presentasi limit Trigonometri

Limit Fungsi Aljabar dan
Fungsi Trigonometri

Sumber: www.shutterstock.com

Bab

1

Limit di Keberhinggaan Fungsi Trigonometri
1.1

Sebelum membahas tentang limit di keberhinggaan fungsi trigonometri, ada baiknya siswa
memahami kembali teorema-teorema limit di keberhinggaan berikut ini.

Teorema-Teorema Limit
Misalkan n merupakan bilangan positif, k merupakan konstanta, f dan g fungsi-fungsi
yang mempunyai limit di a, maka:

1.1.1 Pengertian Limit di Keberhinggaan Fungsi Trigonometri

Pandang f: x → f(x), f(x) adalah fungsi trigonometri. Limit fungsi trigonometri f(x) untuk x
mendekati suatu sudut tertentu a adalah nilai fungsi f(x) untuk x mendekati a baik dari kiri
maupun dari kanan, dan ditulis sebagai berikut.

dengan
L = nilai f(x) untuk x mendekati a
a = besar sudut dalam radian

Dalam penentuan nilai limit di keberhinggaan fungsi trigonometri, kita harus melakukan tes limit
dahulu. Jika hasilnya tidak menemui bentuk

0
0, berarti tes limit berhasil. Artinya, hasil tersebut

merupakan jawaban dari limit keberhinggaan fungsi trigonometri tersebut, seperti terlihat pada
contoh berikut.

Hitunglah nilai dari:
a.

lim
𝑥→ 𝜋sin 𝑥 − cos 𝑥

c. lim

𝑥→0

sin 𝑥−cos 𝑥

sin 𝑥

b.

lim
𝑥→𝜋

4

sin 𝑥+cos 𝑥

sin 𝑥
d. lim

𝑥→0

sin 𝑥

cos 𝑥+sin 𝑥

Contoh: Mencermati penentuan nilai limit fungsi trigonometri

Pembahasan:

1.1.2 Menurunkan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Perhatikan di samping. Titik P merupakan pusat lingkaran yang berjari-jari PR
= PT = r, ∠TPR adalah lancip dan sama dengan x (dalam radian). Garis
singgung di T memotong garis PR di S. Q adalah proyeksi R pada garis PT.
Berdasarkan gambar, dapat ditentukan:

Secara umum, rumus-rumus limit fungsi trigonometri dapat dituliskan sebagai berikut.

A. Menentukan nilai limit fungsi trigonometri yang mengandung sinus dan tangen

Dalam pasal ini, kita akan mencari nilai limit fungsi trigonometri yang hanya mengandung sinus
dan tangen.

Tentukan nilai setiap limit fungsi berikut.

a.

lim
𝑥→0

tan 5𝑥

3𝑥
b. lim

𝑥→0

tan35𝑥

10𝑥2sin1

2𝑥
c. lim

𝑥→𝜋

2

sin2𝑛−𝜋

2

𝑛−𝜋

2
3𝑛

Contoh: Mencermati penentuan limit fungsi trigonometri yang mengandung sinus dan tangen

Pembahasan:

Anda dapat menguji

pemahaman tentang Limit di

Keberhinggaan Fungsi Trigonometri
yang Mengandung Sinus dan Tangen

dengan mengerjakan soal LKS 1

(halaman 12–14).

Dalam menentukan nilai limit fungsi trigonometri yang mengandung kosinus, sinus, dan tangen, jika tes
limit menunjukkan nilai

0
0, kita diharuskan menggunakan rumus-rumus trigonometri agar memunculkan

sinus dan tangen. Lalu, menggunakan aturan limit yang hanya mengandung sinus dan tangen saja.
Selain menggunakan rumus-rumus trigonometri, kita juga dapat menggunakan konsep turunan fungsi
trigonometri. Penentuan nilai limit di keberhinggaan fungsi trigonometri yang melibatkan konsep
turunan dikenal dengan dalil L'Hôpital.

B. Menentukan nilai limit fungsi trigonometri yang mengandung kosinus, sinus, dan tangen

Dalil L'Hôpital

Hitunglah nilai dari lim

𝑥→0

1−cos 2𝑥

1−cos 4𝑥.

Contoh: Mencermati penentuan nilai limit fungsi trigonometri model B

Pembahasan:

Contoh: Memahami penentuan nilai limit di keberhinggaan fungsi trigonometri

Hitunglah setiap limit berikut.
a.

lim
𝑥→0

1−cos 𝑎𝑥

𝑏𝑥2
b. lim

𝑥→0

cos 𝑥−1
tan22𝑥
c. lim

𝑥→0

tan 𝑥 − sin 𝑥

𝑥 cos 𝑥

Pembahasan:

Anda dapat menguji

pemahaman Limit di Keberhinggaan

Fungsi Trigonometri yang Mengandung

Kosinus, Sinus, dan Tangen dengan

mengerjakan soal LKS 2

(halaman 21–22).

Limit di Ketakberhinggaan Fungsi Aljabar dan
Fungsi Trigonometri
1.2

Limit suatu fungsi adalah nilai (bilangan) fungsi yang mendekati sebuah bilangan sebagaimana x
mendekati bilangan yang ditetapkan, misalkan a (ditulis x→a). Secara matematis, dapat dituliskan
sebagai berikut.

1.2.1 Prinsip Dasar

Sekarang, kita akan menghitung nilai limit berikut:

lim
𝑥→∞

1
𝑥

dengan x → ∞ (menuju ketakberhinggaan).

Perhatikan tabel berikut.

Hal ini berarti nilai x dan f(x) dihubungkan akan berupa grafik fungsi pecahan
dengan asimtot x = 3 seperti gambar berikut.

Contoh: Mencermati perhitungan limit di ketakberhinggaan fungsi aljabar

Hitunglah nilai dari lim

𝑥→∞6 +

1
𝑥.

Pembahasan:

Contoh: Memahami perhitungan limit di ketakberhinggaan fungsi aljabar secara aturan limit

Hitunglah nilai dari lim

𝑥→∞−1 +

1

𝑥+

1

𝑥2 .

Pembahasan:

Bentuk umum limit di ketakberhinggaan fungsi rasional sebagai berikut.

1.2.2 Penentuan Limit di Ketakberhinggaan Fungsi Rasional

Penentuan nilai bentuk limit di atas dapat dihitung dengan cara pembilang dan penyebut dibagi
pangkat tertinggi dari penyebut jika pembilang dan penyebut berbentuk polinomial. Akan tetapi,
jika pembilang dan penyebut berbentuk fungsi trigonometri, dilakukan dengan mengubah bentuk
fungsi trigonometri tersebut menjadi bentuk sinus atau tangen.

Contoh: Memahami penentuan nilai limit fungsi rasional (aljabar)

Hitunglah setiap limit berikut.

a.

lim
𝑥→∞

3𝑥2−4

2𝑥2+𝑥+1
b. lim

𝑥→∞

4𝑥5+6𝑥2−7

𝑥5+7𝑥3+3

Pembahasan:

Dari tersebut, dapat dituliskan sebagai berikut.

Contoh: Memahirkan perhitungan nilai limit fungsi rasional (aljabar)

Hitunglah setiap limit berikut.

a.

lim
𝑥→∞

2−3𝑥
𝑥+4

3

c. lim

𝑥→∞

𝑥2−1+ 4𝑥2+5

9𝑥2−5+ 4𝑥2−7

b.

lim
𝑥→∞

2𝑥−1

𝑥2+𝑥
d. lim

𝑥→∞

𝑥2−𝑥−6

𝑥5+𝑥4−𝑥3−4𝑥2+6

Pembahasan:

Anda dapat menguji

pemahaman Prinsip Dasar dan

Penentuan Limit di

Ketakberhinggaan Fungsi Rasional

dengan mengerjakan soal LKS 3

(halaman 29–30).

Untuk menentukan nilai limit berbentuk lim

𝑥→∞[𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥)] dengan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) berbentuk

fungsi irasional (di bawah tanda akar), lakukan algoritma berikut.

1.2.3 Menentukan Nilai Limit di Ketakberhinggaan Fungsi Irasional (Aljabar)

(i) Tes limit, jika hasilnya ∞ – ∞, lakukan langkah (ii).

(ii) Lakukan proses perasionalan, yaitu dikalikan dengan sekawan

𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥)sehingga terjadi bentuk lim

𝑥→∞

𝑙(𝑥)
𝑚(𝑥), kemudian lakukan prosedur

seperti pasal 1.2.2 (untuk fungsi aljabar).

Contoh: Mencermati penentuan limit fungsi irasional (aljabar)

Hitunglah setiap limit berikut.
a.

lim
𝑥→∞
3𝑥 − 3 −

4𝑥 − 1

c. lim

𝑥→∞
5𝑥 + 2 −

3𝑥 − 1

b.

lim
𝑥→∞
9𝑥 − 2 −

9𝑥 + 1

Pembahasan:

Kesimpulan dari contoh di atas adalah sebagai berikut.

Sekarang, kita akan menentukan nilai limit berbentuk:

lim
𝑥→∞
𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 −

𝑝𝑥2+ 𝑞𝑥 + 𝑟

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh: Mencermati perhitungan limit fungsi irasional berbentuk kuadrat

Hitunglah setiap limit berikut.

a.

lim
𝑥→∞
2𝑥2− 6𝑥 + 5 −

4𝑥2− 3𝑥 + 4

b.

lim
𝑥→∞
4𝑥2− 5𝑥 + 1 −

4𝑥2− 2𝑥 + 3

c.

lim
𝑥→∞
4𝑥2+ 𝑥 + 3 −

3𝑥2+ 2𝑥 + 5

Pembahasan:

Kesimpulan dari contoh di atas adalah sebagai berikut.

Dalam persoalan limit, terkadang diketahui nilai limit fungsi tersebut dan kita diminta untuk
mencari nilai variabel dari limit tersebut.

1.2.4 Menentukan Nilai Variabel apabila Nilai Limit Fungsi Ditetapkan

Contoh: Memahami penentuan nilai variabel

Tentukan nilai a dan b yang memenuhi setiap limit di bawah ini.
a.

lim
𝑥→∞
𝑥2+ 5𝑥 + 7 − 𝑎𝑥 − 𝑏 = 1

b.

lim
𝑥→∞𝑎𝑥 + 𝑏 −

4𝑥2− 6𝑥 + 5 = 8

Pembahasan:

Anda dapat menguji

pemahaman Menentukan Nilai Limit
di Ketakberhinggaan Fungsi Irasional

(Aljabar) dan Menentukan Nilai Variabel

apabila Nilai Limit Fungsi Ditetapkan

dengan mengerjakan soal LKS 4

(halaman 38–40).