SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số

2. Dạng 2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số đơn điệu

trên miền xác định của nó

3. Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu

trên K

4. Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm hợp

5. Dạng 5. Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

1. Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số

PHƯƠNG PHÁP:
Các bước xác định tính đơn điệu của hàm số 𝐲 = 𝒇 𝒙

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số

Bước 2: Tính 𝒚′= 𝒇′ 𝒙 ,

Giải phương trình 𝒚′= 𝟎 tìm các nghiệm 𝒙𝒊 ( nếu có) và tìm

các điểm tại đó 𝒚′không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên. Từ dấu của 𝒚′ ta suy ra chiều biến thiên
của hàm số
❖ Khoảng 𝒚′mang dấu – ta kết luận hàm số nghịch biến.
❖ Khoảng 𝒚′mang dấu + ta kết luận hàm số đồng biến.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

𝒚 = 𝒙𝟑− 𝟑𝒙𝟐− 𝟐

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 𝒚 = −𝒙𝟒+ 𝟐𝒙𝟐− 𝟏

Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 𝒚 =

𝒙+𝟏
𝒙−𝟏

Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 𝒚 =

𝟐𝒙 − 𝒙𝟐

Bài tập 1. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau

a) 𝒚 = −𝒙𝟑+ 𝟑𝒙 + 𝟐
g) 𝒚 = 𝒙𝟒+ 𝒙𝟐+3

b) 𝒚 = 𝒙𝟑+ 𝟔𝒙𝟐+ 𝟒
h) 𝒚 = −𝟐𝒙𝟒− 𝟒𝒙𝟐+3

c) 𝒚 = 𝒙𝟑+ 𝒙𝟐+ 𝟓𝒙 − 𝟕
i) 𝒚 =

𝒙−𝟐
𝒙+𝟏

d) 𝒚 = −𝒙𝟑+ 𝟐𝒙𝟐− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏
j) 𝒚 =

𝟑−𝟐𝒙
𝒙+𝟒

e) 𝒚 = 𝒙𝟒− 𝟐𝒙𝟐− 𝟓
k) 𝒚 =

𝟑𝒙+𝟒
𝟐−𝒙

f) 𝒚 = −𝒙𝟒+ 𝟒𝒙𝟐+ 𝟑

BÀI TẬP

2. Dạng 2. Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên miền xác định của nó

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định D = ℝ

Bước 2: Tính 𝒚′= 𝟑𝒂𝒙𝟐+ 𝟐𝒃𝒙 +c,

Dạng 2.1. Tìm m để 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄𝒙 + 𝒅(𝒂 ≠ 𝟎) đơn điệu trên TXĐ

Bước 3: Sử dụng điều kiện để hàm số đơn điệu, chẳng hạn

❖ Để hàm số đồng biến trên ℝ thì 𝒚′≥ 𝟎, ∀𝒙 ⇔ ቊ

𝒂𝒚′ > 𝟎
∆𝒚′≤ 𝟎 ⇒ 𝒎?

❖ Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì 𝒚′≤ 𝟎, ∀𝒙 ⇔ ቊ

𝒂𝒚′ < 𝟎
∆𝒚′≤ 𝟎⇒ 𝒎?

Chú ý

❖ Dấu của tam thức bậc hai 𝐟 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒂 ≠ 𝟎

•

𝐟 𝒙 ≥ 𝟎, ∀𝒙 ∈ ℝ ⇔ ቊ𝒂 > 𝟎

∆ ≤ 𝟎

•

𝐟 𝒙 ≤ 𝟎, ∀𝒙 ∈ ℝ ⇔ ቊ𝒂 < 𝟎

∆ ≤ 𝟎

❖ Nếu hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄𝒙 + 𝒅 có 𝒂 chứa tham số thì khi

giải toán cần chia ra 2 trường hợp là 𝒂 = 𝟎 để xét tính đúng sai

( nhận hoặc loại m) và trường hợp 𝒂 ≠ 𝟎( Sử dụng dấu của tham
thức bậc hai).

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

𝒚 = −𝒙𝟑− 𝒎 + 𝟏 𝒙𝟐+ 𝒎 + 𝟏 𝒙 + 𝒎

luôn nghịch biến trên ℝ.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

𝒚 = 𝒎𝟐− 𝟏𝒙𝟑

𝟑 + 𝒎 + 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟑𝒎𝒙 + 𝟓

luôn đồng biến trên ℝ.

Bài tập 2.

a) Hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑+ 𝒎 + 𝟏 𝒙𝟐+ 𝒎𝟐− 𝟒 𝒙 + 𝟗 luôn đồng biến trên ℝ.

b) Hàm số 𝒚 = 𝒎𝒙𝟑− 𝒎𝒙𝟐+ 𝟐𝒎 + 𝟏 𝒙 − 𝒎 − 𝟐 luôn tăng trên ℝ.

c) Hàm số 𝒚 =

𝒎+𝟐

𝟑𝒙𝟑 − 𝒎 + 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒎 − 𝟖 𝒙 + 𝒎𝟐 − 𝟏 nghịch biến

trên ℝ.

d) Hàm số 𝒚 = −

𝟏
𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒎 − 𝟐 𝒙 +2 luôn đồng biến trên ℝ.

Tìm giá trị của tham số m để

e) Hàm số 𝒚 =

𝒙𝟑

𝟑− 𝒎𝒙𝟐 + 𝟒 − 𝟑𝒎 𝒙 − 𝒎𝟐 + 𝟏 luôn đồng biến trên ℝ.

f) Hàm số 𝒚 =

𝒎−𝟏

𝟑𝒙𝟑 + 𝒎𝒙𝟐 + 𝟑𝒎 − 𝟐 𝒙 luôn đồng biến trên ℝ.

BÀI TẬP

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định D = ℝ\ −

𝒄
𝒅

Bước 2: Tính 𝒚′=

𝒂𝒅−𝒃𝒄
𝒄𝒙+𝒅𝟐

Dạng 2.2. Tìm m để 𝒚 =

𝒂𝒙+𝒃
𝒄𝒙+𝒅(𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 ≠ 𝟎) đơn điệu trên từng

khoảng mà nó xác định

Bước 3:
❖ Để hàm số đồng biến trên từng khoảng mà nó xác định thì

𝒚′> 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑫 ⇔ 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 > 𝟎

❖ Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng mà nó xác định thì

𝒚′< 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑫 ⇔ 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 < 𝟎

Chú ý: Trong điều kiện của 𝒚′không có dấu =

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 𝒚 =

𝒎𝒙+𝟏
𝒙+𝒎luôn đồng

biến trên từng khoảng mà nó xác định.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 𝒚 =

𝒎𝒙−𝒎𝟐+𝟑𝒎

𝒙+𝟏
luôn

nghịch biến trên từng khoảng mà nó xác định.

BÀI TẬP

Bài tập 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 𝒚 =

𝒎𝒙+𝟒
𝒙+𝒎

a) luôn đồng biến trên từng khoảng mà nó xác định.

b) luôn nghịch biến trên từng khoảng mà nó xác định.

Bài tập 4. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 𝒚 =

𝒎𝒙−𝟐
𝒙+𝒎−𝟑

a) luôn đồng biến trên từng khoảng mà nó xác định.

b) luôn nghịch biến trên từng khoảng mà nó xác định.

3. Dạng 3. Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên K

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định D = ℝ
Bước 2: Tính 𝒚′= 𝟑𝒂𝒙𝟐+ 𝟐𝒃𝒙 +c,

Dạng 3.1. Tìm m để 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄𝒙 + 𝒅(𝒂 ≠ 𝟎) đơn điệu trên K

Bước 3: Dùng BBT biện luận theo m

❖ Để hàm số đồng biến trên 𝐊 thì 𝒚′≥ 𝟎, ∗ , ∀𝒙 ∈ 𝑲

Biến đổi (*) về dạng 𝐠 𝒙 ≤ 𝒉 𝒎

Lập bảng biến thiên cho g(x) trên K rồi dựa vào BBT để kết

luận m thỏa mãn

❖ Hàm số nghịch biến trên 𝐊 thực hiện tương tự

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

𝒚 =

𝒙𝟑

𝟑+ 𝒎 − 𝟏 𝒙𝟐 + 𝒎 − 𝟑 𝒙 − 𝟒

luôn đồng biến trên khoảng 𝟎; 𝟑 .

Ví dụ 2. Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑− 𝒎𝒙𝟐+ 𝒙 − 𝟐. Tìm giá trị của tham số

m sao cho hàm số

a) luôn đồng biến trên ℝ.

b) luôn nghịch biến trên khoảng 𝟏; 𝟐 .

3. Dạng 3. Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên K

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định D = ℝ\ −

𝒅
𝒄

Bước 2: Tính 𝒚′=

𝒂𝒅−𝒃𝒄
𝒄𝒙+𝒅𝟐

Dạng 3.2. Tìm m để 𝒚 =

𝒂𝒙+𝒃
𝒄𝒙+𝒅(𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 ≠ 𝟎) đơn điệu trên K

Bước 3: Dùng BBT biện luận theo m

❖ Để hàm số đồng biến trên 𝐊 thì
൝
−

𝒅
𝒄∉ 𝑲

𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 > 𝟎

❖ Để hàm số nghịch biến trên 𝐊 thì൝
−

𝒅
𝒄∉ 𝑲

𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 < 𝟎

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 𝒚 =

𝒎𝒙+𝟏
𝒙+𝒎

luôn đồng biến trên khoảng 𝟏; 𝟓 .

Ví dụ 2. Cho hàm số 𝒚 =

𝒙+𝟑
𝒙−𝒎. Tìm giá trị của tham số m sao cho

hàm số

a) luôn tăng trên 𝟏; +∞ .

b) luôn nghịch biến trên khoảng −𝟑; 𝟐 .

4. Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm hợp

Công thức sử dụng :

Cho hàm số 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒖 𝒙
. Khi đó: 𝒈′𝒙 = 𝒇′ 𝒖 𝒙

𝒖′ 𝒙 hoặc

viết gọn là 𝒈′𝒙 = 𝒇′𝒖. 𝒖′𝒙

❖ Loại 1: Cho đồ thị 𝐲 = 𝒇′𝒙 . Hỏi tính đơn điệu của hàm số 𝐲 = 𝐟 𝒙 .

▪

Bước 1. Tìm nghiệm của 𝒇′𝒙 = 𝟎 ( Hoành độ giao điểm của đồ thị

𝐲 = 𝒇′𝒙 với trục hoành);
▪

Bước 2. Xét dấu 𝒇′𝒙 ( phần trên Ox mang dấu +, phần dưới Ox
mang dấu -);

▪

Bước 3. Lập bảng biến thiên của 𝐲 = 𝐟 𝒙 , suy ra kết quả tương ứng

4. Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm hợp

❖ Loại 2 : Cho đồ thị 𝐲 = 𝒇′𝒙 . Hỏi tính đơn điệu của hàm hợp

𝐲 = 𝐟 𝒖 .

▪

Bước 1: Tính 𝐲′= 𝐮′𝒇′𝒖 .

▪

Giải phương trình 𝐲′= 𝟎 ⇔ ቈ𝒖′ = 𝟎

𝒇′𝒖 = 𝟎

( Nhìn đồ thị, suy ra nghiệm 𝒇′𝒖 = 𝟎)

▪

Lập bảng biến thiên của 𝐲 = 𝐟 𝒖 , suy ra kết quả tương ứng

4. Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm hợp

❖ Loại 3: cho đồ thị 𝐲 = 𝒇′𝒙 . Hỏi tính đơn điệu của hàm 𝐲 =

𝒈 𝒙 trong đó 𝒈 𝒙 có liên hệ với 𝐟 𝒙

▪

Bước 1: Tính 𝐲′= 𝐟′ 𝒙 ;

▪

Bước 2: Giải phương trình 𝐟′𝒙 = 𝟎( thường dẫn đến việc giải
phương trình liên quan đến 𝐟′ 𝒙 . Loại này ta nhìn hình để suy
ra nghiệm);

▪

Bước 3: Lập bảng biến thiên của 𝒚 = 𝒈 𝒙 , suy ra kết quả tương
ứng .

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định và liên tục trên ℝ, có đạo

hàm 𝒇′ 𝒙 thỏa mãn