Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R.

Αν f ΄ (x) $$\ne$$ 0, για κάθε x $$\in$$  R, τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα.

Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε κλειστό διάστημα [α , β].

Ποια από τις παρακάτω προϋποθέσεις ΔΕΝ είναι απαίτηση

του Θεωρήματος Μέσης Τιμής;

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα [α , β]

και f΄ (x) = 0 , για κάθε x $$\in$$ (α , β), τότε . . .

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α , β]

και f ΄ (x) = 0 , για κάθε x $$\in$$ (α , β), τότε η f είναι σίγουρα σταθερή στο [α , β].

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα (α , β)

και f ΄ (x) = 0 , για κάθε x $$\in$$ (α , β), τότε . . .

Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι

f ΄ (x) = 0 , για κάθε x $$\ne$$ 0, τότε η f είναι σίγουρα σταθερή στο R*.

Αν f : R $$\rightarrow$$ R και ισχύει f ΄ (x) = f(x), για κάθε x $$\in$$ R,

τι από τα παρακάτω είναι σίγουρο;

Αν μία συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα [α , β] και

f ΄ (x) > 0, για κάθε x $$\in$$ (α , β),

τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα [α , β].

Αν f συνεχής σε ένα διάστημα [α , β] και f ΄ (x) > 0, για κάθε x $$\in$$ (α , β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα [α , β].

Αν f συνεχής και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα [α , β] τότε οπωσδήποτε f ΄ (x) > 0, για κάθε x $$\in$$ (α , β).

Αν f ΄ (x) $$\ge$$ 0, για κάθε x $$\in$$ R, τότε

η f θα είναι σίγουρα γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Αν f ΄ (x) $$\ge$$ 0, για κάθε x $$\in$$ R, και μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία, τότε

η f θα είναι σίγουρα γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Έστω f : Α $$\rightarrow$$ R και x_o ένα σημείο του Α.

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x_o , τότε υπάρχει αριθμός δ > 0 τέτοιος ,

ώστε (x_o - δ , x_o + δ) $$\subseteq$$ Α και f(x) $$\le$$ f(x_o), για κάθε x $$\in$$ (x_o - δ , x_o + δ).

Έστω f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x_o ένα σημείο του Δ.

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x_o , τότε f ΄ (x_o) = 0.

Έστω f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x_o ένα ΑΚΡΟ του Δ.

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x_o ,

τότε αποκλείεται να ισχύει f ΄ (x_o) = 0.

Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.

Ένα σημείο καμπής μπορεί να είναι άκρο διαστήματος.

Αν η ευθεία x = x_o είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f,

τότε το όριο της f στο x_o θα είναι $$+\infty$$ ή $$-\infty$$  .

Αν η ευθεία x = x_o είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f, τότε το x_o αποκλείεται να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ και f ΄΄(x) > 0, στο εσωτερικό του Δ, τότε η f είναι κυρτή σε όλο το Δ.

Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, τότε οπωσδήποτε ισχύει

f ΄΄ (x) > 0, για κάθε x $$\in$$ R.