Manipularea seriei Taylor

O serie Taylor este un polinom de grad infinit care poate fi folosit pentru a reprezenta tot felul de funcții, în special funcții care nu sunt polinoame. Poate fi asamblat în multe moduri creative pentru a ne ajuta să rezolvăm problemele prin operațiile normale de adunare, înmulțire și compunere a funcțiilor. De asemenea, putem folosi reguli de derivare și integrare pentru a dezvolta serii noi și interesante.

Multiple Choice

Cum arată f(x)=e^x+cosx sub formă de serie de puteri?

•   $$\sum_{n=0}^{\infty}x^n\left(\frac{1}{n!}+\frac{\left(-1\right)^nx^n}{\left(2n\right)!}\right)$$  

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$  ​

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\cdot\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}$$  ​

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}$$

Soluție

Vedem că adunarea seriilor de puteri a două funcții este la fel de ușoară ca adunarea coeficienților puterilor lor corespunzătoare pentru a crea o nouă serie de puteri.

Cu toate acestea, vom vedea în exemplul următor că înmulțirea a două serii de puteri va necesita puțin mai mult efort ...

Multiple Choice

Cum arată f(x)=e^xcosx sub formă de serie de puteri?

• $$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^nx^{2n}}{\left(2n\right)!}\right)$$  

• $$\sum_{n=0}^{\infty}x^n\left(\frac{1}{n!}+\frac{\left(-1\right)^nx^n}{\left(2n\right)!}\right)$$  

• 
  $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$  ​

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\cdot\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}$$  

Soluție

Pe baza înmulțirii făcute mai sus, putem vedea că extinderea seriei de puteri începe după cum urmează:

e^xcos x=1+x+0x².

Care ar fi următorul termen dacă am dori să adunăm toți termenii care conțin x³?

Exemplu

Multiple Choice

Determinați seria Taylor centrată în x = 0 pentru funcția

f(x)=2x³sin 4x⁵.

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{2^{4n+3}x^{10n+5}}{\left(2n+1\right)!}$$

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{4^{2n+2}x^{10n+5}}{\left(2n+1\right)!}$$

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{2^{4n+3}x^{10n+8}}{\left(2n+1\right)!}$$

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{4^{2n+2}x^{10n+8}}{\left(2n+1\right)!}$$

Soluție

Exemplu

Exemplu

Open Ended

Demonstrați că

$$\frac{1}{2!-1!}-\frac{1}{4!-3!}+\frac{1}{6!-5!}-\frac{1}{8!-7!}+...=\int_0^1\frac{\sin x}{x}dx$$ .

Soluție

Multiple Choice

$$\int_0^1\sin x^2dx$$

Care din seriile următoare poate fi exprimată ca valoare a integralei de mai sus?

Sugestie: Luați seria Maclaurin.

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n}{\left(4n+3\right)\left(2n+1\right)!}$$

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n}{\left(2n+1\right)!}$$

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n}{\left(4n+2\right)\left(2n+1\right)!}$$

• $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n}{\left(4n+1\right)\left(2n+1\right)!}$$

Soluție

Bibliografie

Taylor Series Manipulation. Brilliant.org. Retrieved 15:43, July 22, 2023, from https://brilliant.org/wiki/taylor-series-manipulation/