WorksheetsRovnice – úvod
Total questions: 22
Worksheet time: 22mins
Vyber právě všechny PLATNÉ rovnosti:
25−6=9
234=10⋅2−3
49−7=−1
238=1
Z uvedených zápisů (rovností a rovnic) vyberte pouze všechny rovnice:
12 + 9 = 21
2x − 1 = 9
205−41=0
x−5(x+2)⋅3x=0
1. Definiční obor rovnice
= množina všech čísel z oboru neznámé (obvykle z oboru reálných čísel), která můžeme za neznámou dosadit s tím, že takto vytvořené výrazy na obou stranách rovnice budou mít smysl. Jde tedy o průnik definičních oborů výrazů na levé a pravé straně rovnice. (Průnik proto, že musí dávat smysl zároveň.)
Příklady definičních oborů rovnic
Rovnice 2x + 3 = 21
Definičním oborem rovnice je R, protože definiční obor levé strany rovnice je R a pravé strany rovnice také R. Jednoduše: v rovnici nejsou žádná problémová místa (dělení neznámou, neznámá pod odmocninou), a tedy nejsou potřeba žádné podmínky.
Rovnice (x - 5)/(x - 3) = x/(x - 1)
Definičním oborem rovnice je R \ {1; 3}. Jedná se o průnik definičního oboru R \ {3} levé strany (x - 3 nesmí být 0, tj. x nesmí být 3) a definičního oboru R \ {1} pravé strany rovnice (x - 1 nesmí být 0, tj. x nesmí být 1).
Souvislost s kořeny
Jelikož kořeny rovnice jsou taková čísla z oboru neznámé, že po jejich dosazení za neznámou do obou stran rovnice dostaneme platnou rovnost, musí také platit, že je do rovnice dosadit lze. Z toho plyne, že každý kořen musí být prvkem definičního oboru rovnice neboli získáme-li kandidát na kořen, který není prvkem definičního oboru rovnice, máme jistotu, že se nejedná o kořen (a můžeme ho zahodit).
2. Úpravy rovnic
Základní rozdělení
Úpravy rovnic se dělí na ekvivalentní a důsledkové.
a) Ekvivalentní úpravy
Ekvivalentní úprava rovnice je taková úprava, při které má nově získaná rovnice stejnou množinu kořenů jako původní rovnice.
Ekvivalentní úprava rovnice 3x - 3 = 2x + 5 je např. přičtení čísla 3 k oběma stranám rovnice. Nově upravená rovnice 3x - 3 + 3 = 2x + 5 + 3, tedy 3x = 2x + 8, má stejné řešení jako původní rovnice 3x - 3 = 2x + 5. Původní rovnice i nově upravená rovnice mají stejnou množinu kořenů, a to K = {8}. Množina K obsahuje jediný prvek, a to číslo 8, které je jediným kořenem obou zmiňovaných rovnic.
b) Důsledkové úpravy
Důsledková úprava rovnice je taková úprava, při které může mít nově získaná rovnice ještě další kořeny kromě kořenů původní rovnice. V takovém případě je nezbytné provést zkoušku, abychom případné nově vzniklé kořeny vyloučili.
Důsledková úprava rovnice √(x-1) = -2 je např. umocnění obou stran rovnice na druhou. Nově upravená rovnice [√(x-1)]^2 = (-2)^2, tedy x - 1 = 4, má jedno řešení, zatímco původní rovnice √(x-1) = -2 neměla řešení žádné. Kořen x = 5 jsme získali díky použití důsledkové úpravy. Zkouškou zjistíme, že je třeba tento kořen z množiny řešení vyloučit.
Poznámka: Místo zkoušky můžeme nejprve určit speciální podmínky, za kterých všechny naše úpravy byly ekvivalentní. Získáme-li nějaké potenciální řešení (tzv. kandidát na kořen), zkontrolujeme před tím, než ho prohlásíme za kořen, zda vyhovuje podmínkám. Pokud ano, jedná se o kořen. Pokud ne, zahodíme ho. Určování těchto speciálních podmínek však může být zbytečně zdlouhavé a náročné, a proto dáváme přednost zkoušce, která je v tomto srovnání snazší a rychlejší.
Definiční obor rovnice je sjednocení definičních oborů výrazů na levé a pravé straně této rovnice.
ANO
NE
Ekvivalentní úprava rovnice je taková úprava, při které se množina kořenů nové rovnice rovná množině kořenů původní rovnice.
ANO
NE
Úprava rovnice, při které má nová rovnice ještě další kořeny kromě kořenů původní rovnice, se nazývá důsledková úprava.
ANO
NE
Při použití důsledkové úpravy nemusíme dělat zkoušku.
ANO
NE
Pokud při řešení rovnice použijeme pouze ekvivalentní úpravy, není nutné provádět zkoušku.
ANO
NE
Jak se jinak nazývá každé jednotlivé řešení rovnice, tj. hodnota neznámé, po jejímž dosazení do obou stran rovnice získáme platnou rovnost?
(a)
Rovnice tvaru ax + b = 0, kde a, b jsou reálná čísla, se nazývá:
kvadratická rovnice
lineární lomená rovnice
lineární rovnice
rovnost
nulová rovnice
Jak se nazývá proměnná v rovnici (např. x) , jejíž hodnoty ze zadaného oboru, které by rovnost splňovaly, se snažíme najít?
(a)
„Vyřešit rovnici VŽDY znamená najít NĚJAKOU hodnotu, po jejímž dosazení za neznámou vznikne platná rovnost. Této hodnotě říkáme KOŘEN rovnice (a samozřejmě musí vyhovovat podmínkám).“
pravda
nepravda
„Vyřešit rovnici VŽDY znamená najít VŠECHNY hodnoty, po jejichž dosazení za neznámou vznikne platná rovnost. Těmto hodnotám říkáme KOŘENY rovnice (a samozřejmě musí vyhovovat podmínkám).“
pravda
nepravda
„Při řešení rovnice nemusíme nikdy určovat podmínky.“
pravda
nepravda
„V případě, že rovnice obsahuje proměnnou ve jmenovateli nebo pod odmocninou, měli bychom určit podmínky existence všech výrazů v rovnici.“
pravda
nepravda
Jak se nazývají úpravy rovnic, které nezmění množinu všech řešení (kořenů)?
(a)
Které z uvedených úprav rovnice jsou vždy ekvivalentními úpravami? Najdi všechny.
přičtení libovolného reálného čísla k oběma stranám rovnice
odečtení libovolného reálného čísla od obou stran rovnice
přičtení čísla 5 k levé straně rovnice
vynásobení každé strany rovnice nulou
záměna levé a pravé strany rovnice
V oboru reálných čísel je kořenem rovnice 3x - 2 = 1 hodnota:
x = -1
x = -1/3
x = 0
x = 1
x = 3
V oboru reálných čísel platí, že rovnice x2−1=0 :
nemá žádný kořen
má právě 1 kořen
má právě 2 kořeny
má právě tři kořeny
má nekonečně mnoho různých kořenů
Vyber všechny správné odpovědi. V oboru reálných čísel pro rovnici xx+x=x+1 platí, že:
hodnota 0 je jejím kořenem
hodnota 1 je jejím kořenem
je ekvivalentní s rovnicí 0=0 za podmínky, že x=0
výraz na její levé straně má větší hodnotu než výraz na její pravé straně
má nekonečně mnoho kořenů
„Vynásobení obou stran rovnice neznámou je vždy ekvivalentní úpravou.“
pravda
nepravda
„Vynásobení obou stran rovnice neznámou za podmínky, že se neznámá nerovná nule, je vždy ekvivalentní úpravou.“
pravda
nepravda
Je postup správný?
x2−x =0 , vydělíme obě strany x,
x − 1 = 0 , převedeme -1 doprava,
x = 1 , vidíme, že K = {1}.
ANO
NE
Kde je v následujícím postupu chyba?
x2−x =0 , vydělíme obě strany x,
x − 1 = 0 , převedeme -1 doprava,
x = 1 , vidíme, že K = {1}.
žádná chyba v něm není
převedením -1 doprava vznikne rovnice x = -1,
mělo by tedy vyjít K = {-1}
nejprve si musíme zkusit dosadit x = 0 a zrovna zde si všimneme, že by taková rovnost platila; proto K = {0}
v této rovnici nemůžeme dělit neznámou, protože nemáme zaručeno, že x není 0; zde tím ztratíme kořen (má vyjít K = {0; 1})
v rovnici nikdy nemůžeme dělit (dělení žádným číslem není ekvivalentní úpravou)
„Vydělení obou stran rovnice libovolným reálným číslem je vždy ekvivalentní úpravou.“
pravda
nepravda
„Vydělení obou stran rovnice libovolným nenulovým reálným číslem je vždy ekvivalentní úpravou.“
pravda
nepravda
V oboru přirozených čísel platí, že množina všech kořenů K rovnice 3x −1 = 3 je:
K = {3/4}
K = {4/3}
K = {}
K = {3}
K = {4}
Jaký máš vztah k rovnicím (s porovnáním s ostatními oblastmi matematiky)?
cokoliv, jenom
ne rovnice
moc se netěším
je mi to jedno (nějak bylo,
nějak bude)
těším se na ně
rovnice jsou moje nejoblíbenější část matematiky
