لهما نفس الطول واتجاهان متعاكسان تمامًا

لهما أطوال مختلفة لكن نفس الاتجاه

لهما نفس البداية والنهاية نفسها

لا علاقة بين طولهما أو اتجاههما

زوايا تقاس في فراغ ثلاثي الأبعاد

نقاط ثابتة على المستوى x–y فقط

متجهات بطول عشوائي على المحاور x وy وz

متجهات بطول يساوي 1 على المحاور x وy وz

الطول يصبح |b| والاتجاه كاتجاه $$\vec{a}$$ إذا b>0

الطول يبقى ثابتًا والاتجاه لا يتغير لأي b

ينعكس الاتجاه دائمًا مهما كانت إشارة b

يصبح المتجه صفريًا فقط عندما b<0

ندور $$\vec{a}$$ بزاوية $$90^\circ$$ ثم نجمع الأطوال

نضع بداية $$\vec{b}$$ عند نهاية $$\vec{a}$$ ثم نصل البداية بالنهاية

نأخذ المتوسط بين إحداثيات رأسي السهمين

نطرح أطوال المتجهين دون النظر للاتجاه

$$(2, 1, 3)^T$$ لأن المتجهين متعاكسان

(−4, 2, 12)^T $$(−4, 2, 12)^T$$ بضرب ثم جمع

$$(0, 1, 7)^T$$ بتبديل مكوّن y

$$(0, 2, 7)^T$$ بجمع كل مكوّن

$$(10, 1, 3)^T$$ بضرب أول مركّبة فقط

$$(2, 1, 3)^T$$ لأن 5 عدد محايد

(7, 6, 8)^T بإضافة 5 للمركبات

(10, 5, 15)^T $$ضرب كل مركّبة$$

(−2, 0, 8)^T بطرح A من B

(−2, 0, −8)^T بتبديل ترتيب الطرح

$$(2, 0, 8)^T$$ بعكس إشارة z فقط

$$(2, 0, -8)^T$$ بطرح B من A

\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB}/2 لنصف الإزاحة

\overrightarrow{BA} = −\overrightarrow{AB} بتغيير اتجاه السهم

\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} لأن المسافة ثابتة

\overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{AB} لمضاعفة الطول

(x_p, y_p, z_p)

(x_p−1, y_p−1, z_p−1)

(x_p x y_p, y_p x z_p, z_p x x_p)

(x_p+y_p, y_p+z_p, z_p+x_p)

$$\frac{(a1^2 + a2^2 + a3^2)}{(b1^2 + b2^2 + b3^2)}$$

(a1 b1 + a2 b2 + a3 b3)/(|a||b|)

(a1 b2 − a2 b1)/(|a|+|b|)

$$(|a|^2 + |b|^2 − a1 b1)/(|a||b|)$$

$$\sqrt{a1^2 + a2^2 + a3^2}$$

a1 + a2 + a3

a1 a2 a3

√(a1 + a2 + a3)

a×b = − b×a

a×b = b×a

a×b يوازي كلًا من a و b

|a×b| = |a||b| cosθ

12

10

7

6

(x−1)/5 = (y−2)/3 = (z−3)/−5

(x−1)/−3 = (y−2)/5 = (z−3)/5

(x+1)/3 = (y+2)/5 = (z+3)/−5

(x−1)/3 = (y−2)/5 = (z−3)/−5