Geometria de Posição

Geometria de Posição

Matemática 1

Prof.: Thiago Ramon

Conceitos introdutórios

• Ponto - letras latinas maiúsculas: A, B, C, ...

• Reta - letras latinas minúsculas: a, b, c, ...

• Plano - letras gregas minúsculas: α, β, γ, ...

Axioma ou postulados

• As proposições (propriedades, afirmações) geométricas são aceitas mediante demonstrações.

  As proposições primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem demonstração.

  Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando o ponto, a reta e o plano.

Axioma ou postulados

• Existe reta e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.

• Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.

• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

• Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

• Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano.

• Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada.

Multiple Select

Marque as afirmações verdadeiras.

• Por um ponto passam infinitas retas.

• Por dois pontos distintos passa uma reta.

• Uma reta contém dois pontos distintos.

• Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.

• Por três pontos dados passa uma só reta.

Posições relativas de duas retas

Duas retas distintas podem ter as seguintes posições relativas no espaço: concorrentes, paralelas ou reversas.

Concorrentes

Duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum.

Diz-se que r e s são perpendiculares quando são concorrentes e determinam um ângulo de 90°.

Paralelas

Duas retas são paralelas quando são coplanares e não têm ponto comum.

Reversas

Duas retas são reversas quando todo plano que contém uma delas não contém a outra.

Um caso particular de posição de duas retas reversas é o das retas ortogonais.

Ortogonais

Duas retas são ortogonais quando são reversas e a paralela a uma delas, conduzida por um ponto da outra, é perpendicular a esta outra.

Multiple Select

Marque as afirmativas verdadeiras

• Duas retas distintas que têm um ponto comum são retas concorrentes.

• Duas retas que estão num plano são paralelas.

• Duas retas que não têm ponto comum são reversas.

• Duas retas reversas não têm ponto comum.

• Duas retas não coplanares são reversas.

Posições relativas de uma reta e um plano

Uma reta e um plano podem ter as seguintes posições relativas: a reta está contida no plano, a reta e o plano são concorrentes (ou secantes) ou a reta e o plano são paralelos.

Reta contida no plano

Uma reta está contida num plano quando todos os pontos da reta estão no plano.

Reta e plano concorrentes

Uma reta e um plano são concorrentes ou secantes quando têm um único ponto comum. Esse ponto é chamado traço da reta no plano.

Reta e plano paralelos

Uma reta e um plano são paralelos quando não têm ponto comum.

Multiple Select

Marque as afirmativas falsas.

• Se duas retas distintas são paralelas e um plano contém uma delas, então ele é paralelo ou contém a outra.

• Se dois planos são secantes e uma reta de um deles é paralela ao outro, então essa reta é paralela à interseção.

• Se duas retas são paralela a um plano, então elas são paralelas entre si.

• Se duas retas são reversas, qualquer plano que passa por uma intercepta a outra.

Multiple Choice

(PUC-SP) Considere a sentença: "Num plano, se duas retas são____, então toda reta____ a uma delas é ____à outra". A alternativa que preenche corretamente as lacunas é:

• paralelas - perpendiculares - paralelas

• perpendiculares - paralelas - paralelas

• perpendicular - perpendicular - perpendicular

• paralelas - paralelas - paralelas

• perpendiculares - paralelas - perpendiculares

Multiple Choice

(UF - BA) É correto afirmar que:

• se uma reta r é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano alfa, então r é perpendicular a alfa.

• duas retas distintas, paralelas a um mesmo plano, são paralelas entre si.

• uma reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta que pertença a esse plano

• dois planos paralelas a uma mesma reta são paralelos entre si.