กราฟอนุพันธ์ แผ่นงาน

เริ่มต้นด้วยเรื่องราวของความชัน: ให้นักเรียนลากเส้นตามเส้นโค้งของฟังก์ชันด้วยนิ้ว และบรรยายว่าความชันเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ ณ แต่ละจุด — คำบรรยายนั้นจะกลายเป็นกราฟอนุพันธ์ เมื่อนักเรียนสามารถอธิบายพฤติกรรมของความชันด้วยวาจาได้แล้ว การแปลงเป็นกราฟก็จะเข้าใจได้ง่ายขึ้น จากนั้น ให้เน้นที่การแปลงที่สำคัญสามประการ: เมื่อ f เพิ่มขึ้น f′ จะเป็นบวก เมื่อ f มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเฉพาะที่ f′ จะตัดผ่านศูนย์ เมื่อ f เปลี่ยนความโค้ง f′ จะมีค่าสุดขีดเฉพาะที่ การสร้างความเชื่อมโยงเหล่านี้ทีละอย่าง แทนที่จะทำทั้งหมดพร้อมกัน จะช่วยป้องกันความสับสนที่เกิดจากการมองว่ากราฟอนุพันธ์เป็นงานท่องจำที่แยกต่างหาก

การฝึกฝนที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคือการดำเนินการในทั้งสองทิศทาง: เมื่อกำหนด f แล้ว ให้วาดกราฟ f′ และเมื่อกำหนด f′ แล้ว ให้สร้างพฤติกรรมของ f ขึ้นมาใหม่ แบบฝึกหัดกราฟอนุพันธ์ของ Wayground ครอบคลุมทั้งสองทิศทาง พร้อมทั้งระบุจุดวิกฤต ช่วงที่เพิ่มขึ้นและลดลง ความโค้ง และจุดเปลี่ยนเว้า โจทย์ที่ให้นักเรียนจับคู่กราฟฟังก์ชันกับกราฟอนุพันธ์นั้นมีประโยชน์อย่างยิ่งในการสร้างความเข้าใจเชิงแนวคิดมากกว่าการจำขั้นตอนเพียงอย่างเดียว

มีข้อผิดพลาดสามอย่างที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง ประการแรก นักเรียนสับสนระหว่างค่าของ f กับค่าของ f′ พวกเขาจะทำเครื่องหมาย f′ เป็นค่าบวกทุกครั้งที่ f อยู่เหนือแกน x แทนที่จะเป็นทุกครั้งที่ f มีความชันเป็นบวก ประการที่สอง พวกเขาวางตำแหน่งค่าศูนย์ของ f′ ผิดที่ โดยวางไว้ที่จุดสูงสุดของ f′ แทนที่จะเป็นจุดสูงสุดของ f ประการที่สาม พวกเขามีปัญหาในการหาอนุพันธ์อันดับสอง พวกเขารู้ว่ามีความโค้งเว้าเข้ามาเกี่ยวข้อง แต่ไม่สามารถเชื่อมโยงการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของ f′ กับจุดเปลี่ยนเว้าใน f ได้อย่างน่าเชื่อถือ การฝึกฝนแบบเจาะจงที่แยกความสัมพันธ์แต่ละอย่างเหล่านี้ แทนที่จะขอให้นักเรียนวิเคราะห์ทุกอย่างพร้อมกัน จะช่วยแก้ไขข้อผิดพลาดเหล่านี้ได้

แบบฝึกหัดแต่ละชุดมีเฉลยคำตอบครบถ้วน จึงเหมาะสำหรับการฝึกฝนด้วยตนเอง การบ้าน หรือการทบทวนโดยไม่ต้องเตรียมการเพิ่มเติมใดๆ คุณสามารถใช้เป็นแบบทดสอบออนไลน์บน Wayground ซึ่งมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการให้นักเรียนได้รับผลตอบรับทันที หรือดาวน์โหลดไฟล์ PDF ที่พิมพ์ได้และมอบหมายงานเป็นกระดาษ หากคุณเลือกใช้กระดาษ แอป Wayground for Teachers จะช่วยให้คุณสแกนหรือบันทึกงานที่นักเรียนส่งมาเพื่อตรวจให้คะแนน ซึ่งจะช่วยให้ขั้นตอนการทำงานของคุณเป็นระเบียบเรียบร้อยในที่เดียว

ในหลักสูตรที่สอดคล้องกับ Common Core นักเรียนจะค่อยๆ สร้างพื้นฐานความรู้ไปสู่แคลคูลัสโดยเริ่มจากการพัฒนาความเข้าใจอย่างถ่องแท้เกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน โดเมน พิสัย ช่วงเพิ่มขึ้น/ลดลง ในวิชาพื้นฐานก่อนหน้านี้ การวิเคราะห์กราฟอนุพันธ์อยู่ตรงจุดที่สัญชาตญาณเกี่ยวกับฟังก์ชันนั้นมาบรรจบกับนิยามอย่างเป็นทางการของอนุพันธ์ กล่าวคือ นักเรียนต้องเชื่อมโยงอัตราการเปลี่ยนแปลงที่พวกเขาได้ใช้เหตุผลอย่างไม่เป็นทางการเข้ากับการแสดงผลทางกราฟที่แม่นยำ จากนั้น ขั้นตอนต่อไปตามธรรมชาติคือการทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสอง ซึ่งเป็นการทำให้สิ่งที่นักเรียนได้อ่านด้วยสายตาเป็นรูปธรรมมากขึ้น กลายเป็นขั้นตอนในการจำแนกจุดวิกฤตและอธิบายความเว้า

สำหรับนักเรียนที่กำลังสร้างความมั่นใจ Wayground มีฟังก์ชันลดตัวเลือกคำตอบ ซึ่งจะช่วยลดภาระทางความคิดในการจับคู่และการแก้ปัญหาแบบเลือกตอบ ทำให้พวกเขาสามารถมุ่งเน้นไปที่การใช้เหตุผลเชิงกราฟมากกว่ากระบวนการตัดตัวเลือกที่ไม่ถูกต้อง แบบอักษรที่เป็นมิตรกับผู้ที่มีภาวะดิสเล็กเซียและตัวเลือกขนาดตัวอักษรที่ปรับได้ ช่วยเหลือนักเรียนที่ประสบปัญหาในการอ่านข้อความที่หนาแน่นในโจทย์หลายส่วน สำหรับชั้นเรียนที่มีความสามารถหลากหลาย คุณสามารถสร้างแบบฝึกหัดเวอร์ชันอื่นที่มีระยะห่างระหว่างตัวอักษรที่กว้างขึ้นสำหรับนักเรียนที่ต้องการพื้นที่ในการมองเห็นมากขึ้น โดยไม่ต้องสร้างแบบฝึกหัดแยกต่างหาก

กราฟอนุพันธ์แสดงความชันของฟังก์ชันดั้งเดิมที่ค่า x ทุกค่า บริเวณที่ฟังก์ชันดั้งเดิมเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะมีค่าเป็นบวก บริเวณที่ฟังก์ชันดั้งเดิมลดลง อนุพันธ์จะมีค่าเป็นลบ และบริเวณที่ฟังก์ชันดั้งเดิมมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเฉพาะที่ อนุพันธ์จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ความเว้าเพิ่มมิติอีกชั้นหนึ่ง: บริเวณที่อนุพันธ์เพิ่มขึ้น ฟังก์ชันดั้งเดิมจะเว้าขึ้น และค่าต่ำสุดเฉพาะที่ในอนุพันธ์จะสอดคล้องกับจุดเปลี่ยนเว้าในฟังก์ชันดั้งเดิม