Paralelogram

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele. Un paralelogram, în forma sa cea mai generală, arată ca în figura alăturată.

Rețineți că vârfurile de săgeată sunt folosite pentru a indica ce pereche de laturi sunt paralele.

Proprietățile paralelogramelor

Un paralelogram este un patrulater cu două perechi de laturi paralele.

Proprietăți

Definiția fundamentală a unui paralelogram este următoarea:

Definiție

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.

În diagrama unui paralelogram general de mai sus, AB∣∣DC și AD∣∣BC. Urmează apoi mai multe proprietăți importante. În primul rând, este clar că unghiurile opuse trebuie să fie egale (m(∠A)=m(∠C) și m(∠B)=m(∠D)) deoarece fac unghiuri corespondente cu cele două mulțimi de linii paralele. Între timp, unghiurile consecutive sunt suplementare.

Proprietate 1. Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale.

Proprietate 2. Unghiurile consecutive ale unui paralelogram sunt suplementare.

Se poate arăta, de asemenea, că laturile opuse sunt egale (AB=DC și AD=BC): cele două triunghiuri formate prin desenarea într-o diagonală a paralelogramului (adică fie segmentul [AC] sau [BD]) trebuie să fie congruente prin ULU, astfel încât laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri trebuie să fie, de asemenea, congruente.

Proprietate 3. Lungimile laturilor opuse ale unui paralelogram sunt egale.

Acum că lungimile tuturor laturilor sunt cunoscute, este ușor să calculați perimetrul unui paralelogram.

Proprietate 4. Un paralelogram ale cărui laturi sunt a și b are perimetrul 2a+2b.

Între timp, aria paralelogramului poate fi găsită calculând suma ariei celor două triunghiuri formate.

Proprietate 5. Aria unui paralelogram cu lungimi laturilor a și b, cu unghiul ascuțit format între ele θ, este dată de absinθ.

Desenarea ambelor diagonale produce simultan patru triunghiuri congruente. Prin urmare, intersecția celor două diagonale trebuie să fie mijlocul fiecărei diagonale.

Proprietate 6. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc reciproc.

Un ultim rezultat rămâne ca un exercițiu pentru cititor.

Proprietate 7. Dreptele care conectează mijloacele laturilor opuse cu vârfurile opuse împar în trei părți egale diagonala.

Fill in the Blanks

Într-un paralelogram ABCD, lungimea lui AB este de două ori lungimea lui AD. E este mijlocul laturii AB.

Găsiți măsura ∠DEC în grade.

Soluție

AD = AE = EB = BC deoarece AB = 2AD, E este mijlocul laturii [AB] și laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale. Cu două triunghiuri isoscele, avem apoi 2a = 180-m(∠EAD) și 2b = 180-m(∠EBC)=180-(180-m(∠EAD)), deoarece ABCD este un paralelogram. Deoarece m(∠A)-b+m(∠B)-a +m(∠DEC)=180, avem 180-(a+b)+m(∠DEC) = 180. Dar a+b=90. Deci m(∠DEC) = 90.

Multiple Choice

În paralelogramul dat, punctele mediane a două laturi adiacente ale paralelogramului sunt unite și apoi conectate la vârful opus pentru a forma un triunghi.

Ce fracție din paralelogramul total este aria umbrită?

• $$-\frac{8}{3}$$

• $$\frac{3}{8}$$

• $$\frac{5}{3}$$

• $$\frac{8}{3}$$

Soluție

Fie AB=2a, DF=CF=a și AD=2b, BE=CE=b.

1-> Aria triunghiului ABE= 1/2 AB⋅BE sin(X)= 1/2 2a⋅b sin (X)

2-> Aria triunghiului FEC= 1/2 FC⋅CE sin(180-X)= 1/2 a⋅ b sin (X)

3-> Aria triunghiului ADF = 1/2 AD⋅DF sin(X) = 1/2 2b⋅a sin (X)

4->Aria paralelogramului = produsul laturilor * sinusul unghiului dintre ele = 4ab sin(X).

Suprafața regiunii umbrite = suprafața totală - suma ariilor triunghiurilor = (4ab-1/2(2ab+ab+2ab)) sin(X) =3ab/2 sin(X).

Aria regiunii umbrite/Aria paralelogramului: = (3/2)/4= 3/8.

Fill in the Blanks

Un paralelogram are laturi care măsoară 7 și 9. Diagonala sa mai scurtă are o lungimea 8.

Găsiți măsura diagonalei mai lungi.

Soluție

Aceasta implică legea paralelogramului. Una dintre cele mai ușoare modalități de a demonstra această lege este prin următoarele: Fie a,b laturile paralelogramului și p,q diagonalele. Prin Legea cosinusului, avem:

p²=a²+b²−2abcos(θ)
q²=a²+b²−2abcos(π−θ)

Adunarea lor împreună ne aduce la legea paralelogramului

p²+q²=2(a²+b²)

Pentru a=7,b=9,p=8, constatăm că q=14

Fill in the Blanks

Un punct X este desenat pe diagonala unui paralelogram ABCD. Se construiesc dreptele paralele cu laturile prin X și se formează patrulaterele P și Q, așa cum se arată în diagramă.

Având în vedere că Q are baza 12 și înălțimea 4 și că aria lui ABCD este 200, găsiți suma tuturor valorilor posibile ale bazei lui P.

Soluție

Luând în considerare triunghiurile congruente, vedem că aria lui P este egală cu aria lui Q, deci P are aria 48. Apoi putem forma ecuațiile (unde b și ℎ sunt baza și, respectiv, înălțimea lui P):

bℎ=48

(b+12)(h+4)=200

Atunci:

12h+4b=104

144+b²=26b

(b−18)(b−8)=0

b=18, 8.

Deci răspunsul este 26.

Paralelograme speciale

Cazurile speciale frecvent întâlnite de paralelograme includ:

• dreptunghiuri, ale căror unghiuri sunt egale;

• romburi, ale căror laturi sunt egale;

• pătrate, ale căror laturi și unghiuri sunt egale.

Deoarece unghiurile opuse ale unui patrulater ciclic sunt suplementare, toate paralelogramele ciclice sunt dreptunghiuri. În plus, singurele dreptunghiuri cu un cerc sunt pătratele, astfel încât singurul paralelogram biciclic este un pătrat.

Bibliografie

Paralelogram. Brilliant.org. Adus 10:29, 27 iunie 2023, de la https://brilliant.org/wiki/parallelogram/