tes turunan f trigo

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

5

PETA KONSEP

TURUNAN FUNGSI
TRIGONOMETRI

Identitas

Trigonometri

Laju yang Berkaitan

Rumus Dasar Turunan
Fungsi Trigonometri

dan Sifat-sifatnya

Aturan Rantai dan Turunan

Kedua

Rumus

Pembantu

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

6

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan

Kelas

: XII

Alokasi Waktu

: 12 jam pelajaran

Judul Modul

: Turunan Fungsi Trigonometri

B. Kompetensi Dasar

3.3 Menggunakan prinsip turunan ke fungsi trigonometri sederhana
4.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri

C. Deskripsi Singkat Materi

Salam jumpa melalui pembelajaran matematika dengan materi Turunan Fungsi
Trigonometri. Modul ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk
memahami materi matematika peminatan kelas XII khususnya Turunan Fungsi
Trigonometri. Melalui modul ini Anda diajak untuk memahami konsep Turunan Fungsi
Trigonometri, Sifat-sifat Turunan Trigonometri dan Pemecahan Masalah yang terkait
dengan Turunan Fungsi Trigonometri.

Jika berbicara mengenai kecepatan, percepatan, nilai maksimum dan minimum suatu
fungsi maka sebenarnya kita sedang membahas mengenai turunan. Turunan terkait
dengan perubahan. Sesuatu yang bersifat tetap di dunia ini adalah perubahan itu
sendiri, banyak kejadian-kejadian yang melibatkan perubahan. Misalnya gerak suatu
obyek (kendaraan berjalan, roket bergerak, laju pengisian air suatu tangki),
pertumbuhan bibit suatu tanaman, pertumbuhan ekonomi, inflasi mata uang,
berkembangbiaknya bakteri, peluruhan muatan radioaktif dan sebagainya. Konsep
dasar dari turunan suatu fungsi adalah laju perubahan nilai fungsi.

Tokoh-tokoh yang berjasa dalam mempelajari konsep perubahan sehingga
menghasilkan cabang ilmu matematika kalkulus diferensial (turunan) diantaranya:
Archimedes (287 – 212 SM), Kepler (1571 – 1630), Galileo (1564 – 1642),
Newton (1642 – 1727) dan Leibniz (1646 – 1716). Menurut pendapat para ahli Newton
dan Leibniz-lah dua orang yang paling banyak andilnya pada pertumbuhan kalkulus
diferensial.

D. Petunjuk Penggunaan Modul

Modul ini dirancang untuk memfasilitasi Anda dalam melakukan kegiatan
pembelajaran secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah
petunjuk penggunaan modul berikut.

1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.
2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara

berurutan.

3.Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau

memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.

4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan Anda

dengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

7

5.Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat

kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.

6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi

dari penguasaan Anda terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.

7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi

tersebut agar Anda dapat mengukur penguasaan terhadap materi pada modul ini.
Cocokkan hasil pengerjaan dengan kunci jawaban yang tersedia.

8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada

kesungguhan Anda untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.

E. Materi Pembelajaran

Modul ini terbagi menjadi 2 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat
uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.

Pertama : Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri dan Sifat-sifatnya

Kedua

: Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari Fungsi

Trigonometri

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

8

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1

Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri dan Sifat-sifatnya

A.Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini, diharapkan Anda dapat membuktikan rumus-
rumus dasar turunan fungsi trigonometri dan menggunakan prinsip atau aturan-
aturan turunan ke fungsi trigonometri sederhana.

B.Uraian Materi

Masih ingatkah Anda dengan definisi turunan yang sudah dipelajari saat Anda di kelas
XI? Atau pelajaran trigonometri yang sudah Anda pelajari di kelas X dan XI? Mudah-
mudahan masih ingat, termasuk materi limit fungsi trigonometri yang sudah dipelajari
pada modul sebelumnya, karena materi-materi tersebut merupakan materi prasyarat
untuk memahami konsep turunan fungsi trigonometri.

Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri

Anda telah melihat pada modul sebelumnya bahwa gradien garis singgung dan
kecepatan sesaat adalah manifestasi dari pemikiran dasar yang sama, yaitu diferensial
atau turunan.

Notasi turunan pertama adalah

𝑓′(𝑥) = 𝑦′=

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥
=

𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝐷𝑥𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑦′ diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥
=

𝑑𝑦
𝑑𝑥 diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz

𝐷 dan

𝑑
𝑑𝑥 merupakan operator turunan

Dengan menggunakan definisi turunan mari kita buktikan rumus dasar turunan fungsi
trigonometri untuk y = sin x, y = sec x, dan y = tan x, untuk fungsi trigonometri lainnya,
yaitu y = cos x, y = csc x, dan y = cot x diberikan sebagai latihan.


Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = sin x.
Penyelesaian:

Sebelum Anda menentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = sin x, Anda

harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap, jumlah dan selisih

sudut dan limit fungsi trigonometri.

Diferensial/turunan pertama fungsi f adalah fungsi lain 𝑓′ (dibaca
“f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan x adalah

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Jika limitnya ada.

Definisi 1

Contoh 1

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

9

Mengingat Kembali

➢sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
➢sin x – sin y = 2cos

1
2(x + y)sin

1
2(x – y)

➢1 – cos ax = 2sin2

1
2(𝑎𝑥)

➢lim

𝑥→0

sin 𝑥

𝑥
= 1

➢lim

𝑥→0

1−cos𝑥

𝑥
= lim

𝑥→0

2sin21

2𝑥

𝑥
= lim

𝑥→0

2 sin1

2𝑥 sin1

2𝑥

𝑥

= 2lim

𝑥→0

sin

1
2𝑥

𝑥
lim
𝑥→0sin 1

2 𝑥 = 2. 1

2 . sin(0) = 0

Anda akan disajikan menentukan turunan pertama fungsi y = sin x dengan 2 cara.

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

sin(𝑥 + ℎ) − sin 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = sin x)

= lim

ℎ→0

sin𝑥 cos ℎ + cos 𝑥 sinℎ − sin𝑥

ℎ

(sin(x+h)=sin x cos h + cos x sin
h)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 sin ℎ − sin 𝑥 (1 − cos ℎ)

ℎ

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 sin ℎ

ℎ
− lim

ℎ→0

sin𝑥 (1 − cos ℎ)

ℎ
(sifat limit)

= cos 𝑥 lim

ℎ→0

sin ℎ

ℎ
− sin 𝑥 lim

ℎ→0

(1 − cos ℎ)

ℎ
(sifat limit)

= cos 𝑥(1) − sin 𝑥 (0)

(rumus limit)

= cos 𝑥

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

sin(𝑥 + ℎ) − sin 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = sin x)

= lim

ℎ→0

2 cos

1
2(𝑥 + ℎ + 𝑥) sin

1
2(𝑥 + ℎ − 𝑥)

ℎ

(sin x–sin y=2 cos

1
2(𝑥 + 𝑦) sin

1
2(𝑥 −

𝑦)

= lim

ℎ→0

2 cos (𝑥 +

1
2ℎ) sin

1
2ℎ

ℎ

(penyederhanaan)

= lim

ℎ→02 cos (𝑥 + 1

2 ℎ) lim

ℎ→0

sin

1
2ℎ

ℎ

(sifat limit)

= 2 cos 𝑥 . 1

2

(sifat limit)

= cos 𝑥

Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = sin x adalah 𝑓′(𝑥) = cos x

Cara 1

Cara 2

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

10

Mengingat Kembali

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = sec x.
Penyelesaian:

Sebelum Anda menentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = sec x, Anda

harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap, jumlah dan selisih

sudut dan limit fungsi trigonometri.

➢sec x =

1

cos xtan x =

sinx
cos x

➢cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

➢cos x – cos y = – 2sin

1
2(x + y) sin

1
2(x – y)

➢lim

x→0

sin x

x
= 1

➢lim

x→0

1−cos x

x
= 0

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

sec(𝑥 + ℎ) − sec 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = sec x)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (
1

cos(𝑥 + ℎ) −
1

cos 𝑥)

(sec 𝑥 =

1

cos 𝑥)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (cos 𝑥 − cos(𝑥 + ℎ)

cos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥 )

(samakan penyebut)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (cos 𝑥 − [cos 𝑥 cos ℎ − sin 𝑥 sin ℎ]

cos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥
)(cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (cos 𝑥 − cos 𝑥 cos ℎ + sin 𝑥 sin ℎ

cos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥
)

(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (cos 𝑥 (1 − cos ℎ) + sin 𝑥 sinℎ

cos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥
)

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 (1 − cos ℎ)
ℎ cos(𝑥 + ℎ) cos𝑥 +
sin𝑥 sinℎ

ℎcos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

(1 − cosℎ)
ℎ cos(𝑥 + ℎ) + sin𝑥

cos𝑥 lim

ℎ→0

sin ℎ

ℎcos(𝑥 + ℎ)(sifat limit)

=
0

cos 𝑥 + sin𝑥

cos𝑥

1

cos 𝑥

(sifat limit)

= sec 𝑥 tan 𝑥

Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = sec x adalah 𝑓′(𝑥) = sec x tan x.

Contoh 2

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

11

Mengingat Kembali

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = tan x.
Penyelesaian:

Sebelum Anda menentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = tan x, Anda

harus mengingat kembali identitas trigonometri, jumlah dan selisih sudut dan limit

fungsi trigonometri.

➢tan(𝑥 + 𝑦) =

tan 𝑥+tan𝑦
1−tan𝑥 tan 𝑦

➢lim

𝑥→0

tan 𝑥

𝑥
= 1

➢1 + tan2𝑥 = sec2𝑥

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

tan(𝑥 + ℎ) − tan 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = tan x)

= lim

ℎ→0

1
ℎ ( tan𝑥 + tan ℎ

1 − tan 𝑥 tan ℎ − tan 𝑥)

(tan(𝑥 + 𝑦) =

tan 𝑥+tan𝑦
1−tan𝑥 tan𝑦)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (tan𝑥 + tan ℎ − tan 𝑥 (1 − tan 𝑥 tan ℎ)

1 − tan 𝑥 tan ℎ
)(samakan penyebut)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (tan𝑥 + tan ℎ − tan 𝑥 + tan2𝑥 tan ℎ

1 − tan 𝑥 tan ℎ
)(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

tan ℎ (1 + tan2𝑥)
ℎ(1 − tan 𝑥 tan ℎ)

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

tan ℎ

ℎ
lim
ℎ→0(1 + tan2𝑥) lim

ℎ→0

1

1 − tan 𝑥 tan ℎ(sifat limit)

= (1) (1 + tan2𝑥) (1)

(sifat limit)

= sec2𝑥

(1 + tan2𝑥 = sec2𝑥)

Jadi, turunan fungsi trigonometri f(x) = tan x adalah 𝑓′(𝑥) =sec2𝑥.

Sebagai lantihan Anda harus membuktikan turunan fungsi trigonometri berikut.
➢f(x)= cos x 𝑓′(𝑥)= –sin x
➢f(x)= csc x 𝑓′(𝑥)= –csc x cot x
➢f(x)= cot x 𝑓′(𝑥)= –csc2 x

Prinsip Turunan untuk Fungsi Trigonometri Sederhana

Proses

pencarian

turunan

suatu

fungsi

menggunakan

definisi,

yakni

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ
memakan waktu. Karena itu pada pembelajaran berikutnya

kita akan menggunakan aturan pencarian turunan yang telah dipelajari di Kelas XI saat

Contoh 3

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

12

Mengingat Kembali

belajar turunan fungsi aljabar untuk memperpendek proses dari fungsi-fungsi yang
tampak rumit.

Namun, sebelumnya kita ulas kembali aturan dasar pencarian turunan dari fungsi
aljabar dan fungsi trigonometri.

➢f(x) = k

f(x) = 0, dengan k konstanta

➢f(x) = x

f(x) = 1

➢f(x) = k xnf(x) = k .n.xn – 1

➢f(x) = sin x  f(x) = cos x

➢f(x) = cos x  f(x) = –sin x

➢f(x) = tan x  f(x) = sec2 x

➢f(x) = cot x  f(x) = –csc2 x

➢f(x) = sec x  f(x) = sec x tan x

➢f(x) = cscx f(x) = –csc x cot x

Jika k suatu konstanta dan u, v adalah fungsi dari x dan terturunkan, maka aturan
pencarian turunan fungsi aljabar berlaku juga pada turunan fungsi trigonometri .

1.Aturan Jumlah, Selisih, dan Perkalian dengan Konstanta

➢f(x) = ku

f(x)= ku

➢f(x) = u + v

f(x)= u + v

➢f(x) = u – v

f(x) = u– v

dengan k konstanta, u = u(x), dan v = v(x)

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.
a.f(x) = sin x – cos x.
b.f(x) = 3x2 – 4 cos x
c.f(x) = 2tan x + 3x
Penyelesaian:

a.f(x) = sin x – cos x

pilih : u = sin xu= cos x
v = cos xv= –sin x

f(x) = sin x – cos x = u – v
maka
f(x) = u– v
f(x) = cos x – (–sin x)
f(x) = cos x + sin x

b.f(x) = 3x2 – 4 cos x

pilih : u = x2u= 2x

v = cos xv= –cos x

Contoh 4

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

13

k1 = 3 dan k2 = 4

f(x) = 3x2 – 3 cos x = k1u + k2v
maka
f(x) = k1 u + k2 v
f(x) = 3 (2x) – 3 (–sin x)
f(x) = 6x + 3 sin x

c.f(x) = 2tan x + 3x

pilih : u = tan xu= sec2𝑥

v = xv= 1
k1 = 2 dan k2 = 3

f(x) = 2tan x + 3x = k1u + k2v
maka
f(x) = k1 u + k2 v
𝑓 (𝑥) = 2sec2𝑥 + 3

Jika 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + cos𝑥 + tan 𝑥, maka 𝑓′(0) = . . ..
Penyelesaian:

𝑓(𝑥) = sin𝑥 + cos 𝑥+ tan 𝑥
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 − sin𝑥 + sec2𝑥
𝑓′(0) = cos0 − sin 0 + sec20

= 1 − 0 + 1
= 2

2.Aturan Perkalian

f(x) = u . v  f(x) = u . v + u . v dengan u = u(x) dan v = v(x)

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.
a.f(x) = x2 sin x
b.f(x) = 3x sin x + cot x
c.f(x) = 2 cos x sin x

Penyelesaian:

a.f(x) = x2 sin x

pilih u = x2 u= 2x
v = sin xv= cos x

f(x) = x2 sin x = u . v
maka
f(x) = u . v + u . v
f(x) = 2x sin x + x2 cos x

b.f(x) = 3x sin x + cot x

pilih u = 3x u= 3
v = sin xv= cos x

w = cot x w= – csc2x

f(x) = 3x sin x + cot x = u . v + w
maka
f(x) = u . v + u . v + w
f(x) = 3 sin x + 3x cos x + (– csc2x)

Contoh 5

Contoh 6

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

14

= 3 sin x + 3x cos x– csc2x

c.f(x) = 2 cos x sin x

pilih u = 2 cos x u= –2 sin x

v = sin xv= cos x

f(x) = 2 cos x sin x = u . v
maka
f(x) = u . v + u . v
f(x) =(–2 sin x)( sin x) + (2 cos x)(cos x)
f(x) =–2 sin2x + 2 cos2x
f(x) =2 (cos2x – sin2x )
f(x) =2 cos 2x

(cos 2x = cos2x – sin2x)

3.Aturan Pembagian

𝑓(𝑥) =

𝑢
𝑣𝑓′(𝑥) =

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′

𝑣2
dengan u = u(x) dan v = v(x)

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.
a.f(x) = tan x

b.𝑓(𝑥) =

cos 𝑥

1+cos 𝑥

c.𝑓(𝑥) =

cos 𝑥

sin𝑥+cos 𝑥

Penyelesaian:

a.f(x) = tan x =

sin𝑥
cos 𝑥

pilih u = sin x u= cos x
v = cos xv= –sin x

𝑓(𝑥) = tan 𝑥 = sin𝑥

cos𝑥 = 𝑢

𝑣

maka

𝑓′(𝑥) = 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓′(𝑥) = (cos 𝑥)(cos 𝑥) − (sin 𝑥)(− sin𝑥)

cos2𝑥

𝑓′(𝑥) = cos2𝑥 + sin2𝑥

cos2𝑥

𝑓′(𝑥) =
1

cos2𝑥 (cos2𝑥 + sin2𝑥 = 1)

𝑓′(𝑥) = sec2𝑥

(

1

cos 𝑥= sec 𝑥)

Menunjukkan hasil yang sama dengan turunan f(x) = tan x menggunakan
definisi.

b.f(x) =

cos 𝑥

1+cos 𝑥

pilih u = cos x u= –sin x
v = 1+ cos xv= –sin x

𝑓(𝑥) =
cos 𝑥

1 + cos 𝑥 = 𝑢

𝑣

maka

Contoh 7

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

15

𝑓′(𝑥) = 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓′(𝑥) = (− sin𝑥)(1 + cos 𝑥) − (cos𝑥)(− sin𝑥)

(1 + cos 𝑥)2

𝑓′(𝑥) = − sin𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 sin 𝑥

(1 + cos 𝑥)2

𝑓′(𝑥) =
− sin𝑥

(1 + cos 𝑥)2

c.𝑓(𝑥) =

cos 𝑥

sin𝑥+cos 𝑥

pilih u = cos x u= –sin x
v = sin x + cos xv= cos x –sin x

𝑓(𝑥) =
cos 𝑥

sin𝑥 + cos 𝑥 = 𝑢

𝑣

maka

𝑓′(𝑥) = 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓′(𝑥) = (− sin 𝑥)(sin 𝑥 + cos 𝑥) − (cos 𝑥)(cos𝑥 − sin𝑥)

(sin 𝑥 + cos 𝑥)2

𝑓′(𝑥) = −sin2𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥 − cos2𝑥 + cos 𝑥 sin𝑥

sin2𝑥 + cos2𝑥 + 2 sin𝑥 cos 𝑥

𝑓′(𝑥) = −(sin2𝑥 + cos2𝑥)

1 + sin 2𝑥
(2 sin𝑥 cos 𝑥 = sin2𝑥)

𝑓′(𝑥) =
−1

1 + sin 2𝑥(cos2𝑥 + sin2𝑥 = 1)

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

16

C.Rangkuman

❖Diferensial/turunan pertama fungsi f adalah fungsi lain 𝑓′ (dibaca “f aksen”) yang

nilainya pada sebarang bilangan x adalah

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Jika limitnya ada.

❖Rumus dasar turunan pertama fungsi trigonometri

➢f(x) = sin x  f(x) = cos x

➢f(x) = cos x  f(x) = –sin x

➢f(x) = tan x  f(x) = sec2 x

➢f(x) = cot x  f(x) = –csc2 x

➢f(x) = sec x  f(x) = sec x tan x

➢f(x) = csc x f(x) = –csc x cot x

❖Jika k suatu konstanta dan u, v adalah fungsi dari x dan terturunkan, maka aturan

pencarian turunan fungsi aljabar berlaku juga pada turunan fungsi trigonometri .
➢f(x) = ku f(x)= ku

➢f(x) = u + vf(x)= u + v

➢f(x) = u – vf(x) = u– v

➢f(x) = u . v

 f(x) = u . v + u . v

➢𝑓(𝑥) =

𝑢
𝑣𝑓′(𝑥) =

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′

𝑣2

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

17

D.Latihan Soal

Kerjakan latihan soal berikut dengan jujur dan benar.
1.Buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut dengan definisi.

a.f(x) = cos x

𝑓′(𝑥) = –sin x

b.f(x) = csc x

𝑓′(𝑥) = –csc x cot x

c.f(x) = cot x

𝑓′(𝑥) = –csc2x

2.Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.

a.𝑓 (𝑥) = 3𝑥 sin𝑥 + cos 𝑥
b.𝑓 (𝑥) = 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑥3
c.𝑓 (𝑥) =

cos𝑥

5+sin𝑥

3.Tentukan 𝑓′(𝑥) dan nilai 𝑓′(𝑥) dari fungsi f(x) = 3x – cos x + tan x untuk x = 𝜋

3 .

4.Tentukan 𝑓′(𝑥) untuk 𝑓(𝑥) = cos3(2𝑥 − 1)

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

18

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1.Buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut dengan definisi.

a.f(x) = cos x

𝑓′(𝑥) = –sin x

(Skor Maksimum 20)

Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

cos(𝑥 + ℎ) − cos 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = cos x)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 cos ℎ − sin𝑥 sin ℎ − cos 𝑥

ℎ

(cos(x+h)=cos x cos h – sin x sin
h)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 (cos ℎ − 1) − sin𝑥 sinℎ

ℎ

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 (cos ℎ − 1)

ℎ
− lim

ℎ→0

sin 𝑥 sinℎ

ℎ
(sifat limit)

= cos 𝑥 lim

ℎ→0

cos ℎ − 1

ℎ
− sin 𝑥 lim

ℎ→0

sinℎ

ℎ
(sifat limit)

= cos 𝑥(0) − sin 𝑥 (1)

(rumus limit)

= −sin 𝑥

Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = cos x adalah 𝑓′(𝑥) = –sin x.

b.f(x) = csc x

𝑓′(𝑥) = –csc x cot x (Skor Maksimum 20)

Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

csc(𝑥 + ℎ) − csc 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = sec x)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (
1

sin(𝑥 + ℎ) −
1

sin 𝑥)

(csc 𝑥 =

1

sin𝑥)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (sin𝑥 − sin(𝑥 + ℎ)

sin(𝑥 + ℎ) sin 𝑥 )

(samakan penyebut)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (sin𝑥 − [sin𝑥 cos ℎ + cos𝑥 sinℎ]

sin(𝑥 + ℎ) sin𝑥
)

(sin (x + y) = sin x cos y – cos x sin y)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (sin𝑥 − sin𝑥 cos ℎ − cos 𝑥 sinℎ

sin(𝑥 + ℎ) sin𝑥
)

(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (sin𝑥 (1 − cos ℎ) − cos𝑥 sin ℎ

sin(𝑥 + ℎ) sin𝑥
)

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 (1 − cosℎ)
ℎ sin(𝑥 + ℎ) sin𝑥 −
cos 𝑥 sinℎ

ℎsin(𝑥 + ℎ) sin 𝑥

(penyederhanaan)

= cos 𝑥

sin 𝑥 lim

ℎ→0

(1 − cos ℎ)
ℎ sin(𝑥 + ℎ) − cos𝑥

sin𝑥 lim

ℎ→0

sin ℎ

ℎsin(𝑥 + ℎ)(sifat limit)

= cot 𝑥 0

cos 𝑥 − cot 𝑥
1

sin𝑥

(sifat limit)

= −csc 𝑥 cot 𝑥

Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = csc x adalah 𝑓′(𝑥) = – csc x cot x.

c.f(x) = cot x

𝑓′(𝑥) = –csc2x

(Skor Maksimum 20)

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

19

= lim

ℎ→0

cot(𝑥 + ℎ) − cot 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = cot x)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (
1

tan(𝑥 + ℎ) −
1

tan 𝑥)

(cot 𝑥 =

1

tan𝑥)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (1 − tan 𝑥 tan ℎ

tan𝑥 + tan ℎ −
1

tan 𝑥)

(tan(𝑥 + 𝑦) =

tan 𝑥+tan𝑦
1−tan𝑥 tan 𝑦)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (

(1 − tan 𝑥 tan ℎ) tan 𝑥 − (tan 𝑥 + tan ℎ)

(tan 𝑥 + tan ℎ) tan 𝑥
)

(samakan penyebut)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (tan𝑥 − tan2 𝑥 tan ℎ − tan 𝑥 − tan ℎ

(tan 𝑥 + tan ℎ) tan 𝑥
)

(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

− tan ℎ (tan2𝑥 + 1)

ℎ (tan 𝑥 + tan ℎ) tan 𝑥

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

− tan ℎ

ℎ
lim
ℎ→0(tan2𝑥 + 1) lim

ℎ→0

1

(tan 𝑥 + tan ℎ) tan 𝑥(sifat limit)

= (-1) (1 + tan2𝑥) (

1

tan2𝑥)

(sifat limit)

= − sec2𝑥(

1

tan2𝑥)

(1 + tan2𝑥 = sec2𝑥)

= −

1

cos2𝑥(

cos2𝑥
sin2𝑥)

(sec x =

1

cos 𝑥,

1

tan 𝑥=

cos 𝑥
sin 𝑥 )

= −

1

sin2𝑥

= −csc2𝑥

Jadi, turunan fungsi trigonometri f(x) = cot x adalah 𝑓′(𝑥) = −csc2𝑥.

2.Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.

a.𝑓 (𝑥) = 3𝑥 sin𝑥 + cos𝑥

(Skor Maksimum 10)

Penyelesaian:
𝑦 = 3𝑥 sin 𝑥 + cos𝑥
Untuk 3x.sin x dimisalkan:
𝑢 = 3𝑥 → 𝑢′= 3
𝑣 = sin𝑥 → 𝑣′= cos𝑥
Jadi,
𝑦′= 3sin𝑥 + 3𝑥cos𝑥 + (−sin𝑥)
𝑦′= 2sin𝑥 + 3𝑥cos𝑥

b.𝑓 (𝑥) = 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑥3

(Skor Maksimum 10)

Penyelesaian:
𝑦 = 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑥3
Untuk 2x.cos x dimisalkan:
𝑢 = 2𝑥 → 𝑢′= 2
𝑣 = cos𝑥 → 𝑣′= −sin𝑥
Jadi,
𝑦′= 2. (cos𝑥) + 2𝑥. (−sin𝑥) − 3𝑥2
𝑦′= 2cos𝑥 − 2𝑥sin 𝑥 − 3𝑥2

c.𝑓 (𝑥) =

cos𝑥

5+sin𝑥

(Skor Maksimum 10)

Penyelesaian:

𝑓 (𝑥) =
cos𝑥

5 + sin𝑥

Misalkan:
𝑢 = cos 𝑥 → 𝑢 ′= − sin𝑥
𝑣 = 5 + sin𝑥→ 𝑣 ′ = cos𝑥
Jadi,

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

20

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢 ′𝑣 − 𝑢𝑣 ′

𝑣2

= (−sin𝑥)(5 + sin𝑥) − cos𝑥 cos 𝑥

(5 + sin𝑥)2

= −5sin𝑥− sin2𝑥 − cos2𝑥

(5 + sin𝑥)2

= −5sin𝑥 − (sin2𝑥 + cos2𝑥 )

(5 + sin𝑥)2

= −5sin𝑥− 1

(5 +sin 𝑥)2

3.Tentukan 𝑓′(𝑥) dan nilai 𝑓′(𝑥) dari fungsi f(x) = 3x – cos x + tan x untuk x = 𝜋

3 .

(Skor Maksimum 10)

Penyelesaian:
f(x) = 3x – cos x + tan x
𝑓′(𝑥) = 3 + sin x – sec2x dan

𝑓′(𝜋

3) = 3 + sin 𝜋

3 – sec2𝜋

3

= 3 + 1

2 √3 − 4

= 1

2 √3 − 1

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

21

E.Penilaian Diri

Ananda isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Anda ketahui,
berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi
tanda centang pada kolom pilihan.

No.

Pertanyaan

Jawaban

Ya

Tidak

1.

Apakah Anda telah memahami pengertian turunan fungsi

trigonometri.

2.

Apakah Anda telah mampu membuktikan rumus dasar

turunan fungsi trigonometri.

3.

Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan

jumlah dan selisih ke turunan fungsi trigonometri?

4.

Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan

perAnda dua fungsi ke turunan fungsi trigonometri?

5.

Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan

pembagian ke turunan fungsi trigonometri?

Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,

Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.