Modelos Discretos

Modelos Discretos

Progressões:

Aritméticas e Geométricas

©José Pegada

Progressões Artiméticas

Progressões Aritméticas (P.A.) são sucessões nas quais os seus termos distam entre si o mesmo valor (k). Ou seja, o termo seguinte - o termo anterior dá sempre o mesmo valor (k). 

Matematicamente vem:

 $Seja\ a_n$  uma sucessão.
Então  $a_{n+1}-a_n=k$  , onde  $a_{n+1}\$  é o termo seguinte de  $a_n$  

O valor de k pode ser um número positivo ou negativo e é denominado por razão.

Progressões Aritméticas: exemplos

• 1; 3; 5; 7; 9 ....

• 2; 4; 6; 8; 10 ...

• 2; 5; 8; 11; 14 ...

• 4; 2; 0; -2; -4 ...

Progressões Aritméticas: termo geral

 

De modo a podermos determinar (rapidamente) o valor de um termo, numa certa ordem, usamos a noção de termo geral. Assim, o termo geral é uma expressão através da qual podemos gerar todos os termos de uma P.A.

Por exemplo:
A sucessão 2   4   6   8 ... pode ser gerada pela expressão:  $a_n=2n$ , onde ao substituir o n pelos valores da ordem desejada se obtém os valores da sucessão:

 $a_1=2\cdot1=2$ ;  $a_2=2\cdot2=4$  ; $a_3=2\cdot3=6$   ; etc..

Progressões Aritméticas: termo geral

Podemos então definir o termo geral de uma progressão aritmética como:

a_n = a₁ + (n - 1)*r

onde r é a razão da P.A.

Multiple Choice

Considera a sucessão composta pelos seguintes termos: 1; 4; 7; 10, ...

Qual é o termo geral?

• u_n = 3n - 2

• u_n = 3n

• u_n = n + 3

• u_n = n + 4

Resolução...

Vejamos porque o termo geral era 3n - 2.
Como a sucessão era composta pelos termos 1  4  7  10 ...
podemos deduzir que a razão de progressão é 3, pois o termo seguinte obtém-se somando 3 ao termo anterior.
Então, pela aplicação da expressão do termo geral vem:

 $a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r\ \Longleftrightarrow\ a_{n\ }=1\ +\ \left(n\ -1\right)\cdot3\ \Longleftrightarrow$   

 $\Longleftrightarrow\ a_{n\ }=1\ +\ 3n\ -\ 3\ \Longleftrightarrow\ a_n=3n\ -2$  

Progressões Aritméticas: soma dos n primeiros termos

Para além da expressão do termo geral, é também muito útil sabermos somar uma certa quantidade de termos consecutivos.

Por exemplo, qual é a soma dos seguintes termos?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 97 + 98 + 99 + 100

Esta situação está representada num excerto de um filme chamado "Measuring the World" ...

https://www.youtube.com/watch?v=_PwLa7wKYOA

Progressões Aritméticas: soma...

Podem visionar o vídeo no link: https://www.youtube.com/watch?v=_PwLa7wKYOA

O jovem Gauss, em finais do século XVIII, na Alemanha, foi confrontado com este problema numa das suas aulas. Enquanto os seus colegas iam tentando fazer as várias somas, ele pensou de modo diferente:

1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101 e assim sucessivamente. Então, como há 50 pares de números que podemos associar entre si, de modo que a soma dê sempre 101, basta fazer 50 * 101 = 5050

Progressões Aritméticas: soma...

Com base no raciocínio de Gauss, obtém-se uma expressão que generaliza esse modo de pensar para obter a soma de n termos consecutivos.
Essa expressão é:

 $S_n=\left(a_1+a_n\right)\cdot\frac{n}{2}$        onde:

  $a_1$  é o primeiro termo que queremos somar;
 $a_n$  é o último termo a somar;
 $n$  é o número de termos a somar.

Multiple Choice

Determine a soma dos 10 primeiros termos da P.A.: 3; 5; 7; 9; ...

• 65

• 110

• 120

• 125

• 135

Progressões Geométricas

Progressões Geométricas

Progressões Geométricas (P.G.) são sucessões nas quais os seus termos evoluem multiplicando o termo anterior por um mesmo valor (k). Ou seja, o termo seguinte / o termo anterior dá sempre o mesmo valor (k). 

Matematicamente vem:

 $Seja\ a_n$  uma sucessão.

Então  $\frac{a_{n+1}}{a_n}=k$  , onde  $a_{n+1}\$  é o termo seguinte de  $a_n$  

O valor de k pode ser um número positivo ou negativo e é denominado por razão.

Progressões Geométicas: exemplos

• 1; 3; 9; 27; 81 ....

• 2; 4; 8; 16; 32 ...

• 2; -4; 8; -16; 32 ...

• 4; 2; 1; 0,5; 0,25 ...

Progressões Geométicas: termo geral

 

De modo a podermos determinar (rapidamente) o valor de um termo, numa certa ordem, usamos a noção de termo geral. Assim, o termo geral é uma expressão através da qual podemos gerar todos os termos de uma P.G.

Por exemplo:
A sucessão 2   4   8   16  ... pode ser gerada pela expressão:  $a_n=2^n$ , onde ao substituir o n pelos valores da ordem desejada se obtém os valores da sucessão:

 $a_1=2^1=2$ ;  $a_2=2^2=4$  ; $a_3=2^3=8$   ; etc..

Progressões Geométicas: termo geral

Podemos então definir o termo geral de uma progressão geomética como:

a_n = a₁ * r^{(n - 1)}

onde r é a razão da P.G.

Multiple Choice

Considera a sucessão composta pelos seguintes termos: 1; 3; 9; 27; ...

Qual é o termo geral?

• u_n = 2^{n - 1}

• u_n = 4^{n - 1}

• u_n = 3^{n - 1}

• u_n = 3ⁿ

Resolução...

Vejamos porque o termo geral era  $3^{n-1}$ .
Como a sucessão era composta pelos termos 1   3   9   27  ...
podemos deduzir que a razão da progressão é 3, pois o termo seguinte obtém-se multiplicando 3 ao termo anterior.
Então, pela aplicação da expressão do termo geral vem:

 $a_n=a_1\cdot r^{n-1}\ \Longleftrightarrow\ a_n=1\cdot3^{n-1}\ \Longleftrightarrow\ a_n=3^{n-1}$    

Progressões Geométicas: soma dos n primeiros termos

Para além da expressão do termo geral, é também muito útil sabermos somar uma certa quantidade de termos consecutivos.

Por exemplo, qual é a soma dos primeiros 10 termos de uma P.G. com termo geral:

a_n = 2*3^{(n - 1)} ?

Progressões Geométicas: soma...

Uma forma de tentar obter a soma anterior seria a de determinar todos os dez termos e fazer a respetiva soma. No entanto, em somas com muitos termos isso não é prático...
Ao invés, vamos utilizar a expressão que permite obter a soma de n termos consecutivos de uma P.G. Essa expressão é:

 $S_n=a_1\cdot\frac{\left(r^n-1\right)}{r-1}$        onde:

  $a_1$  é o primeiro termo que queremos somar;
 $n$  é o número de termos a somar.

Progressões Geométricas: soma...

Vejamos então qual o resultado da soma dos 10 primeiros termos da sucessão:  $a_n=2\cdot3^{n-1}$  

 $a_1=2\cdot3^{\left(1-1\right)}=2\cdot3^0=2\cdot1=2$ 

 $S_{10}=2\cdot\frac{3^{10}-1}{3-1}=2\cdot\frac{59049\ -1}{2}=59048$  

Recorda que  $a^{0\ }=1,\ para\ qualquer\ valor\ de\ a$