Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường và AC mặt đất , ngang qua BC một cột đỡ cao song song và cách DH cao 4m tường CH = 0,5m là

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $f\left(x\right)=0,025x^2\left(30-x\right)$ (miligam) , trong đó x (mg) và x > 0 là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân. Khi đó, liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm NHIỀU NHẤT là

Ông An muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích 3000 lít. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chi phí thấp nhất ông An cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu ?

Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 mét khối có 3 chú nhện con rất hay cãi vã nên phải sống riêng. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí cũng 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Nhưng vì vốn đã có hiềm khích từ lâu, nên trước khi bắt đầu, chúng quy định để tránh xô xát, không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Tính chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn).

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích $48cm^2$ , hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là $2\pi m^3$ . Hỏi bán kính đáy và R chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất ?

Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiểu rộng 8 cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu ?

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G\left(x\right)=0,025x^2\left(30-x\right)$ , trong đó $x>0$ (miligam) là liều thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng.

Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in…) được cho bởi $C\left(x\right)=0,0001x^2-0,2x+10000$ trong đó $\left(C\right)$ được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hànhcho mỗi cuốn là nghìn 4 đồng. Tỉ 2018 $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}$ với $T\left(x\right)$ là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí $M\left(x\right)$ thấp nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó.

Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm AB = 40cm. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh và vào phía trong cho MN và PQ đến khi và trùng nhau AB và DC như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình mẫu. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x\left(cm\right)$ , chiều cao $h\left(cm\right)$ và có thể tích $500\left(cm^3\right)$ . Hãy tìm độ dài cạnh của hình vuông sao cho chiếc hộp được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất

Xét các hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = AB = BC = a. Giá trị lớn nhất của khối chóp S.ABC bằng

Một người nuôi cá thì nghiệm trong hồ.Người đó thấy rằng nếu mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có con cá thì trung bình mõi con cá sau n một vụ cân nặng P(n) = 480 - 20n (gam) . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là $64\pi\left(m^3\right)$ . Tìm bán kính đáy của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất. 

Một tấm bìa carton dạng tam giác ABC diện tích là S. Tại một điểm thuộc D cạnh BC người ta cắt theo hai đường thẳng lần lượt song song với hai canh và AB AC để phần bìa còn lại là một hình bình hành có một đỉnh là A diện tích hình bình hành lớn nhất bằng

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được tính theo công thức $c\left(t\right)=\frac{1}{t^2+1}$ . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất ?

Chi phí nhiên liệu của một chiếc tầu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi thì v = 10 (km/h) phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1km đường sông là nhỏ nhất ( kết quả làm tròn đến số nguyên).

Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là $384cm^2$ . Lề trên, lề dưới là 3cm ; lề phải, lề trái là 2cm. Khi đó chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là: 

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng nước là 6 km / h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là thì v (km / h) năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức $E\left(v\right)=cv^3t$ . Trong đó là một hằng số, được tính bằng jun . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí cách A bờ biển một khoảng . Trên AB = 4 (km) bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC = 7 (km) Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí trên M bờ biển với vận tốc 6 (km/h) rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc 10 (km /h) (hình vẽ bên) . Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là đạt giá trị nhỏ nhất.

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất

Giám đốc một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ các buổi trình chiếu. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định được rằng: nếu giá vé vào cửa là 20 USD/người thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng thêm 1 USD/người thì sẽ mất khách hàng 100 hoặc giảm đi 1 USD/người thì sẽ có thêm khách hàng trong 100 số trung bình.Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng còn đem lại 2 USD lợi nhuận cho nhà hát trong các dịch vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất.

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến là km. B 1 Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là km. 4 Tổng chi phí lắp đặt cho km dây 1 điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

Một vật chuyển động theo quy luật $s\left(t\right)=-\frac{1}{3}t^3+6t^2$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ? 

Người ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $\frac{500}{3}m^3$ . Biết đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá 500 3 m 3 thuê thợ xây là $100.000\ \frac{đồng}{m^2}$ (100.000 đồng/mét vuông). Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ÍT NHẤT. Khi đó chi phí thuê nhân công là

Một sợi dây có chiều dài là 6 m được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất ?

Một người bán buôn Thanh Long Đỏ ở Lập Thạch – Vĩnh Phúc nhận thấy rằng: Nếu bán với giá 20000 nghìn/kg thì mỗi tuần có khách 90 đến mua và mỗi khách mua trung bình là 60 kg. Cứ tăng giá thì khách mua hàng 2000 nghìn/kg tuần giảm đi và khi 1 đó khách lại mua ít hơn mức trung bình và 5 kg và cứ như vậy giảm giá 2000 nghìn /kg thì số khách mua hàng tuần tăng thêm 1 và khi đó khách lại mua nhiều hơn mức trung bình là 5kg. Hỏi người đó phải bán với giá mỗi kg là bao nhiêu để lợi nhuận thu được hàng tuần là lớn nhất, biết rằng người đó phải nộp tổng các loại thuế là 2200 nghìn/kg (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn)

Một vật chuyển động theo quy luật $s\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^3+9t^2$ với $t\left(giây\right)$ là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $y\left(-2\right)=22$ (mét) là quãngđường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc LỚN NHẤT của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

Anh Phong có một cái ao với diện tích $50m^2$ để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ $20\ \frac{con}{m^2}$ (20 con/mét vuông) và thu được $1,5\ tấn$ tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình anh thấy cứ thả giảm đi $8\ \frac{con}{m^2}$ (8 con/mét vuông) thì mỗi con cá thành phầm thu được tăng thêm 0,5kg. Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả ? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

Một thợ xây muốn sử dụng 1 tấm sắt có chiều dài là 4m, chiều rộng 1m để uốn thành khung 2m đúc bê tông, khung hình 1 trụ có đáy là hình vuông và khung hình 1 trụ có đáy là hình tròn. Hỏi phải chia tấm sắt thành 2 phần (theo chiều dài) như thế nào để tổng thể tích 2 khung là nhỏ nhất ?

Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $5\sqrt{2}$ thì diện tích của nó LỚN NHẤT là:

Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao so 1,8 m với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh bao nhiêu sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định khoảng cách lúc này.

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là . 18.000 Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Một tạp chí bán được nghìn 25 đồng một cuốn. Chi phí xuất bản cu x ốn tạp chí được cho bởi công thức $C\left(x\right)=0,0001x^2-0,2x+11000$  $\left(C\right)$ được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là nghìn 6 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cáo. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có được khi bán tạp chí. 

Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). Sử dụng phương pháp "giải tích phân này bằng phép thế lượng giác"

Một chất điểm chuyển động có phương trình vận tốc là $v\left(t\right)=e+e^{t^2-2t}$  (m/s) (t: giây là thời gian chuyển động). Hỏi trong khoảng thời gian giây 10 đầu tiên, vận tốc NHỎ NHẤT của chất điểm là bao nhiêu ? 

Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không cần nắp, có thể tích là $\frac{500}{3}m^3$ . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây hồ là $500.000\ \frac{đồng}{m^2}$ (500.000 đồng/mét vuông). Hãy xác định kích thước của hồ sao cho chi phí thuê công nhân thấp nhất

Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng $10m^3$ . Thùng tôn là hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy bằng hai lần chiều rộng và không có nắp. Trên thị trường giá tôn làm đáy thùng là $75.000\ \frac{đồng}{m^2}$ (75.000 đồng/mét vuông) và giá tôn làm thành xung quanh thùng là $55.000\ \frac{đồng}{m^2}$ (55.000 đồng/mét vuông). Tính chi phí thấp nhất để làm thùng đựng gạo. (Làm tròn đến hàng nghìn)

(Trích từ đề thi HK1 THPT Lý Thái Tổ 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 2016 (cm). Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích LỚN NHẤT

Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in…) được cho bởi $C\left(x\right)=0,0001x^2-0,2x+1000$  $\left(C\right)$ được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}$ với $T\left(x\right)$ là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí $M\left(x\right)$ thấp nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó.

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 50000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là bao nhiêu ?

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nhiên liệu làm vỏ lon là thấp nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ đó bằng và V diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu ?

Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là:

Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức $C=k\ \frac{\sin\alpha}{r^2}$ ( $\alpha$ là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, $k$ là hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng).

Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng mét. Khi 1 đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng ?

Nhà của ba bạn A, B, C nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B như hình vẽ, biết AB = 10 km, và ba BC = 25 km bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí trên M đoạn đường BC. Giả sử luôn có xe buýt đi thẳng từ A đến M. Từ nhà bạn A đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn M với tốc độ và 30 km/h từ hai M bạn di A, B chuyển đến nhà bạn theo C đoạn đường MC bằng xe máy với vận tốc 50 km/h. Hỏi 5MB + 3MC bằng bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C là nhanh nhất ?

Một công ty kinh doanh nghiên cứu thị trường trước khi tung ra sản phẩm và nhận thấy để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại A và B thì mất lần lượt là 2000 USD và 4000 USD. Nếu sản xuất được x sản phẩm loại A và y sản phẩm loại B thì lợi nhuận mà công ty thu được là $L\left(x;y\right)=8000x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}}USD$ . Giả sử chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm A, B là 40000 USD. Gọi $x_0,\ y_0$ lần lượt là số phẩm loại A, B để lợi nhuận lớn nhất. Tính $x_0^2+y_0^2$  

Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể tích là 4 lít. Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ là ít nhất. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau

Cho hình thang cân có ABCD đáy nhỏ và hai AB cạnh bên đều có độ dài bằng 1. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho vuông góc BC với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một ví trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc. Tính ADB khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng.

Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể tích là 150 mét khối (như hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và nắp bể làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để bồn chứa thóc (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau:

+ bê tông 100 nghìn đồng một mét vuông

+ tôn 90 nghìn một mét vuông

+ nhôm 120 nghìn đồng một mét vuông

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $F\left(x\right)=\frac{1}{40}x^2\left(30-x\right)$ , trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là.

Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, $l$ là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, $l$ - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, $l$ là giá trị nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học ? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật) 

Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích $27cm^3$ với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là:

Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông có cạnh 12 (cm) rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Giả sử thể tích của cái hộp đó là 4800 (cm khối) thì cạnh của tấm bìa ban đầu có độ dài là bao nhiêu ?

(Trích câu 49) Một sợi dây kim loại dài 1 m được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất có độ dài $l_1$ uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai có độ dài $l_2$ uốn thành đường tròn. Tính tỷ số $k=\frac{l_1}{l_2}$ để tổng diện tích hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất. 

Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a với (a > 0)

Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm Hải Vân (Đà Nẵng) được cho bởi công thức $f\left(v\right)=\frac{290,4v}{0,36v^2+13,2v+264}$ (xe/giây), trong đó v (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Tính lưu lượng xe là lớn nhất. Kết quả thu được gần với giá trị nào sau đây là nhất ?

Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m và đặt ở độ cao 1,4m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? Biết rằng $\angle BOC$ nhọn

Một người dự định làm một bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích. Chi phí mỗi mét vuông đáy là 600 nghìn đồng/mỗi mét vuông nắp là 200 nghìn đồng và mỗi mét vuông mặt bên là 400 nghìn đồng. Hỏi người đó phải chọn bán kính bể là bao nhiêu để chi phí làm bể ít nhất ?

Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000đ/mét vuông, chi phí để làm mặt đáy là 120.000đ/mét vuông. Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được đạt giá trị nhỏ nhất. (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể).

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cá là $400\left(km\right)$ . Vận tốc dòng nước là $10\left(\frac{m}{s}\right)$ (10 mét/giây). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v\left(\frac{km}{h}\right)$ (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t là giờ được cho bởi công thức $E\left(v\right)=cv^3t$ , trong đó là c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A,B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí trên M mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (học sinh tự vẽ hình). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất ?

Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ?

Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao so 1,8 m với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn ảnh để đạt giá trị lớn nhất.

Một đường dây điện có 3 loại A B và C ở tam giác vuông tại A. Sau đó dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C . Khoảng cách từ C đến B là 1km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng 8 mét khối , thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 100.000 đồng/mét vuông , giá tôn làm thành xung quanh thùng là 50000 đồng/mét vuông. Hỏi người bán gạo đó cần đóng 2 thùng đựng gạo với cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất ?

Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh , a đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn đường kính r. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{a}{r}$ nào sau đây đúng?

Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong ngày và cho x số tiền lãi là $x^3+2x$ (triệu đồng), máy làm B việc trong ngày và cho y số tiền lãi là $326y-27y^3$ (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy trong bao nhiêu ngày sao cho A số tiền lãi là nhiều nhất ? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy làm B việc không quá 6 ngày).

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Thành phố Hải Đông dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư A và B. Trạm nước sạch đặt tại vị trí trên C bờ sông. Biết $AB=3\sqrt{17}km$ , khoảng cách từ và A B đến bờ sông lần lượt là ,AM = 3 km BN = 6 km (hình vẽ). Gọi là T tổng độ dài đường ống từ trạm nước đến A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của T

Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5cm, chiều dài 6cm. Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6cm x 5cm x 6cm . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp viên 460 phấn?

Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc cà phê. Sa khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 20.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, còn từ mức giá 20.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc cà phê không thay đổi là 18.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất ?

Ngưởi ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bẳng $\frac{500}{3}m^3$ , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là $500.000\ \frac{đồng}{m^2}$  [500.000 đồng/mét vuông]. Chi phí thuê nhân công thấp nhất là:

Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200m, góc bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS. Trong đó điểm L cố định và LS = 40m. Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí ?

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G\left(x\right)=0,035x^2\left(15-x\right)$  ,trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Gia đình ông An xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp dung tích là 2018 lít, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng được làm bằng bê tông có giá 250.000 đồng/mét vuông, thân bể được xây bằng gạch có giá 200.000 đồng/mét vuông và nắp bể được làm bằng tôn có giá 100.000 đồng/mét vuông . Hỏi chi phí thấp nhất gia đình ông An bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu ? (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là:

Chiều dài ngắn nhất của cái thang AB để nó có thể dựa vào tường và AC mặt đất , ngang BC qua cột đỡ DE cao 4m , song song và cách tường một khoảng CE = 0,5 (m) là:

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu ?

[Trích từ mã đề 2107] Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60m có thể tích $96000cm^3$ . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành $70.000\ \frac{VNĐ}{m^2}$ [70.000 đồng/mét vuông] và loại kính để làm mặt đáy có giá thành $100.000\ \frac{VNĐ}{m^2}$ [100.000 đồng/mét vuông]. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.

Người ta muốn thiết kế một bể cá theo dạng khối lăng trụ tứ giác đều, không có nắp trên, làm bằng kính, thể tích $8m^3$ . Giá mỗi $m^2$ kính là $600.000\ \frac{đồng}{m^2}$ [600.000 đồng/mét vuông] . Gọi t là số tiền tối thiểu phải trả. Giá trị t xấp xỉ với giá trị nào sau đây ? 

Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức: $f\left(t\right)=1000+30t^2-t^3\ \left(0\le t\le30\right)$ . Hỏi sau đó mất bao lâu để thì số vi khuẩn mới đạt giá trị lớn nhất.

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí K cách bờ AB là 1m và cách bờ AC là 8m rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào 2 bờ AB và AC cây cọc K (bỏ qua đường kính của sào).

Một con thuyền đang ở ngoài khơi cách đất liền và cách hòn 120km hòn đảo 450km. Hòn đảo cách đất liền 270km. Con thuyền cần cập bến để tiếp nhiên liệu rồi mang quà Tết ra đảo. Tìm quãng đường ngắn nhất mà con thuyền đó đi (làm tròn đến hàng đơn vị).

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S=3t^2-t^3$ . Thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích lít 1000 bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:

Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm , O đường kính . Trong hình 2R cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh cm. 6 Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu ?

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được tính theo công thức $c\left(t\right)=\frac{t}{t^2+1}\left(\frac{mg}{L}\right)$ . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất ? 

Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày , thành xung quanh 1,5 cm cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480π cm khối thì người ta cần ít nhất cm khối bao nhiêu thủy tinh ?

Sau khi phát hiện ra dịch bệnh vi rút Zika, các chuyên gia sở y tế TP.HCM ước tính số người nhiễm bệnh kể từ khi xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là $f\left(t\right)=15t^2-t^3$ . Ta xem $f'\left(t\right)$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu ?

Từ một tấm bìa hình vuông có ABCD cạnh bằng $MA^2=MB^2+MC^2$ , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là AMB , R = 3 , CPD và DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất ? 

Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a (m) ( a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất ?

Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt cách nhau 30m (xem hình minh họa dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột. Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọc ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất.

Để chặn đường hành lang hình chữ L người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết rằng a = 24 và b = 3. Hỏi cái sào thỏa mãn điều trên có chiều dài l tối thiểu là bao nhiêu ?

Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{3}t^3+6t^2$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10 (m) được đặt song song và cách mặt đất h (m). Nhà có trụ tại vuông góc A, B, C vuông góc với $\left(ABC\right)$ . Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N sao cho và góc AM = x , AN = y giữa $\left(MBC\right)$ và $\left(NBC\right)$ bằng $90^o$  để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà

Ông Bình xây một hồ nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng , đáy hồ là 18 mét khối một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng cho mỗi mét vuông. Chi phí thấp nhất để xây hồ là

Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 96000 cm khối. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 VNĐ/mét vuông và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 VNĐ/mét vuông. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.

Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu một chuyến xe buýt chở hành x khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là $\left(3-\frac{x}{40}\right)^2\left(USD\right)$  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở địa điểm A đến một hòn đảo ở địa điểm C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 (km). Khoảng cách từ B đến A là 4 (km). Hỏi điểm S cách bao nhiêu A để khi mắc dây điện từ A qua S đến C là ít tốn kém nhất, biết rằng mỗi dây km điện đặt từ A đến S mất 3000 USD, mỗi dây km điện đặt từ S đến C mất 5000 USD .

Một miếng bìa hình tam giác đều ABC, cạnh bằng 16. Học sinh Trang cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp trong buổi ngoại khóa (với M , N thuộc cạnh BC , P , Q lần lượt thuộc cạnh AC và AB). Diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng bao nhiêu ?

Mỗi phòng học chứa tối đa là 200 học sinh. Nếu một phòng học có học sinh thì x học phí cho mỗi học sinh là $\left(9-\frac{x}{40}\right)^2$ (nghìn đồng). Khẳng định nào sau đây là khẳng định ĐÚNG ?

Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800(m). Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất ?

Một xưởng in có máy in, 8 mỗi máy in được 4000 bản in khổ giấy trong A4 một giờ. Chi phí để bảo trì, vận hành một máy trong mỗi lần in là 50000 đồng. Chi phí in ấn của máy n chạy trong một giờ là 20(3n + 5) nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 bản in khổ giấy thì A4 phải sử dụng bao nhiêu máy để thu được nhiều lãi nhất ?

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật có MNPQ cạnh MN nằm trên cạnh. Hai BC đỉnh và theo P Q thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định độ dài đoạn sao cho hình BM chữ nhật có MNPQ diện tích lớn nhất