Αν η f είναι συνεχής στο (α, β) και $f\left(a\right)\cdot f\left(β\right)<0$ , τότε η f  έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο στο [α, β]

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α)*f(β) > 0, τότε η εξίσωση f(x) = 0 δεν έχει ρίζα στο (α, β).

Αν η εξίσωση f(x) = 0 δεν έχει ρίζα στο (α, β) και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] τότε αποκλείεται να ισχύει $f\left(a\right)\cdot f\left(β\right)<0$  

Αν η συνάρτηση f ειναι συνεχής στο R, η εξίσωση f(x) = 3 δεν έχει ρίζα στο R και ισχύει f(1) < 3, τότε η γραφική παράσταση της f θα βρίσκεται κατω απο την ευθεία y = 3

Αν η f έχει πεδίο ορισμού το [α, β] και είναι συνεχής σε αυτό, τοτε δεν είναι δυνατόν το συνόλο τιμών της να είναι διαστημα της μορφής (γ, δ]

Αν η f ορίζεται και είναι συνεχής στο (α, β), τότε δεν είναι δυνατόν το συνολο τιμών της να είναι της μορφής [γ, δ]

Έστω συνάρτηση f: [α, β]→R με f(α)⋅f(β)<0. Αν η εξίσωση f(x) = 0 δεν έχει ρίζα τότε η f αποκλείεται να είναι συνεχής

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] τότε υπάρχει κ $\in$ [α, β] τέτοιο ώστε f(x) $\le$ f(k) για κάθε x $\in$ [α, β]

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ∈(α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ ανάγκη f(β) > 0

Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα.

Μια συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Αν $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=l$  και  $\lim_{x\rightarrowα}g\left(x\right)=k$  ,  $l,k\in R$  και f(x) < g(x) κοντά στο α, τότε κατ' ανάγκη θα είναι:

 $\lim_{x\rightarrow0}\sqrt{x^3-x^2}=0$  

Ισχύει ότι

Αν $f:R\rightarrow R$  συνεχής συνάρτηση και f(0)<f(3)<f(1), τότε η f δεν είναι 1-1

 $\lim_{x\rightarrow+\infty}x\cdotημ\left(\frac{1}{x}\right)=1$  

Ισχύει ότι

Αν f(x) < g(x) κοντα στο α και $\lim_{x\rightarrowα}g\left(x\right)=-\infty$ , τότε κατ' ανάγκη θα ισχύει  $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=-\infty$   

Αν $\lim_{x\rightarrowα}f\left(x\right)=0\ και\ \lim_{x\rightarrowα}g\left(x\right)=-\infty$  

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διαστημα [α, β] και f(α)·f(β) >0 , τότε η εξίσωση f(x) = 0 δέν έχει ρίζα στο [α, β].

Αν για μια συνάρτηση f δεν ισχύει κάποια (ή καμμία) απο τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano σε ένα διαστημα [α, β], τότε η συνάρτηση αποκλείεται να έχει ρίζα στο διάστημα αυτό.