Asimptote

Asimptote

Recapitulare

Asimptote verticale

Fie o funcție f : D  $\rightarrow$  IR.

 $Spunem\ că\ dreapta\ x=a\ \left(a\in IR\ este\ un\ punct\ de\ acumulare\ pentru\ D\right)$  este asimptotă verticală la graficul funcției f, dacă cel puțin una dintre limitele laterale  $l_s\left(a\right)\ sau\ l_d\left(a\right)$  există și este egală cu  $+\infty\ sau\ -\infty$  

În concluzie:

Asimptotele verticale sunt linii verticale "invizibile" ce nu intersectează niciodată graficul funcției!

Asimptotele verticale taie funcția în mai multe părți!

Graficul funcției nu admite asimptote verticale în punctele de continuitate ale funcției!

Cum găsesc asimptotele verticale ale unei funcții raționale?

Egalez numitorul cu 0 apoi rezolv ecuația obținută.

Asimptote orizontale

 $\ Dacă\ +\infty$  este punct de acumulare pentru D , atunci spunem că dreapta de ecuație  $y\ =\ b$  este asimptotă orizontală la  $\pm\infty$  pentru graficul funcției f dacă  $\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)\ =\ b\ și\ b\ este\ finit.$  

Asimptotele orizontale

sunt linii orizontale care uneori intersectează funcția.

Asimptotele orizontale forțează funcția să se termine într-un anume mod.

Cum găsesc asimptotele orizontale ale unei funcții raționale?

• Dacă gradul numărătorului este mai mare decât al numitorului atunci funcția nu are asimptote orizontale

• Dacă gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului atunci funcția admite asimptote orizontale y=0

• Dacă gradul numărătorului este egal cu cel al numitorului atunci asimptota orizontală este egală cu raportul coeficienților monoamelor de grad maxim

Asimptote oblice

 $Dacă\ +\infty$ este punct de acumulare pentru D , atunci spunem că dreapta de ecuație   $y\ =\ mx+n$  este asimptotă oblică spre  $+\infty$  pentru graficul funcției f , dacă avem 

 $\lim_{x\rightarrow\infty}\left|f\left(x\right)\ -\left(\ mx\ +n\right)\right|=0$  

(adică distanța dintre dreaptă și grafic măsurată pe verticală , tinde către 0, atunci când x tinde către  $+\infty$  

Observații

1.    Din definiția asimptotelor oblice la  $+\infty$  , deducem că :

  $m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}$ ,

 $n\ =\ \lim_{x\rightarrow\infty}\left[f\left(x\right)\ -\ mx\right],\ iar\ m\ne0.$  

2. Dacă cel puțin una dintre cele două limite nu există sau este infinită, atunci curba nu are asimptotă oblică la ramura spre  $+\infty$  sau spre  $-\infty$ .
3. Graficul unei funcții nu admite în același timp asimptote orizontale și oblice către aceeași direcție, spre  $+\infty\ sau\ -\infty$