EDO - Aula 1: Introdução - Definição e Terminologia

EDO - Aula 1: Introdução - Definição e Terminologia

By LUIS CLAUDIO LA

sentença fechada

São afirmações em que se pode julgar como Verdadeira ou Falso a partir da informação dada. São fechadas no sentido de ser VERDADEIRA ou FALSA.

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

sentença ABERTA

​São sentenças que podem ser verdadeiras ou falsas dependendo do que o que é desconhecido.

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

Multiple Select

Assinale a alternativa em que apresenta sentenças FECHADAS

• Cristiano Ronaldo é um excelente jogador de futebol

• Paola Carosella sabe cozinhar pratos deliciosos

• Ele sabe voar de asa delta

• Ela é uma engenheira muito competente.

Multiple Select

Assinale a alternativa em que apresenta sentenças ABERTAS

• Pelé um excelente jogador de futebol

• Érick Jacquin sabe cozinhar pratos deliciosos

• Ela sabe voar de asa delta

• Ele é um engenheiro muito competente.

sentença MATEMÁTICA FECHADA

​São sentenças matemáticas que podem ser identificadas como verdadeira ou falsa.

​

Exemplos:

0.x=0

0.x=5

3=7​

​

Subject | Subject

Entenda que em todos os casos é possível dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa

sentença MATEMÁTICA ABERTA

​São sentenças que podem ser verdadeiras ou falsas dependendo do que o que é desconhecido.

​

Exemplos:

x+1=5 é V ou F?

x²+3x=0​ é V ou F?

​

Subject | Subject

Entenda que em as afirmações são verdadeiras ou falsas dependendo dos valores que x assume...

​Note que:

x+1=5 é verdadeir​a se x=4

x²​+3x=0 é verdadeira se x=0 ou x=-3

Open Ended

O que é uma Equação?

o que é uma equação?

​Equação é uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade.

​

Exemplos:

x+1=5

x²+3x=0​

2.sin(x).cos(x)=1​

​

Subject | Subject

Esse tipo de equação podemos chamar de equações algébricas ou trigonométrica...

​Note que: x+1=5 é verdadeir​a se x=4

x²​+3x=0 é verdadeira se x=0 ou x=-3​

2.s​in(x).cos(x)=1 é verdadeira para valores de 'x' na forma x=pi/4+k.pi, k sendo um número inteiro.

y'=x²

y'=y

y''=-y​

dy/dx=-k.y, k​∊ℝ

f_xx(x,y)+f_yy(x,y)=0​

exemplos

Uma Equação Diferencial é uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade em que a incógnita está envolvida em DERIVADAS.

definição

E uma equação diferencial, o que é?

Some text here about the topic of discussion

São Equações Diferenciais em que a incógnita (a função desconhecida) tem duas ou pais variáveis.

edp

São Equações Diferenciais em que a incógnita (a função desconhecida) tem apenas uma variável.

edo

classificação de uma equação diferencial

Some text here about the topic of discussion

exemplo: edp

exemplo: edo

classificação de uma equação diferencial

Classificação de uma ED em função do número de variáveis da função incógnita

y'=-ky

dy/dt=t².y

​x'+3x=t+1

Exemplos

A maior derivada em que a função incógnita está envolvida é de 1ª Ordem

1ª Ordem

classificação de uma edo por ordem

Classificação de uma EDO em relação à ordem das derivadas.

y''=-y

d²y/dt²+dy/dt=t².y

​x'+3x''=t+1

Exemplos

A maior derivada em que a função incógnita está envolvida é de 2ª Ordem

2ª Ordem

classificação de uma edo por ordem

Classificação de uma EDO em relação à ordem das derivadas.

y'''=-y' (terceira ordem)

d²y/dt²+dy⁵/dt⁵=t².y

​x'+3x⁽⁴⁾=t+1

Exemplos

A maior derivada em que a função incógnita está envolvida é de Ordem "N"

nª Ordem

classificação de uma edo por ordem

Classificação de uma EDO em relação à ordem das derivadas.

Multiple Select

Assinale as EDOs de 1ª Ordem

• $$\frac{dx}{dt}+t^2.x=\cos\left(t\right)$$  

• $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^3+4.\frac{dx}{dt}=0$$  

• $$\frac{dx}{dt}+\cos\left(t\right)\frac{dx^2}{dt^2}=t^2$$  

• $$\frac{dx^3}{dt^3}+8.\frac{dx}{dt}=7t$$  

Multiple Select

Assinale a(s) EDO(s) de 2ª Ordem

• $$\frac{dx}{dt}+t^2.x=\cos\left(t\right)$$  

• $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+9.\frac{dx}{dt}=0$$  

• $$\frac{dx}{dt}+\cos\left(t\right)\frac{d^2x}{dt^2}=t^2$$  

• $$\frac{d^3x^{ }}{dt^3}+8.\frac{dx}{dt}=7t$$  

• L(y₁+y₂)=L(y₁)+L(y₂)

• L(k.y)=k.L(y)​

​

​com y, y₁ e y₂ ∈ A

Um operador L(.) [L:A→B] é dito ser LINEAR se possuir as seguintes propriedades:

definição linearidade

classificação de uma edo por linearidade

Acompanhe no quadro em sala de aula o detalhamento

Multiple Select

Assinale a(s) EDO(s) que SÃO LINEARES

• $$\frac{dx}{dt}+t^2.x=\cos\left(t\right)$$  

• $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+9.\frac{dx}{dt}=0$$  

• $$\frac{dx}{dt}+\cos\left(t\right)\frac{d^2x}{dt^2}=t^2$$  

• $$\frac{d^3x^{ }}{dt^3}+8.\frac{dx}{dt}=7t$$  

Multiple Select

Assinale a(s) EDO(s) que SÃO LINEARES

• $$y'+t^3.\ y^{\left(5\right)}=\cos\left(t\right)$$  

• $$\left(y'\right)^2+9.y'=0$$  

• $$y'+\cos\left(t\right)y''=t^2$$  

• $$y'''+8.y'.y=3t$$  

solução de uma EDO

Considere usar o MATHEMATICA via www.wolframcloud.com para agilizar os cálculos

Multiple Choice

Qual função a seguir é solução da EDO $$\frac{dy}{dt}=-y^2$$  

• $$y=\frac{1}{x}$$  

• $$y=\frac{x^3}{3}$$  

• $$y=-\frac{1}{x}$$  

• $$y=-\frac{1}{x^2}$$  

Multiple Choice

Qual função a seguir é solução da EDO $$\frac{dy}{dt}+20y=24$$  

• $$y=-\cos\left(t\right).\ln\left(\sec\left(t\right)\right)$$  

• $$y=e^{3t}\cos\left(2t\right)$$  

• $$y=e^{-\frac{t}{2}}$$  

• $$y=\frac{6}{5}-\frac{6}{5}e^{-20.t}$$  

curva solução

Considere usar o MATHEMATICA via www.wolframcloud.com para agilizar os cálculos

curva solução: domínio de definição

Considere usar o MATHEMATICA via www.wolframcloud.com para agilizar os cálculos

​Pessoal, uma curva solução precisa, naturalmente, de um intervalo de definição I que será, a menos de menção em contrário, o maior subconjunto da reta onde a função Φ, solução da EDO, está definida, de modo que esta função solução seja diferenciável, em particular CONTÍNUA.

curva solução: domínio de definição

Considere usar o MATHEMATICA via www.wolframcloud.com para agilizar os cálculos

​EXEMPLO:

Con​sidere a EDO y'=-y². Veja, procuramos uma função cuja derivada seja o oposto do quadrado da função. A função y=1/x satisfaz a esta condição, pois y'=-1/x²=-(1/x)²=-y². Ou seja, y=1/x é uma solução da EDO y'=-y². Mas... Podemos considerar a função y=1/x definida em toda a reta real, exceto x=0 onde a função não é contínua? 🙄

gráfico da função e gráfico solução

As funções na forma y=Φ(x) é chamada como SOLUÇÃO EXPLÍCITA.

​Aqui temos duas funções: f(x)=1/x, com x≠0, que NÃO É A FUNÇÃO SOLUÇÃO, pois a função solução precisa ser diferenciável no intervalo I considerado. Podemos considerar I=(0,∞) ou I=(-∞,0) para definir a função solução y=Φ(x).

SOLUÇÕES EXPLÍCITAS

Fique atento/a... Quando escrevemos x∈I, este I deve ser tal que a função que está definida aí seja diferenciável, ou seja, tem derivadas e esta função é contínua.

soluções IMPLÍCITAS

Considere usar o MATHEMATICA via www.wolframcloud.com para agilizar os cálculos

EDO de ordem 'n' genérica => F(x,y,y',y'', ..., y⁽ⁿ⁾)=0 (4)

fAMÍLIA implícitas: exemplos

É importante que saiba encontrar derivadas de funções explícitas

Finalizando...

vamos Fazer alguns exercícios???

​https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577804771/pageid/22

​

Faça o login na Minha Biblioteca antes de clicar no link acima. Com o estudado aqui você já pode resolver os exercícios de 1 até 20.​

Some text here about the topic of discussion