Sustitución

Sustitución

En esta clase aprenderemos el método de sustitución.

 $\int f\left(u\right)\cdot u´\left(x\right)dx=\int f\left(u\right)du$  

Calentamiento...

Primero unas preguntas de lo que hemos visto antes.

Multiple Choice

¿Cuál es la antiderivada?

 $\int_{ }^{ }x^2dx$  

•  $x^3+C$  

•  $2x+C$  

•  $\frac{1}{2}x^3+C$  

•  $\frac{1}{3}x^3+C$  

Multiple Choice

¿Cuál es la antiderivada?

 
  

 $\int_{ }^{ }\cos\left(x\right)dx$  

•  $sen\left(x\right)+C$  

•  $-sen\left(x\right)+C$  

•  $\cos^2\left(x\right)+C$  

•  $\frac{1}{2}\cos^2\left(x\right)+C$  

Multiple Choice

 $\int_{ }^{ }\left(x^2+1\right)dx=\frac{1}{3}x^3+x+C$  

• Verdadero

• Falso

Multiple Choice

 $\int_{ }^{ }\left(x^2+1\right)^2dx=\frac{1}{3}\left(x^2+1\right)^3+C$  

• Verdadero

• Falso

Integrales de productos y potencias de funciones:

Para resolver

 $\int_{ }^{ }\left(x^2+1\right)^2dx$  debemos primero distribuir la potencia cuadrada:

 $\int_{ }^{ }\left(x^2+1\right)^2dx=\int_{ }^{ }x^4+2x+1^{ }dx$  

..y ahora sí, podemos integrar cada término de la suma:

 $\int_{ }^{ }x^4+2x+1^{ }dx=\frac{1}{5}x^5+x^2+x+C$  

¿Pero qué pasa con potencias más altas?

...¿O con funciones más complicadas?

 $\int3x^2\left(x^3-6\right)^{15}dx$  

 $\int2x^2\sqrt{x^3+4}^{ }dx$  

 $\int3x^2\sec^2\left(x^3+1\right)dx$  

La regla de sustitución

En los ejemplos anteriores, la integral contiene un producto de funciones y uno de los factores es una función compuesta.

Míralos bien....

 $\int3x^2\left(x^3-6\right)^{15}dx$  

 $\int2x^2\sqrt{x^3+4}^{ }dx$  

 $\int3x^2\sec^2\left(x^3+1\right)dx$  

Multiple Choice

¿Cuál es la función compuesta en

 $\int3x^2\left(x^3-6\right)^{15}dx?$  

•  $3x^2$  
  

•  $x^3-6$  
  

•  $\left(x^3-6\right)^{15}$  

Multiple Choice

¿Cuál es la función compuesta en

 $\int3x^2\sec^2\left(x^3+1\right)dx?$  

•  $3x^2$  

•  $\left[\sec\left(x^3+1\right)\right]^2$  

La regla de sustitución

Cuando una de las funciones del producto es la derivada de la función "interna" de la compuesta, es decir, si la integral es de la forma:

 $\int f\left(u\right)\cdot u´\left(x\right)dx$  

Entonces, sustituimos la función interna por  $u$  , y  $du=u´(x)dx$   para obtener:

 $\int f\left(u\right)\cdot u´\left(x\right)dx=∫f(u)du$  

Ejemplo 1:

 $\int2x\left(x^3-6\right)^{15}dx$  

Tenemos:  $u=x^3-6,\ \ du=3x^2dx$  y entonces:

 $\int3x^2\left(x^3-6\right)^{15}dx=\int u^{15}du=\frac{1}{16}u^{16}+C$  

 $\int3x^2\left(x^3-6\right)^{15}dx=\frac{1}{16}\left(x^3-6\right)^{16}+C$  

Ejemplo 2:

 $\int2x^2\sqrt{x^3+4}\ dx$  

La función compuesta es:  $\sqrt{x^3+4}$  .
Hagamos esto juntos...

Multiple Choice

Si la función compuesta es

 $\sqrt{x^3+4}$  , entonces:

•  $u=\sqrt{x^3+4}$  

•  $u=x^3+4$  

•  $u=2x^2$  

•  $u=x^3$  

Multiple Select

Usemos  $u=x^3+4$  . Entonces:

(selecciona todo lo correcto)

•  $\frac{2}{3}du=2x^2dx$  

•  $du=\left(x^3+4\right)dx$  

•  $du=3x^2dx$  

•  $du=2x^2$  

Multiple Select

Usando  $u=x^3+4$   y  $\frac{2}{3}du=2x^2dx$  , 

la integral

 $\int2x^2\sqrt{x^3+4}\ dx$  se convierte en:

•  $\int2x^2\sqrt{u}\ du$  
  

•  $\int\ \frac{2}{3}\sqrt{u}\ du$  
  

•  $\int3\sqrt{u}\ du$  

•  $\frac{2}{3}\int\ u^{\frac{1}{2}}du$  

Multiple Choice

Finalmente, nuestra integral  $\int2x^{2\ }\sqrt{x^3+4}\ dx$  es igal a:

•  $\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$  

•  $\frac{4}{9}\left(x^3+4\right)^{\frac{3}{2}}+C$  

•  $\frac{4}{9}u^{\frac{3}{2}}+C$  

Verificación:

Para comprobar nuestro resultado, deriva 

 $\frac{4}{9}\ \left(x^3+4\right)^{\frac{3}{2}}+C$  

Último ejemplo

Hazlo tú:

 $\int3x^2\sec^2\left(x^3+1\right)dx$ 

La respuesta es...

..la respuesta es:

 $\tan\left(x^3+1\right)+C$