Introducción a la Derivada

Derivada

De la definición al cálculo

Orden del día

• Repaso de recta tangente

• Definición de la derivada

• Ejemplos

Definición de Recta tangente

La pendiente entre dos puntos de calcula 

 $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$  
si los puntos son x=a un punto arbitrario pero fijo y su incremento  $\left(a,f\left(a\right)\right)\ y\ \left(a+h,f\left(a+h\right)\right)$  
Entonces la pendiente de la recta secante se calcular 

  $m_{a\rightarrow a+h}=\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{x+h-x}$                              

Definición de Recta tangente

La pendiente de la recta tangente se necesita disminuir el incremento                                
 $m_{a\rightarrow a+h}=\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$  
La pendiente de la recta tangente es
 $m_a=\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$  

Ecuación de la reta tangente

Si la ecuación de la recta con pendiente m y que pasa por el punto  $\left(x_1,y_1\right)$  es 

 $\left(y-y_1\right)=m\left(x-x_1\right)$  
Entonces la ecuación de la recta tangente en el punto x=a de la curva f(x) es 

 $\left(y-f\left(a\right)\right)=m_a\left(x-a\right)$  

con 

 $m_a=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$  

Ejemplo 1

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente de la curva $f\left(x\right)=5x^2-3x-1$   en el punto x=1.

Primero calculemos la pendiente de la recta en un punto x=a
 $m_a=\lim_{h\rightarrow0}\frac{5\left(a+h\right)^2-3\left(a+h\right)-1-\left(5a^2-3a-1\right)}{h}$  
 $m_a=\lim_{h\rightarrow0}\frac{5\left(a^2+2ah+h^2\right)-3\left(a+h\right)-1-\left(5a^2-3a-1\right)}{h}$  
 $m_a=\lim_{h\rightarrow0}\frac{5\left(2ah+h^2\right)-3h}{h}$ 
 $m_a=\lim_{h\rightarrow0}5\left(2a+h\right)-3=10a-3$  
 

Ejemplo 1

Si la pendiente en un punto arbitrario es $m_a=10a-3$ , entonces la pendiente de la recta tangente en x=1 es  $m_1=10\left(1\right)-3=7$  

Por lo que la ecuación de la recta tangente en el puntos  $\left(1,f\left(1\right)\right)$  , donde
  $f\left(1\right)=5\left(1^2\right)-3\left(1\right)-1=5-3-1=1$  
 $y-1=7\left(x-1\right)$  

 $y=7x-6$  

  

Multiple Choice

¿Cuál es la Ecuación de la recta tangente a la curva $f\left(x\right)=4x^2-2x+7$   en el punto x=1

• y=8x+3

• y=6x-5

• y=6x+3

• y=10x-9

Definición de la Derivada

 $f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$  

Ejemplo 2

Derivar la función $f\left(x\right)=x^n$  con  $n\in R$  

 $f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}$ 
Debemos saber como calcular el binomio a la n
 $\left(x+h\right)^n=x^n+nx^{n-1}h+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+nxh^{n-1}+h^n$  
 $f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\ \left(nx^{n-1}+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right)$  $f'\left(x\right)=nx^{n-1}$  

Multiple Choice

¿Cuál es la derivada de la función $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$   

•  $\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$  

•  $\frac{3}{2}\sqrt{x}$  

•  $\frac{1}{2\sqrt{x}}$  

•  $\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}$  

Multiple Choice

La derivada de una constante es

• 0

• 1

• x

• 2

Multiple Choice

La derivada de

 $y=\frac{3}{4}x^8$  

•  $y´=24x^7$  

•  $y´=16x^7$  

•  $y´=6x^7$  

•  $y´=6x^8$  

Regla de la Derivada

 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[c\ f\left(x\right)\right]=c\frac{\text{d}}{\text{d}x}f\left(x\right)$  


 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]=\frac{\text{d}}{\text{d}x}f\left(x\right)\pm\frac{\text{d}}{\text{d}x}g\left(x\right)$ 

 

Multiple Choice

¿Cuál es la derivada de la expresión ?

 $f\left(x\right)=4x^3-5x+2$  

•  $12x-5$  
  

•  $3x^2-5$  
  

•  $12x^3-5$  
  

•  $12x^2-5$  
  

Multiple Choice

 ¿Cuál es la derivada de la función?  $f\left(x\right)=8x^3-3x^2+8x$  

•  $12x^2+6x\ +8$  

•  $24x^2-6x+8$  

•  $24x^2-6$  

•  $24x^2$  

Multiple Select

La derivada de

 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$  sería:

•  $x^{-2}$  

•  $\ln\ x$  

•  $-\frac{1}{x^2}$  

•  $-x^{-2}$  

Multiple Choice

La definición de derivada es:

•  $f\ '\left(a\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a-h\right)-f\left(a\right)}{\ h}$ 

•  $f\ '\left(a\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)+f\left(a\right)}{h\ }$ 

•  $f\ '\left(a\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h\ }$ 

•  $f\ '\left(a\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a-h\right)+f\left(a\right)}{h\ }$