Inflection Point - Fungsi Eksponen

Titik Stasioner &

Titik Belok (Inflection point)

Fungsi Eksponen

Fill in the Blanks

Makna geometris nilai turunan ​ pertama di titik A pada fungsi f, merupakan ​ ... fungsi di titik A juga.

Drag and Drop

Gradien menjadi  penentu fungsi tersebut

a. sedang naik:gradiennya ​

Placeholder

,

b. sedang turun: gradiennya ​

Placeholder

,

c. stasioner: gradien ​

Placeholder

.

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

positif

minus

nol

imajiner

kompleks

Labeling

Mana saja yang merupakan titik stasioner fungsi yang kurvanya pada gambar?

Drag labels to their correct position on the image

(1,-2)

(-2,-2)

(2,2)

(0,0)

(-1,2)

Multiple Choice

Titik stasioner fungsi $$f\left(x\right)=x\left(x^2-3\right)$$ ada di $$x=...$$

• 1 saja

• -1 saja

• -1 dan 1 saja

• 0 saja

• -1, 0, dan 1

Multiple Choice

Untuk mencari titik ekstrim fungsi $$f\left(x\right)=e^x-x$$ , perlu dicari turunan pertamanya, yaitu $$f'\left(x\right)=...$$

• $$e^x$$

• $$e^x-x$$

• $$x\cdot e^{x-1}-1$$

• $$e^x-1$$

Multiple Choice

Titik stasioner fungsi $$f\left(x\right)=e^x-x$$ diperoleh saat $$f'\left(x\right)=0$$ , yaitu ada di $$x=...$$

• 1 saja

• -1 saja

• -1 dan 1 saja

• 0 saja

• -1, 0, dan 1

Multiple Choice

Titik maksimum fungsi $$f\left(x\right)=x\left(x^2-3\right)$$ ada di $$x=...$$

• 1 saja

• -1 saja

• -1 dan 1 saja

• 0 saja

• -1, 0, dan 1

Multiple Choice

Fungsi $$f\left(x\right)=e^x-x$$ memiliki titik ekstrim berupa ...

• 1 titik stasioner, berjenis maksimum

• 1 titik stasioner, berjenis minimum

• 2 titik stasioner, berjenis maksimum dan minimum

• 1 titik stasioner, tidak maksimum juga tidak minimum

• tidak ada titik stasioner

Multiple Choice

Turunan pertama fungsi $$f\left(x\right)=e^{-x^2}$$ adalah $$f'\left(x\right)=...$$

• $$2xe^{-x^2}$$

• $$2xe^{-x^2}$$

• $$e^{-2x}$$

• $$-2xe^{-x^2}$$

Multiple Choice

Fungsi $$f\left(x\right)=e^{-x^2}$$ memiliki titik ekstrim maksimum ....

• (1,1/e)

• (1,0)

• (0,1)

• (0,2)

• (0,e)

Multiple Choice

Turunan kedua fungsi $$f\left(x\right)=e^{-x^2}$$ adalah $$f''\left(x\right)=...$$

• $$2e^{-x^2}\left(1-2x^2\right)$$

• $$-2e^{-x^2}\left(1-2x^2\right)$$

• $$-2e^{-x^2}\left(1-x^2\right)$$

• $$-2e^{-x^2}\left(1+x^2\right)$$

Multiple Choice

Turunan pertama fungsi $$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ adalah $$f'\left(x\right)=...$$

• $$\frac{x}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-x^2}$$

• $$-\frac{x}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}$$

• $$\frac{1}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}$$

• $$\frac{1}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-2x}$$

Multiple Choice

Turunan kedua fungsi $$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ adalah $$f''\left(x\right)=...$$

• $$\frac{1}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}\left(x^2-1\right)$$

• $$-\frac{x}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}$$

• $$\frac{1}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-x^2\right)$$

• $$\frac{1}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1+x^2\right)$$

Titik belok (Inflection Point)

• Titik maksimum muncul ketika terjadi perubahan gradien fungsi dari plus ke minus.

• Sebaliknya, titik minimum muncul ketika terjadi perubahan gradien fungsi dari minus ke plus.

• Titik maksimum ada di bagian kurva yang menghadap ke bawah (cekung ke bawah)

• Titik minimum ada di bagian kurva yang menghadap ke atas (cekung ke atas)

• Bila pada kurva ada bagian yang cekung ke atas, lalu ada yang cekung ke bawah, berarti ada bagian juga tempat terjadinya perubahan kecekungan.

Labeling

Menurutmu, di manakah titik tempat terjadinya perubahan kecekungan pada kurva?

Drag labels to their correct position on the image

(1,-2)

(-1,2)

(0,0)

(2,2)

• Perubahan kecekungan pada kurva di samping terjadi di titik (0,0), yaitu dari cekung ke bawah, lalu cekung ke atas.

• Perubahan gradien menghasilkan titik maksimum atau minimum,

• Perubahan kecekungan akan menghasilkan titik belok (inflection point)

• Titik belok (Inflection Point) merupakan titik saat terjadi perubahan kecekungan.

• Salah satu kasus yang bisa menjadi contoh adalah kurva pandemi

• Pada kurva pandemi, titik belok terjadi saat tingkat kenaikan mereka yang terinfeksi mulai mulai mengalami pengurangan alias melemah.

• Inflection point sering dikenal sebagai tanda mulainya perubahan signifikan.

• Contoh kasus lain adalah kurva performa/pencapaian.

• Contoh kasus lain lagi adalah kurva perkembangan teknologi.

• Ketika sedang berkembang, ada titik di mana tingkat performanya sangat tinggi, tapi kemudian mulai stabil.

• Kurva-kurva seperti ini sering disebut kurva S, karena bentuknya seperti S.

Strategic inflection point.

Contoh lain

​Kembali ke kurva sederhana

Kita akan mencari tahu kapan dan bagaimana menentukan titik belok (inflection point) menggunakan turunan.

Labeling

Menurutmu, di manakah titik tempat terjadinya perubahan kecekungan pada kurva?

Drag labels to their correct position on the image

(2,2)

(0,0)

(-1,2)

(1,-2)

• Gradien fungsi dihitung menggunakan turunan pertama.

• Gradien sendiri, sebagai fungsi, juga mengalami tingkat perubahan.

• Tingkat perubahan fungsi gradien bisa dicari menggunakan turunan dari fungsi gradien, atau turunan kedua fungsi awal.

• Jadi, dengan mencari turunan kedua fungsi, kita bisa mengetahui tingkat perubahan fungsi gradien.

• Dari sini, kita bisa menentukan perubahan kecekungan.

• Perubahan kecekungan terjadi ketika turunan kedua bernilai nol.

• Sederhananya seperti ini: fungsi gradien (turunan pertama) memberi tahu kapan fungsi bernilai stasioner. Turunan kedua memberi tahu kapan fungsi berbelok.

Multiple Choice

Titik belok fungsi $$f\left(x\right)=x\left(x^2-3\right)$$ diperoleh saat $$f''\left(x\right)=0$$ yaitu ada di $$x=...$$

• 1 saja

• -1 saja

• -1 dan 1 saja

• 0 saja

• -1, 0, dan 1

Multiple Choice

Titik belok fungsi $$f\left(x\right)=e^x-x$$ diperoleh saat $$f''\left(x\right)=0$$ . Jadi, titik belok fungsi f ...

• ada saat x=-1

• ada saat x=1

• ada saat x=0

• tidak terdefinisi

Multiple Choice

Titik belok fungsi $$f\left(x\right)=e^{2x}-x^2$$ diperoleh saat $$f''\left(x\right)=0$$ . Jadi, titik belok fungsi f ...

• ada saat $$x=2\ln\left(0.5\right)$$

• ada saat $$x=\ln\left(0.5\right)$$

• ada saat $$x=\frac{\ln\left(0.5\right)}{2}$$

• tidak terdefinisi

Multiple Choice

Titik belok fungsi $$f\left(x\right)=e^{-2x}-x^2$$ diperoleh saat $$f''\left(x\right)=0$$ . Jadi, titik belok fungsi f ...

• ada saat $$x=2\ln\left(2\right)$$

• ada saat $$x=\frac{\ln\left(2\right)}{2}$$

• ada saat $$x=\ln\left(2\right)$$

• tidak terdefinisi

Multiple Choice

Titik belok (inflection point) fungsi $$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\ }}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ terjadi saat ...

• $$x=\pm1$$

• $$x=\pm2$$

• $$x=\pm3$$

• $$x=0$$