XI. PROGRAM LINIER

PROGRAM LINIER

​BY ACHMAD MUJAHID

Tujuan

1. Siswa dapat menyelesaikan masalah program linier dua variabel dan metode penyelesaiannya pada masalah kontekstua

2. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkairan dengan program linier dua variabel

PERSAMAAN LINIER

Bentuk umum

y = mx + c
keterangan
y,x = variabel
m = gradien / kemiringan
c = konstanta

Pertidaksamaan Linier

Bentuk umum
ax + by < c

Pertidaksamaan linear tidak menggunakan tanda sama dengan (=) dalam persamaannya. Akan tetapi, dalam persamaan ini menggunakan tanda  kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari atau sama dengan (≤), dan lebih dari atau sama dengan (≥).

Program Linier ?

Metode yang digunakan untuk mendapatkan hasil optimal dari suatu model matematika yang disusun dari hubungan linear. Program linear merupakan kasus khusus dalam pemrograman matematika alias optimisasi matematika.

Program linear terdiri dari dua bagian:
1. fungsi kendala / model matematika
2. fungsi objektif atau fungsi tujuan
Fungsi objektif merupakan fungsi yang nilainya akan dioptimalkan, bisa bernilai maksimum atau bisa juga bernilai minimum, tergantung dari kasusnya.

Contoh 1

Seorang penjual buah punya modal Rp1 juta untuk membeli apel dan pisang. Harga beli tiap kg apel adalah Rp4 ribu dan pisang Rp1,6 ribu. Maksimal, pedagang tersebut hanya bisa menampung 400 kg buah. Berapa jumlah apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan bisa maksimal?

SOLUSI

Misal,

apel = x = 4.000

pisang = y = 1.600

Kapasitas tempat =
x + y ≤ 400 = 2x + 2y ≤ 800

Modal =
4000x + 1600 y ≤ 1.000.000 5x + 2y ≤ 1.250

x > 0

y > 0

Lakukan metode eliminasi pada dua persamaan yang sudah diketahui:

5x + 2y ≤ 1250

2x + 2y ≤ 800

3x ≤ 450

x ≤ 150

​Dari penyelesaian tersebut, diketahui bahwa untuk keuntungan maksimal, pedagang buah tersebut harus membeli apel sebanyak 150kg dan pisang 250kg

Setelah diketahui x, bisa dicari nilai y:

2x + 2y ≤ 800

300 + 2y ≤ 800

2y ≤ 500

y ≤ 250

Tugas Anda mencari objek

Jika harga jual x = Rp.
y = Rp.
Berapa keuntungan penjual buah jika buah habis terjual.

​Solusi

Contoh 2

Penjahit pekaian punya kain sutera 16m, kain katun 15m, dan kain wool 11, dan akan membuat dua model pakaian. Model A butuh 2m sutera, 1m wool, dan 1m katun, sedangkan model B perlu 1m sutera, 2m wool, dan 3m katun.

Keuntungan dari model A adalah Rp3 ribu per potong, sedangkan model B Rp5 ribu per pakaian. Berapa pakaian masing-masing model yang harus dibuat agar keuntungan maksimal?

Solusi

Untuk mencari jawaban, lebih dulu perlu menjadikan permasalahan ini menjadi model matematika. Dengan ini merupakan optimasi keuntungan, bisa ditulis:

f(x, y) = 3000x + 5000y 

Dari penggambaran garis-garis ini, diperoleh empat titik ekstrim, yaitu (8, 0), (7, 2), (3, 4), dan (0,5).

Dari sini, bisa dilakukan uji coba kepada fungsi objektifnya untuk diketahui mana yang menghasilkan keuntungan maksimal:

Sedangkan kendala dalam masalah ini, misal model A adalah x dan model B adalah y, dengan memperhatikan jumlah kain yang tersedia:

Sutera: 2x + y ≤ 16

Wool: x + 2y ≤ 11

Katun: x + 3y ≤ 15

f(A) = f(8, 0) = 3.000(8) + 5.000(0) = 24.000

f(B) = f(7, 2) = 3.000(7) + 5.000(2) = 31.000

f(C) = f(3, 4) = 3.000(3) + 5.000(4) = 29.000

f(D) = f(0, 5) = 3.000(0) + 5.000(5) = 25.000

Jadi, dari penyelesaian tersebut diketahui keuntungan maksimal adalah 31 ribu, didapat dari titik (7, 2). Artinya, keuntungan maksimum akan didapat dengan membuat 7 baju model A dan 2 baju model B.

Contoh 3

Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya?

Solusi

​	​KELAS A	​KELAS B
​BAGASI	​60	20​
​PENUMPANG	​x	y​

Multiple Choice

Nilai minimum untuk f(x,y)= 5x + 10y,  yang memenuhi pertidaksamaan x + 2y  $$\le$$   8 ; 0  $$\le$$   x  $$\le$$   2 ; 1 $$\le$$   y  $$\le$$   4 adalah......

• 0

• 5

• 8

• 10

• 20

Multiple Choice

Suatu tempat parkir luasnya 200 m² . untuk memarkir sebuah mobil rata-rata dperlukan tempat seluas10 m² dan untuk bus rata-rata diperlukan 20 m². tempat parkir itu tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. jika di tempat parkir tersebut akan diparkir sebanyak x mobil dan y bus, nilai x dan y harus memenuhi syarat-syarat......

• $$x+y\le12;\ x+2y\le20;\ x\ge0;\ y\le0$$

• $$x+y\le12;\ x+2y\le20;\ x\ge0;\ y\ge0$$

• $$x+y\le12;\ x+2y\le20;\ x\le0;\ y\le0$$

• $$x+y\le12;\ x+2y\ge20;\ x\ge0;\ y\ge0$$

• $$x+y\le12;\ x+2y\ge20;\ x\ge0;\ y\le0$$

Multiple Choice

Sebuah toko roti menjual dua jenis kue, kue kukus dan kue lapis. Banyak kue kukus yang terjual setiap hari tidak lebih dari 50 potong. Banyak kue lapis yang terjual setiap hari tidak kurang dari 30 potong. Kue kukus dan kue lapis yang dijual setiap hari 100 potong. Harga kue kukus Rp 1.500,00 per potong, dan harga kue lapis Rp 1.200,00 per potong. Pendapatan minimum toko roti adalah . . .

• Rp 36.000,00

• Rp 75.000,00

• Rp 120.000,00

• Rp 135.000,00

Multiple Choice

Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?

• 6 jenis I dan 6 jenis II

• 9 jenis I dan 3 jenis II

• 3 jenis I dan 9 jenis II

• 6 jenis I

• 12 jenis II

Multiple Choice

Sebuah lapangan parkir dapat memuat sebanyak-banyaknya 125 kendaraan. Setiap parkir untuk 3 sedan, hanya dapat dipakai parkir 1 bus saja. Jika banyaknya sedan adalah x dan banyaknya bus adalah y, maka model matematikanya adalah...

• $$x\ge0;\ y\ge0;\ x+3y\le125$$

• $$x\ge0;\ y\ge0;\ 3x+y\le125$$

• $$x\ge0;\ y\ge0;\ 3x-y\le125$$

• $$x\ge0;\ y\ge0;\ 3x+y\ge125$$

• $$x\ge0;\ y\ge0;\ y-3x\le125$$

TERIMAKASIH

​SEMOGA BERMANFAAT