Parabola - problemi di MAX/min

​MATEMATICA nella REALTA'

Educazione Civica​

​

​

LA PARABOLA​

​

​Esempi di parabola nella realtà

1. traiettoria di un oggetto

​

​Fontana a Pamplona (Spagna)

​Esempi di parabola nella realtà

2. traiettoria di un oggetto

​

​Pallina da tennis che rimbalza (fotogrammi)

​Esempi di parabola nella realtà

2. costruzioni

​

​Golden Gate a San Francisco (U.S.A.)

​Problemi di MAX-min

​Trovare i punti x di una funzione (come una parabola) che restituiscono un valore y MASSIMO o minimo

​Equazione di una parabola:

​y = ax² + bx + c

​Concavità:

​VERSO L'ALTO

​​VERSO IL BASSO

Multiple Choice

La parabola $$y=ax^2+bx+c$$  ha la CONCAVITA' VERSO l'ALTO se e solo se:

• $$a>0$$  

• $$a=0$$  

• $$a<0$$  

• $$a\ge0$$  

​Concavità della parabola

Multiple Choice

Data la parabola $$y=ax^2+bx+c$$  se $$a>0$$  allora il VERTICE della parabola è un punto:

• di MASSIMO

• di minimo

• MEDIO

• che sta sull'asse x

​Concavità e vertice

​PROBLEMA di REALTA'

​Con un filo lungo 320 m, vuoi recintare un terreno RETTANGOLARE di AREA MASSIMA

​Perimetro = 320 m

Multiple Select

Se PERIMETRO = 320, allora:

• $$x+y=160$$  

• $$x+y=320$$  

• $$2x+y=320$$   

• $$2x+2y=320$$  

​Recinto rettangolare di perimetro=320

Multiple Choice

Area del rettangolo $$A_{ABCD}=?$$  

• $$x\left(160-x\right)$$  

• $$160-x^2$$  

• $$x\cdot160-x$$  

• $$x^2-160$$  

​Area del rettangolo di perimetro=320

​La formula dell'area è una parabola in funzione del lato x

Multiple Choice

L'equazione dell'area $$y=160\ x\ -\ x^2$$  è una parabola che ha la CONCAVITA':

​Funzione area rettangolo di perimetro=320

​E' una parabola di equazione:

​con parametri:

​​

​a = -1

b = 160

c = 0 ​

Multiple Choice

Il VERTICE della parabola $$y\ =\ 160\ x\ -\ x^2$$  è un punto di:

• MASSIMO

• minimo

​Funzione area rettangolo di perimetro=320

​Il VERTICE V (x_V ; y_V) ​è un PUNTO di MASSIMO

​Allora se troviamo quanto vale x_V troviamo la misura del lato di base del rettangolo di AREA MASSIMA!

Multiple Choice

y = - x² + 160x quindi a = -1; b = 160; c = 0

FORMULA per x_V del VERTICE: $$x_V=-\frac{b}{2a}=$$  

• 80

• 160

• -80

• -160

​Area massima quando x = 80 m...

​...quindi quando il rettangolo è un QUADRATO!

​Area = 80 ⋅ 80 = 6400 m²

​ALTRO PROBLEMA: oggetto lanciato verticalmente verso l'alto​

​L'altezza h è una funzione del tempo t: h = -5t² + v₀⋅t + h₀

se h₀ = 1 m e v₀ = 20 m/s:

h = -5⋅t² + 20⋅t + 1

​ALTRO PROBLEMA: oggetto lanciato verticalmente verso l'alto​

Abbiamo di nuovo una parabola:

usando y per l'altezza e x per il tempo otteniamo

​

​y = -5x² + 20x + 1

​Com'è la concavità della parabola?

Quindi il vertice della parabola è un punto di MASSIMO o minimo?