece a P, su sucesor s(h) también debe pertenecer a P. Esto asegura que P incluya todos los números naturales a partir de 1.

¿Cuál es la definición de adición en ℕ según el texto?

• a+1=s(a+1) para cualquier a∈ℕ

• a+1=s(a) para cualquier a∈ℕ

• a+1=a+1 para cualquier a∈ℕ

Answer explanation

La adición en ℕ se define como a+1=s(a), donde s(a) representa el sucesor de a. Esta es la forma correcta de expresar la adición en los números naturales, lo que hace que esta opción sea la correcta.

¿Qué establece la nota sobre la teoría de Peano?

• Continúa definiendo operaciones y propiedades

• No se puede modificar

• Es completamente ineficaz

Answer explanation

La teoría de Peano se centra en la definición de los números naturales y sus propiedades, lo que implica que continúa definiendo operaciones y propiedades fundamentales en matemáticas, haciendo la primera opción la correcta.

¿Qué se define como menor en ℕ?

• Un número natural 'a' es menor que 'b' si y solo si existe un número natural 'n' que sumado a 'a' da como resultado 'b'.

• Un número natural 'a' es mayor que 'b' si y solo si existe un número natural 'n' que restado de 'a' da como resultado 'b'.

Answer explanation

La opción correcta define que un número natural 'a' es menor que 'b' si existe un número natural 'n' tal que al sumarlo a 'a' se obtiene 'b', lo que establece la relación de orden en los números naturales.

¿Cómo se define la relación '<' en ℕ?

• Es un orden estricto y total.

• Es un orden débil.

Answer explanation

La relación '<' en ℕ es un orden estricto porque no permite que un número sea menor que sí mismo, y es total porque cualquier par de números naturales se puede comparar. Por lo tanto, la respuesta correcta es que es un orden estricto y total.

¿Qué se dice sobre la compatibilidad del orden menor con la adición?

• El orden menor es compatible con la adición.

• El orden menor no es compatible con la adición.

Answer explanation

El orden menor es compatible con la adición, lo que significa que si a dos elementos se les aplica la adición, el resultado sigue manteniendo el orden menor. Por lo tanto, la respuesta correcta es que el orden menor es compatible con la adición.

¿Qué ocurre si se suman (o multiplican) los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural?

• Se obtiene una desigualdad del mismo sentido.

• Se obtiene una desigualdad del sentido opuesto.

Answer explanation

Al sumar o multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un mismo número natural, la relación de desigualdad se mantiene. Por lo tanto, se obtiene una desigualdad del mismo sentido.