¿Por qué 3435 es uno de mis números favoritos?

¿Por qué 3435 es uno de mis números favoritos?

Hablamos sobre una curiosa característica del número 3435. ¿Cuántos más la poseerán?

Cuando preguntas a alguien sobre cuál es su número favorito, la respuesta suele ser un número bajo y casi todo el mundo te dice los mismos. El 5 y el 7 suelen repetirse bastante.

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¿Cuál es tu número favorito?

Uno de mis números favoritos es el 12, principalmente porque tiene una importante cantidad de divisores para ser un número tan pequeño: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Eso ayuda bastante a la hora de dividir grupos de 12 elementos en partes enteras iguales. Bueno, y porque me gusta, que tampoco tiene que haber una razón.

Pero otro de mis números favoritos desde hace tiempo es el 3435. La razón es que este número cumple una propiedad muy interesante que no cumplen muchos otros. 

La cuestión va sobre ver qué pasa al calcular potencias de las cifras de los números enteros positivos y sumar resultados. Pero no cualquier potencia, sino algunas que tengan cierta regularidad y además nos den un resultado curioso o interesante.

Multiple Choice

Calcula esta potencia de exponente entero: (-2)^-3

• -1/8

• 8

• -8

• 1/8

Multiple Choice

Calcula esta potencia de exponente entero: (3/5)^-2

• -9/25

• 25/9

• 9/25

• -25/9

Multiple Choice

Simplifica la siguiente operación con potencias expresando el resultado como una única potencia de exponente positivo: $$5^{-8}:5^{-3}$$

• 1/5¹¹

• 5⁵

• 5¹¹

• 1/5⁵

Multiple Choice

Simplifica la expresión 6^-3 · 9 : 16^-1 utilizando las propiedades de las potencias y expresa el resultado como fracción irreducible.

• 2 · 3

• 3/2

• 2/3

• 2^-1 · 3

Se podría jugar con las potencias de las cifras de los enteros positivos de muchas maneras, pero buscamos algo muy concreto: que las potencias tengan algo que ver con el número y que ese juego de potencias nos dé como resultado el número inicial. Veamos algún ejemplo para aclarar un poco esto.

Multiple Choice

Expresa la cantidad de la imagen en notación científica:

• 7,4 · 10¹⁶

• 7,349 · 10^-16

• 7,349 · 10¹⁶

• 7,4 · 10^-16

Supongamos que tomamos los números de dos cifras y elevamos cada cifra al número que corresponde con la posición que ocupa (contando de izquierda a derecha) y sumamos. La pregunta es: ¿en algún caso obtenemos el número inicial? Por ejemplo, si tomamos el 32, tendríamos 3¹ + 2² = 3 + 4 = 7, que no es 32. 

Multiple Choice

Y con 17, ¿qué resultado obtendríamos?

• 49

• 48

• 50

• 51

Multiple Choice

Si tomamos 48 y hacemos la operación anterior, ¿obtendríamos el número inicial?

• Sí

• No

Bien, ¿hay algún número de dos cifras que cumpla que estas operaciones dan como el resultado el propio número? Sí, el 89 es el único número de dos cifras con esta propiedad: 8¹ + 9² = 8 + 81 = 89

Podéis probar con todos los demás, y veréis que no hay ningún otro. Y también os invito a que juguéis con los de tres cifras (hay cuatro números), con los de cuatro cifras (hay tres números), pero no con los de cinco y los de seis cifras, ya que en este caso no hay ningún resultado. Para los de siete cifras tenemos una única solución, y es el número 2646798:

2¹ + 6² + 4³ + 6⁴ + 7⁵ + 9⁶ + 8⁷ = 2646798

Pero éste no es el juego de potencias del que quería hablar hoy. Nuestro juego va de elevar un número a sí mismo, cifra a cifra, y obtener el propio número. Vamos a tomar un número de tres cifras, por ejemplo el 243, para ejemplificar el asunto. Observando la imagen, vemos que no coincide con el inicial, el 243. Tampoco uno de cuatro cifras, como por ejemplo el 1843.

Exacto, 3435 cumple la propiedad que acabamos de describir:

3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435

Y salvo el 1, 1¹ = 1,el 3435 es el único número entero positivo que cumple que al elevar cada cifra a ella misma y sumar nos da como resultado el propio 3435.

Aquellos números en los que se cumple que si elevamos cada una de sus cifras a ella misma y sumamos, obtenemos de nuevo el mismo número se denominan números de Munchausen.

Daan van Berkel, ingeniero de software y matemático holandés, puso nombre en 2009 a estos curiosos números: números de Munchausen, inspirado en la historia del Barón de Munchausen (1720-1797), personaje a caballo entre la realidad y la ficción.

Multiple Choice

¿Cómo se denominan los números enteros positivo que cumple que al elevar cada cifra a ella misma y sumar nos da como resultado el propio?

• Números Daan van Berkel

• Números de Munchausen

• Números mágicos

• Números de Ibai LLanos

Este personaje histórico sirvió en el ejército ruso y, después de un par de campañas contra los turcos, contó varias hazañas, supuestamente propias, que incluían la de haber salido de una ciénaga tirándose de su propia coleta. Es decir, que se elevó a sí mismo, de ahí el nombre de números de Munchausen.

El número de Munchausen en base 10 más sencillo sería el 1, y después estaría nuestro 3435, no habiendo ya más.

Pero eso es en base 10, ya que en otras bases de numeración también podemos encontrar más, no muchos, pero «haberlos haylos».

Multiple Choice

Expresa la cantidad de la imagen en notación científica:

• 91 · 10³⁰

• 9,1 · 10³¹

• 9,1 · 10^-31

• 91 · 10^-32

También, si admitiésemos que 0⁰ = 0, o modificamos la definición para que solo se considerasen las cifras no nulas, entonces habría otro número de esta familia, el 438.579.088, que verifica que

4⁴ + 3³ + 8⁸ + 5⁵ + 7⁷ + 9⁹ + 8⁸ + 8⁸ = 438.579.088.

Multiple Choice

Averigua: $$\sqrt[3]{¿?}=-3$$

• 27

• -27

• -3

• 3

También se pueden definir los números de Munchausen opuestos, es decir, aquellos números que son iguales a la suma de sus cifras elevadas a ellas mismas, pero no cada una con la suya, sino en el sentido opuesto.

Multiple Choice

Verdadero o falso: $$\sqrt[]{25+16}=\sqrt[]{25}+\sqrt[]{16}=5+4=9$$

• Verdadero
• Falso

Por ejemplo, si consideramos el número 325, sus cifras son 3, 2 y 5, y vamos a tomar sus potencias elevadas a las cifras, pero en el orden opuesto, 5, 2, 3, quedando 3⁵ + 2² + 5³ = 243 + 4 + 125 = 372, luego este número no es de Munchausen opuesto. 

De nuevo, existen solamente dos números en esta familia:

48.625 = 4⁵ + 8² + 6⁶ + 2⁸ + 5⁴,

397.612 = 3² + 9¹ + 7⁶ + 6⁷ + 1⁹ + 2³.

Multiple Choice

Resuelve esta operación con radicales: $$\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{27}$$

• $$81$$

• $$9$$

• $$3$$

• $$27$$

Los números de Munchausen están relacionados con una familia de números que reciben el nombre de narcisistas. Esta familia está formada por aquellos números que son iguales a la suma de las potencias de sus cifras elevadas a la cantidad de cifras que tiene el número.

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Simplifica el radical de la imagen.

• $$\sqrt[7]{5^7}$$

• 5

• $$\sqrt[12]{5^7}$$

• $$\sqrt[84]{5^7}$$

Por ejemplo, el número 8.208 es un número narcisista, puesto que, teniendo 4 cifras, que son 8, 2, 0 y 8, se cumple que 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴ = 8.208.

Recordemos que una persona narcisista es aquella que “cuida demasiado de su arreglo personal, o se precia de atractivo, como enamorado de sí mismo” y el concepto viene del mito griego en el cual el joven y apuesto Narciso se enamoró de su propia imagen reflejada en el agua.

Poll

¿Te consideras una persona narcisista?

• Sí

• No

El concepto de número narcisista puede extenderse a una familia un poco más amplia, la de los números que son iguales a la suma de las potencias de sus cifras elevadas a una cantidad fija cualquiera, no necesariamente la cantidad de cifras del número, que es el caso de los números narcisistas. Por ejemplo, el número 4.150, que puede expresarse como la suma de las potencias quintas de sus cifras (que son solo cuatro).

Lo cierto es que el concepto de número narcisista ha generado una enorme familia de generalizaciones que veremos en venideras slides.