WorksheetsEXAMEN CALCULO VECTORIAL-3° PARCIAL
Total questions: 100
Worksheet time: 50mins
¿Qué mide una integral doble aplicada a una función que vale 1 en toda la región?
El perímetro de la región
El volumen bajo la función
El área de la región
La longitud de la frontera
Una integral iterada es:
Una integral que se evalúa simultáneamente en dos variables
Una manera de calcular una integral doble como dos integrales sucesivas
Una integral que sólo aplica en coordenadas polares
Una integral que no depende del orden de integración
¿En qué sistema de coordenadas es más natural calcular la integral sobre un disco centrado en el origen?
Rectangulares
Polares
Cilíndricas
Esféricas
¿Qué representa un campo vectorial en física?
Un valor escalar en cada punto
Una integral sobre una región
Una flecha (dirección y magnitud) en cada punto del espacio
Un número complejo asociado a cada punto
¿Cuál es la ventaja de usar coordenadas cilíndricas?
Simplifican problemas en el plano
Se adaptan a sólidos con simetría alrededor de un eje
Son equivalentes a las esféricas para esferas
Eliminan la necesidad de integrar
Una integral de línea mide:
El área encerrada por una curva
Una cantidad acumulada a lo largo de una trayectoria
El volumen entre dos curvas
La distancia mínima entre dos puntos
¿Qué indica la divergencia de un campo vectorial en un punto?
La aceleración de una partícula
Si el campo actúa como fuente o sumidero en ese punto
La tendencia a rotar alrededor del punto
La longitud del vector en ese punto
Cuando las curvas de nivel están muy juntas en un mapa topográfico, significa que:
El área es grande
La pendiente es pronunciada
Hay un valle profundo necesariamente
El terreno es plano
¿Qué función tiene el rotacional (curl) de un campo vectorial?
Medir la divergencia media
Medir la tendencia a rotar o generar vorticidad
Dar la longitud de la curva de nivel
Convertir un campo en un potencial escalar
¿Qué es una hélice en el espacio?
Un círculo plano
Una curva que gira mientras sube o baja (como un resorte)
Una curva que no tiene componente z
Una curva que siempre está en un mismo plano
¿Cuál es la interpretación física del gradiente de una función escalar?
La integral de la función
La curvatura de sus curvas de nivel
La dirección y tasa de mayor aumento de la función
La divergencia del campo asociado
¿Qué tipo de problema es ideal para usar coordenadas esféricas?
Un rectángulo en el plano
Un cuerpo con simetría alrededor de un punto (esfera)
Un cilindro infinito
Un plano inclinado
En una integral doble en coordenadas rectangulares, la región suele dividirse en:
Triángulos
Pequeños rectángulos o cuadrados
Sectores circulares
Celdas esféricas
¿Qué indican las isotermas en un mapa de temperatura?
Puntos con la misma altitud
Puntos con la misma presión
Puntos con la misma temperatura
Puntos con la misma velocidad del viento
¿Qué es la recta tangente a una curva en el espacio?
Una recta que corta la curva en varios puntos
Un vector perpendicular a la curva
Una recta que toca la curva en un punto y tiene la misma dirección en ese instante
Una curva cerrada que aproxima la original
¿Qué caracteriza a una curva cerrada con curvas de nivel concéntricas que aumentan hacia el centro?
Un valle
Un plano inclinado
Una montaña o cumbre
Una falla geológica
¿Qué describe una integral triple?
El área de una superficie
El volumen o magnitud distribuida en una región tridimensional
La derivada de una función escalar
La longitud de una trayectoria espacial
¿Cuál es el vector que es perpendicular tanto al vector tangente como al normal de una curva?
El vector posición
El vector gradiente
El vector binormal
El vector unitario z
¿Cuál de los siguientes es un uso típico del gradiente en ingeniería?
Calcular perímetros
Convertir coordenadas polares a rectangulares
Optimizar parámetros como minimizar consumo energético o costos
Medir la densidad de un fluido sin cálculo
¿Qué significa que el rotacional de un campo sea nulo en una región?
Que la divergencia es máxima
Que el campo no tiene tendencia local a girar (es conservativo en ciertos casos)
Que el campo no tiene magnitud
Que la integral de línea siempre es positiva
¿Qué propiedad tiene una espiral en el espacio respecto al centro?
Siempre se acerca al centro
Puede alejarse del centro a medida que avanza (se expande)
Nunca gira
Es idéntica a una hélice
¿Para qué sirven los mapas topográficos basados en curvas de nivel?
Para medir temperatura solamente
Para representar únicamente ríos
Para visualizar la altitud y la forma del terreno
Para calcular integrales sólo en coordenadas esféricas
¿Cuál es la ventaja conceptual de usar integrales iteradas?
Evitar el uso de límites
Transformar una integral doble en dos integrales de una variable que se evalúan sucesivamente
Eliminar la dependencia en la variable y
Forzar el uso de coordenadas polares
¿Qué es una curva parábola en el espacio?
Una curva que no puede tener componente z
Una curva cerrada
Una curva que en su forma típica se abre hacia un lado y puede inclinarse en el espacio
Siempre es una línea recta
En un campo de fluidos, una divergencia positiva en una zona indica:
Flujo estacionario sin salida
Que el fluido está saliendo o expandiéndose (fuente)
Presencia de rotación sólo
Un punto de equilibrio estable
¿Qué representan las curvas de nivel en meteorología llamadas isobaras?
Temperatura constante
Presión atmosférica constante
Altitud constante
Velocidad constante
¿Qué elemento conceptual conecta curvas de nivel y gradiente?
La integral triple
La divergencia
El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel y señala la dirección de máximo aumento
El vector binormal siempre apunta hacia el gradiente
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre coordenadas polares es verdadera?
Usan dos ángulos para ubicar un punto
Son equivalentes a las coordenadas esféricas en 3D
Describen un punto mediante un radio (r) y un ángulo (θ)
Eliminan la necesidad del jacobiano en integrales
¿Qué es un campo conservativo (en términos sencillos)?
Un campo con divergencia alta
Un campo sin dirección definida
Un campo cuyo rotacional es cero (en un dominio apropiado) y que tiene un potencial escalar
Un campo que siempre apunta al origen
¿Cuál es la función de las isovelas en un mapa?
Curvas de presión
Líneas de igual velocidad
Curvas de altitud
Líneas de igual densidad
¿Qué describe la longitud de una curva en el espacio?
El volumen encerrado por la curva
La distancia total que recorrería alguien siguiendo la curva
La cantidad de torsión solamente
La derivada del vector binormal
¿Qué es una línea recta espacial?
Una curva siempre en un plano
La trayectoria más simple que no se curva ni cambia de dirección
Una función con rotacional no nulo
Una curva cerrada que encierra área
¿Cuál es el papel de la integral de línea en el cálculo del trabajo realizado por una fuerza?
Calcular masa por unidad de área
Sumar la componente de la fuerza a lo largo de la trayectoria tomada por un objeto
Convertir un campo vectorial en un potencial escalar
Medir la divergencia del campo
¿Qué describe la noción de "región simple" en el contexto de integrales dobles en coordenadas rectangulares?
Una región con frontera fractal
Una región que puede describirse por funciones límite en una variable y se recorre por franjas
Una región que sólo admite coordenadas polares
Una región con singularidades internas
¿Cuál es una característica de una elipse en el espacio?
Siempre es plana y sin inclinación posible
Es un círculo estirado que puede rotarse o inclinarse en el espacio
No existe en aplicaciones naturales
Solo aparece en sistemas esféricos
¿Qué relación existe entre la divergencia y la conservación de masa en un fluido?
Ninguna relación
La divergencia mide únicamente la temperatura
La divergencia indica fuentes o sumideros; para flujo incomprensible la divergencia es cero
La divergencia es siempre positiva
¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las curvas de nivel en ingeniería civil?
Entrenamiento de redes neuronales
Diseño de circuitos eléctricos
Determinación de trazos de carreteras y pendientes
Cálculo exclusivo de volumen en esferas
¿Qué significa que las isobaras estén muy juntas en un mapa meteorológico?
Clima estable
Cambios bruscos de presión y posibilidad de vientos fuertes
Mayor altitud
Menor temperatura siempre
El vector normal a una curva en el espacio indica:
La dirección del movimiento instantáneo
Hacia dónde la curva está girando o curvándose
La dirección del gradiente necesariamente
La magnitud del rotacional
¿En cuál de estos problemas es más probable utilizar coordenadas cilíndricas?
Un problema con simetría esférica
Un rectángulo en el plano XY
Un cilindro hueco con eje en z
Un disco bidimensional
¿Qué describe una curva espiral respecto a su crecimiento radial?
Nunca cambia de radio
Puede aumentar su distancia al centro a medida que avanza
Siempre disminuye hacia el centro
Es idéntica a una circunferencia
¿Qué herramienta matemática es clave para cambiar de coordenadas al evaluar integrales múltiples?
El rotacional
El jacobiano
La longitud de arco
El vector binormal
¿Cuál es una interpretación geométrica de la divergencia negativa en una región?
El campo está explotando
El campo se está comprimiendo hacia un punto (sumidero)
El campo está girando sin fuente
La región es plana
¿Qué elemento aparece en la teoría de curvas en el espacio y NO en curvas planas?
Recta tangente
Curvas cerradas
Vector binormal
Curvas de nivel
¿Qué significa que una función tenga un gradiente nulo en un punto aislado (∇f = 0)?
Que la integral doble es cero
Que el punto puede ser un extremo local (mínimo, máximo o punto silla)
Que la función no está definida
Que las curvas de nivel no existen
¿Cuál de las siguientes define mejor una circunferencia en el espacio?
Una elipse con radios distintos
Un círculo que puede estar orientado en cualquier plano del espacio
Una hélice con giro nulo
Una curva que aumenta su radio continuamente
¿Qué uso tiene la integral triple en física?
Calcular perímetros de curvas cerradas
Determinar masa o carga total dentro de un sólido con densidad variable
Medir temperatura superficial únicamente
Calcular sólo volúmenes regulares
¿Qué es una curva compleja según el documento (sin fórmulas)?
Una curva que no existe en la naturaleza
Una curva que sólo está en 2D
Una curva que combina movimientos oscilatorios, rotacionales y ascendentes
Una curva que siempre es periódica
¿Qué propiedad tendrá el gradiente respecto a las curvas de nivel de una función?
Será tangente a las curvas de nivel
Será perpendicular a las curvas de nivel
Tendrá siempre magnitud cero
Irá en sentido contrario al rotacional
¿Qué se entiende por "sector circular" cuando se usa coordenadas polares?
Un rectángulo curvo
Una región triangular
Una porción de disco limitada por dos radios y un arco
Un volumen en 3D
¿Cuál es una característica de un campo con rotacional grande?
Es necesariamente conservativo
Tiene fuerte tendencia a formar remolinos o vorticidad
No tiene magnitud
Su divergencia es siempre cero
¿Qué representa una isotermia en un mapa meteorológico?
Igual presión
Igual temperatura
Igual altitud
Igual velocidad del viento
¿Qué describe el vector tangente unitario T en una curva parametrizada?
La dirección instantánea de la curva con magnitud 1
La curva de nivel asociada
El gradiente de una función escalar
La divergencia del campo
¿Por qué las coordenadas polares usan r dθ como parte del área elemental?
Porque r dθ es la longitud del radio
Porque el jacobiano de la transformación rectangulares→polares es r
Por conveniencia sin razón matemática
Para evitar integrales dobles
¿Qué indica una curva de nivel cerrada con depresiones hacia el centro?
Una montaña
Una depresión o cráter (altura disminuye hacia el centro)
Un río
Un área plana
¿Qué utilidad tiene el vector binormal B en aplicaciones prácticas?
Calcular divergencia
Ayudar a definir orientación 3D en animación y robótica
Determinar isotermas
Evaluar integrales en 2D
¿Cuál de las siguientes no es una coordenada usada en coordenadas esféricas?
Radio (ρ)
Azimutal (θ)
Polar (φ)
x (como un parámetro primario en la definición)
¿Qué es una curva helicoidal típica en ingeniería?
Un plano inclinado
Una hélice como un resorte o tornillo que sube mientras gira
Una espiral plana
Una parábola en el plano
¿Qué sugiere el uso del gradiente descendente en optimización?
Buscar máximos por subir la superficie
Minimizar una función moviéndose en dirección opuesta al gradiente
Calcular divergencias
Encontrar rotacionales nulos
¿Qué efecto tiene describir una región en coordenadas cilíndricas sobre los límites de integración?
Siempre complica los límites
Los hace más naturales cuando hay simetría de revolución alrededor de un eje
Elimina la necesidad de integrar en z
Convierte todo en integrales simples de una sola variable
¿Qué indica que una curva en un mapa de contorno (curva de nivel) sea cerrada y sus valores disminuyen hacia el centro?
Una montaña
Una depresión o cuenca
Un punto de inflexión
Un valle externo no profundo
¿Cuál es una aplicación de las curvas de nivel en ingeniería ambiental?
Diseño de antenas satelitales
Determinación de cuencas hidrológicas y drenaje
Programación de microcontroladores
Cálculo de resistencias eléctricas
¿Qué se entiende por 'campo vectorial' en matemáticas puras?
Un conjunto de escalar por punto
Un número complejo asignado a cada punto
Una función que asigna un vector (dirección y magnitud) a cada punto del dominio
Solo una representación gráfica sin interpretación matemática
¿Qué indica la presencia de muchas curvas de nivel concéntricas con valores crecientes hacia el centro?
Un lago profundo
Una cima o montículo
Un valle externo
Una depresión o cuenca
¿Qué significa parametrizar una curva en el espacio?
Eliminar su dependencia del tiempo
Describir la curva mediante funciones de un parámetro (por ejemplo, t) para x(t), y(t), z(t)
Convertirla en un campo vectorial automáticamente
Hacerla plana
¿Cuál es el propósito de emplear coordenadas esféricas en una integral triple?
Evitar límites
Ajustar la integración a simetrías radiales y reducir complicaciones
Aumentar el número de integrales necesarias
Reemplazar el jacobiano por 1
¿Qué es una curva especial que combina oscilaciones y rotaciones en el espacio?
Una circunferencia
Una curva compleja o especial
Una elipse simple
Una recta dual
¿Cuál de los siguientes es verdadero sobre la integral de línea de un campo conservativo entre dos puntos?
Depende del camino seguido estrictamente
Depende sólo de los puntos inicial y final (independiente del camino)
Siempre es cero
No se puede calcular sin rotacional
¿Qué describe mejor una 'región simple' tipo I o II para integrales dobles?
Una región con múltiples agujeros
Una región que se puede describir por funciones top y bottom (tipo I) o left y right (tipo II)
Solo regiones circulares
Regiones no medibles
¿Qué significa que un campo tenga flujo neto cero a través de una superficie cerrada?
Su rotacional es cero por fuera
La divergencia integrada en el volumen interno es cero (por teorema de la divergencia, si aplica)
No hay campo presente
El campo es necesariamente conservativo
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre curvas en el espacio es correcta?
Todas las curvas en el espacio son planas
Algunas curvas en el espacio no están contenidas en ningún plano (por ejemplo, hélices)
No existen circunferencias en el espacio
Las curvas espaciales no tienen tangentes
¿Qué se espera del rotacional en un campo magnético idealizado sin corrientes locales?
Divergencia positiva siempre
Que pueda ser no nulo si hay campos variables; contexto físico determina su valor
Siempre nulo
Siempre infinito
¿Qué describe el concepto de “longitud de arco” de una curva parametrizada?
Una estimación de la curvatura media
La integral de la magnitud del vector velocidad sobre el intervalo del parámetro
El volumen debajo de la curva
La divergencia acumulada
¿Cuál es la relación entre curvas de nivel y mapas de contorno en la práctica?
Son términos completamente distintos sin relación
Las curvas de nivel son los elementos que forman un mapa de contorno
Un mapa de contorno sólo usa colores, no líneas
Curvas de nivel sólo se usan en 3D
¿Qué tipo de curva es el ADN, según ejemplos del documento?
Una curva plana simple
Una hélice (o estructura helicoidal)
Una parábola extendida
Una circunferencia
¿Qué se entiende por “campo escalar” en contraposición a campo vectorial?
Un campo con rotacional
Una cantidad (número) asignada a cada punto del espacio
Un vector de magnitud variable sin dirección
Un campo que siempre tiene gradiente nulo
¿Qué aspecto del terreno se puede inferir cuando las curvas de nivel forman “u” dirigidas hacia una línea?
Que hay una montaña muy empinada
Que existe un valle o cauce que converge hacia esa línea
Que es una meseta uniforme
Que es una depresión circular
¿Para qué es útil el vector tangente en la física de movimiento?
Calcular presiones
Indicar la dirección instantánea de la velocidad de un objeto que sigue la curva
Determinar la temperatura
Encontrar la divergencia local
¿Qué se busca con el análisis de campos vectoriales en dinámica de fluidos?
Únicamente el color del fluido
Direcciones de flujo, vorticidad, fuentes y sumideros
Transformar el fluido en escalar
Evitar el uso de integrales
¿Cuál es una propiedad de una hélice con paso constante?
No tiene componente vertical
Sube (o baja) uniformemente mientras gira a ritmo constante
Es plana
Tiene rotacional nulo en todos lados
¿Qué se entiende por "simetría radial" en un problema de integración?
Simetría respecto a una línea
Que la función o región sólo depende de la distancia al origen
Que depende sólo del ángulo
Que no se puede integrar con coordenadas polares
¿Cuál es una aplicación de las curvas en animación 3D?
Diseñar mapas topográficos únicamente
Controlar trayectorias de cámaras y movimiento de objetos
Sustituir integrales triples por dobles
Calcular isotermas
¿Qué describe mejor una espiral en el espacio distinta de la hélice?
Nunca cambia de radio
Puede alejarse o acercarse al centro; no necesariamente sube uniformemente
Siempre está contenida en un plano perpendicular al eje z
Es idéntica a un círculo
¿Qué representa un potencial escalar asociado a un campo vectorial conservativo?
Una integral triple mal definida
Una función cuya gradiente es el campo vectorial
Un vector normal a la curva
El rotacional del campo
¿Cuál es un indicio matemático de que una función en 2D tiene un máximo o mínimo local?
Que su rotacional sea positivo
Que su gradiente sea cero en ese punto (condición necesaria)
Que las curvas de nivel sean abiertas
Que las isobaras se crucen
¿Qué describe el término "binormal" B en la triada de Frenet?
Un vector paralelo al tangente
Un vector perpendicular tanto al tangente como al normal que completa la orientación espacial
Un escalar asociado a la torsión
La derivada de la curvatura
¿Qué tipo de curvas son útiles para modelar caminos en estacionamientos en rampa?
Curvas planas sólo
Hélices o rampas helicoidales
Isobaras
Curvas de nivel sin pendiente
¿Qué se entiende por "campo vectorial definido en el plano"?
Una función que asigna un escalar por punto en el espacio 3D
Una función que a cada punto del plano le asigna un vector (dos componentes)
Un vector fijo para todo el plano
La misma noción que una integral doble
¿Cuál es una aplicación real de las isotermas mencionada en los documentos?
Diseño de puentes
Análisis térmico en motores y componentes electrónicos (hot spots)
Cálculo de volumen de un cilindro
Trazado de rutas marítimas
¿Qué ocurre si se intercambia el orden de integración en una integral iterada válida?
Siempre cambia el resultado
El resultado es el mismo si la función y la región cumplen condiciones adecuadas (Fubini)
Nunca es posible intercambiarlo
Se convierte en una integral triple
¿Qué representa la torsión de una curva en el espacio (conceptualmente)?
La divergencia local
Cómo se "aplana" o sale del plano la curva (giro fuera del plano osculador)
La magnitud del vector tangente
La integral de la curvatura
¿Cuál es el significado práctico de una curva de nivel que forma círculos concéntricos en topografía?
Indica una falla geológica lineal
Indica una cumbre o depresión casi simétrica (montaña o cuenca)
Indica ausencia de cambio altitudinal
Indica solo presencia de vegetación
¿Qué se utiliza para representar matemáticamente una curva en el espacio sin ecuaciones explícitas en el documento?
Sólo con integrales dobles
Con descripciones paramétricas x(t), y(t), z(t)
Con coordenadas polares únicamente
Con mapas de contorno solamente
¿Qué indica una isobara cerrada que forma un mínimo de presión en meteorología?
Zona de anticiclón
Zona de ciclón o baja presión (dependiendo del contexto)
Un terreno montañoso
Una área sin viento
¿Cuál es un uso de las coordenadas cilíndricas en electromagnetismo?
Problemas sin simetría alguna
Problemas con simetría alrededor de un eje, como un cable largo
Problemas con simetría esférica
Problemas con simetría plana
¿Qué sucede con las curvas de nivel en una meseta uniforme?
Son muy juntas y concéntricas
Están muy separadas o casi ausentes (poca variación de altitud)
Forman espirales
Indican siempre agua superficial
¿Qué significa que un campo vectorial tenga circuito cerrado con circulación no nula alrededor de una curva?
Que la divergencia sea maximal
Que el rotacional es no nulo dentro de la región encerrada
Que el campo es conservativo
Que la integral triple es cero
¿Qué propiedad distingue a una elipse frente a una circunferencia?
La elipse no puede estar en el espacio
La elipse tiene ejes de distinta longitud; la circunferencia tiene radio constante
La circunferencia siempre es una hélice
La elipse no tiene aplicaciones en óptica
¿Cuál es un criterio para elegir coordenadas (rectangulares, polares, cilíndricas, esféricas) al evaluar integrales múltiples?
Elegir siempre coordenadas rectangulares es mejor
Elegir la que simplifique los límites y aproveche la simetría del problema
Elegir la que tenga menor número de variables
Elegir al azar
¿Qué representa el gradiente descendente en aprendizaje automático (mencionado como ejemplo de aplicación)?
Un método para aumentar el error
Un algoritmo que ajusta parámetros disminuyendo el valor de la función de error moviéndose en dirección opuesta al gradiente
Una técnica para calcular divergencias
Un método para convertir campos vectoriales a escalares
