Sistema de ecuaciones lineales 3x3

TEMA 3:SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3x3

Consiste en una serie de algoritmos de álgebra lineal con los que se determinan los

resultados de un sistema de ecuaciones lineales, para así hallar matrices e inversas. Este
sistema se utiliza para obtener las soluciones por medio de la reducción de un sistema dado a
otro que sea equivalente, en el que cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos
que la anterior.

Sistema de Ecuación Lineal Genérico

Subtema 3.1Método de Gauss-Jordan

El método de eliminación de Gauss-Jordan permite resolver sistemas de ecuaciones

lineales con “n” números de variables, encontrar matrices y matrices inversas.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se deben

escribir los coeficientes de las variables en notación matricial.

Sea el sistema de

su forma matricial

Y la matriz aumentada

Ecuación lineal genérica:

sería:

sería:

Para utilizar este método solo debemos saber que cada operación que se realiza se

aplicará a toda la fila o a toda la columna según el caso. El objetivo es tratar de convertir la
parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad; esto
se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación que transforman la
matriz inicial en matrices equivalentes.

La matriz identidad es aquella que tiene en la diagonal principal todos los elementos de

valor igual a uno y el resto de los elementos igual a cero, como se muestra a continuación.

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan, primero

debemos presentar la matriz aumentada, seguidamente transformar las filas de forma que la
matriz en su diagonal principal quede conformada por uno y el resto de la matriz por ceros.

Para ello debemos seguir los siguientes pasos:

1) Multiplicar toda una ecuación por un escalar no nulo.

2) Intercambiar el orden de las filas.

3) Sumar a una ecuación, otra ecuación multiplicada por un escalar.

Ejemplo resuelto:

Solución

Matriz Aumentada:

Transformamos las filas dos y tres de la matriz aumentada para buscar los ceros a21 y a31.

Transformamos la fila tres menos dos veces la fila dos para buscar el cero de a32

Transformamos dos veces la fila dos más la fila tres y cuatro veces la fila uno más la fila tres.

Simplificamos la ecuación uno por cuatro, la ecuación dos por dos y la ecuación tres por
menos cuatro para buscar los unos de la matriz.

Finalmente transformamos la fila uno restando la fila dos para buscar el cero de a12.

Subtema 3.2Método de Cramer

Es un método viable y eficiente para calcular soluciones a sistemas con un número

arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas. La regla de Cramer nos dará la solución única de un sistema de ecuaciones, si
existe.

Para resolver un sistema de ecuaciones 3×3 por el método de Cramer se deben

cumplir las siguientes condiciones:

(1) El sistema debe tener el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.

(2) El determinante de la matriz tiene que ser diferente a cero (0).

Ejemplo:

En forma de matriz quedaría:

Para hallar los valores de “x”, “y” y “z” se deben calcular los siguientes determinantes:

Dx, Dy y Dz, donde se reemplaza el correspondiente vector columna por el de los términos
independientes

Por lo que se cumple que las soluciones del sistema de ecuaciones están dadas por:

Si en la resolución del sistema de ecuaciones, D=0, entonces el sistema no tiene solución o
tiene infinito número de soluciones.

Ejemplo resuelto

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método Cramer

Solución

Primero, se calcula el Determinante

Segundo, se halla el determinante de x, y y z.

RESPUESTA: X=0.35; Y=0,6; Z=0,15

Subtema 3.3Método de eliminación o reducción.

Consiste en realizar operaciones matriciales para encontrar la solución del sistema,

para ello se utiliza la eliminación de incógnitas por medio de suma y resta de ecuaciones, con
el objetivo de obtener una matriz triangular superior en la que todas las incógnitas puedan ser
resueltas de forma directa.

sin embargo, estos sistemas de ecuaciones 3x3 también se pueden resolver de la

siguiente manera:

Ejemplo resuelto

Seleccionar dos ecuaciones donde pueda eliminar una de las tres variables por reducción de
términos semejantes.

Paso 1.- usar el método de eliminación para quitar una de las variables, en este caso,

“z” puede ser eliminada sumando la primera ecuación con la segunda y la primera con la
tercera.

Paso 2.- Una vez eliminada una de las variables, queda un sistema de ecuaciones 2x2

y procedemos a eliminar otra de las variables y despejamos hallando el primer valor.

Paso 3: Reemplazamos el valor conocido en cualquiera de las dos ecuaciones del

sistema 2x2 para encontrar el segundo valor desconocido.

8x + 2y = 12

2y = 4

8(1) + 2y = 12 y=4/2

y = 2

Paso 4: Los valores de las dos variables despejadas se reemplazan en cualquiera de

las 3 ecuaciones del sistema original y se despeja la última incógnita.

3(1) + 4(2) - z = 8

3 + 8 - z = 8
3 + 8 - 8 = z

z = 3

RESPUESTA: X = 1; Y = 2; Z = 3