Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

By : Ida Nuraida, S.Si, M.PMat

Definisi

 Logika secara etimologis berasal dari Bahasa Yunani “Logos” yang berarti

pikiran atau perkataan sebagai pernyataan dari pikiran.

 Logika adalah cabang ilmu Filsafat yang mengkaji prinsip serta norma

penurunan-penurunan kesimpulan yang shahih (valid).

 Logika Matematika : ragam logika yang mengkaji penalaran yang benar

dengan menggunakan metode matematika serta bentuk dan lambang yang
khusus dan cermat.

Note :
Penalaran merupakan suatu proses berpikir untuk menarik kesimpulan. Cara
untuk menarik kesimpulan ini disebut LOGIKA

Tujuan

Agar kita memiliki cara birfikir yang tepat, akurat, rasional, objektif, dan mampu
berfikir kritis. Secara praktis, tujuan mempelajari logika yaitu dapat membantu
kita menjadi lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam
penalaran.

Penalaran (reasoning)

Definisi :

• Penalaran adalah suatu proses pengambilan kesimpulan berdasarkan proposisi-

proposisi yang mendahuluinya.

• Penalaran adalah proses berpikir yang bertolak dari pengamatan indera

(pengamatan empirik) yang menghasilkan sejumlah konsep dan pengertian.

Penalaran (reasoning)

Penalaran

Induktif

Penalaran
Deduktif

Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah suatu proses mencapai
kesimpulan umum berdasarkan dari observasi
contoh-contoh khusus.

•

Contoh fakta spesifik ⇒ Kesimpulan Umum

•

Premis dari objek yang diuji ⇒ Kesimpulan
objek yang belum diuji

Contoh Penalaran Induktif

Matahari

selalu
terbit di

timur

Hari ini
matahari
terbit di
Timur

Besok

matahari
terbit di
Timur

Lusa

matahari

terbit di timur

10 tahun lagi

matahari

terbit di timur

Berikan conto-contoh penalaran induktif yang lainnya !!!

Simpulkan premis-premis berikut

Kerbau punya mata

Anjing punya mata

Cicak punya mata

Buaya punya mata

Kesimpulan : Setiap hewan mempunyai mata

Catatan

• Kesimpulan umum dari penalaran induktif bukanlah merupakan suatu bukti. Hal

ini karena kesimpulan yang diperoleh berasal dari beberapa contoh khusus yang

benar, tetapi belum untuk semua kasus.

• Penalaran induktif membutuhkan banyak sampel untuk mempertinggi tingkat

ketelitian premis yang diangkat.

• Penalaran induktif erak dengan pengumpulan data statistik.

Bentuk-bentuk Penalaran Induktif

Penalaran

Induktif

Generalisasi

Analogi

Hubungan

Kasual

Prediktif

Generalisasi

❑ Generalisasi adalah proses penalaran yang pengandalkan beberapa pernyataan

yang mempunyai sifat tertentu untuk mendapatkan kesimpulan yang bersifat
umum.

❑ Contoh :

o Jika dipanaskan besi memuai

o Jika dipanaskan tembaga memuai

o Jika dipanaskan emas memuai

o Jika dipanaskan platina memuai

o Jadi, jika dipanaskan logam memuai

Analogi

❑
Analogi adalah cara penalaran dengan membandingkan dua hal yang
mempunyai sifat yang sama.

❑
Contoh :

o Asep adalah lulusan UIN SGD Bandung

o Asep bekerja dengan jujur

o Nina adalah lulusan UIN SGD Bandung

o Maka, nina bekerja dengan jujur

o Kesimpulan : Setiap lulusan UIN SGD Bandung bekerja dengan jujur

Hubungan Kasual

❑
Hubungan kasual adalah cara penalaran yang diperoleh dari gejala-gejala

yang saling berhubungan

❑
Macam-macam hubungan kasual

o Sebab – Akibat : Hujan turun mengakibatkan banjir

o Akibat – Sebab : Andika tidak lulus ujian disebabkan karena dia tidak belajar dengan

rajin.

o Akibat – Akibat : Ibu mendapatkan jalanan di depan rumah becek, sehingga ibu

beranggapan jemuran di rumah basah.

Prediksi

❑
Prediksi adalah bentuk penalaran induktif yang menyimpulkan sebuah

klaim mengenai apa yang akan terjadi di masa depan berdasarkan

observasi di masa lalu.

❑
Contoh :

o Persib juara di babak penyisihan

o Persib juara di babak perdelapan final

o Persib juara di babak perempat final

o Persib akan juara di babak final

Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif adalah proses pembuktian
suatu kesimpulan dari satu atau beberapa
pernyataan.

•

Fakta umum ⇒ Fakta Spesifik

•

Pernyataan umum ⇒ Kesimpulan spesifik

 Penalaran deduktif digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan, baik

berupa teorema matematika, argumen legal atau teori saintifik.

 Penalaran deduktif membawa pada pernyataan benar, diberikan premis-

premis bernilai benar.

Contoh

Premis 1
Semua manusia akan mati

Premis 2
Ida adalah manusia

Kesimpulan
Ida akan mati

Kalimat

• Kalimat yang selalu mempunyai

nilai kebenaran, mungkin bernilai
benar saja atau salah saja, tapi
tidak keduanya.

Kalimat tertutup

/pernyataan/proposisi

• Kalimat yang belum dapat

ditentukan nilai kebenarannya.

• Kalimat terbuka dapat dinyatakan

dalam bentuk variabel

Kalimat terbuka

Contoh-contoh

1. Ibukota Jawa Barat adalah Bandung

2. Tolong tutup pintu!

3. Duren adalah makanan terenak di dunia

4. 1+1=6

5. Berangkatlah Ratna ke Tasik

6.

𝑥 + 3 = 4

Ket :
Contoh 1 dan 4 adalah suatu proposisi (kalimat tertutup)
Contoh 3 dan 6 adalah kalimat terbuka
Contoh 2 dan 5 bukan keduanya

Notasi dan Nilai Kebenaran

• Untuk

penyederhanaan,

dalam

logika

matematika

suatu

pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 …

• Kebenaran suatu pernyataan dibedakan menjadi 2, yaitu

✓
Kebenaran faktual

✓
Kebenaran logis

• Kebenaran

Faktual

:Kesesuaian

antara

isi

pernyataan

dan

fakta

sesuangguhnya.
Misalkan :
𝑝 ∶ Hari ini hujan
𝑞 ∶ Saya belajar matematika dasar
Note : Nilai kebenaran sangan tentatif, tergantung keadaaan di saat
pernyataan ini diungkapkan.

• Kebenaran Logis: kesesuaian dengan aturan-aturan logika

Misalkan : Ada 7 hari dalam seminggu dan 2+2=4
Proposisi ini bernilai benar
Note: Benar atau salah suatu pernyataataan disebut nilai kebenaran dari
pernyataan tersebut. Benar (B) dan Salah (S)

Negasi / Ingkaran Pernyataan

Pernyataan

asal

Dilambangkan

dengan “𝑝”

Contoh :
p: Eka makan dodol

Negasi

pernyataan

Dilambangkan
dengan “~𝑝”

Contoh :

~𝑝 ∶ Eka tidak makan

dodol

“~𝑝” dibaca

“tidak/bukan p”

Tabel Kebenaran

𝑷

~𝑷

B

S

S

B

Pernyataan dan negasinya memiliki nilai

kebenaran yang saling berlawanan

Pernyataan Majemuk

❑

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang merupakan kombinasi dari
beberapa pernyataan sederhana.

❑

Pernyataan sederhana dihubungkan dengan penghubung logika (logical
connector), yaitu : dan, atau, jika-maka dan jika hanya jika

❑

Dan disimbolkan oleh "∧"

❑

Atau disimbolkan oleh "∨"

❑

Jika-maka disimbolkan oleh "⇒"

❑

Jika hanya jika disimbolkan oleh " ⟺ "

Bentuk-bentuk Pernyataan Majemuk

• Menggunakan penghubung

“dan”

Konjungsi

• Menggunakan penghubung

“atau”

Disjungsi

• Menggunakan penghubung

“jika-maka”

Implikasi

• Menggunakan penghubung

“jika hanya jika”

Biimplikasi

Konjungsi

• Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan

kata hubung “dan”.

• Notasi “𝑝 ∧ 𝑞” dibaca “𝑝 dan 𝑞”.

Contoh:
• 𝑝: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai

benar)

• 𝑞: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai

benar)

• 𝑝 ∧ 𝑞 : 3 adalah bilangan prima dan ganjil

(pernyataan bernilai benar)

Tabel Kebenaran

𝐏

𝐐

𝐏 ∧ 𝐐

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Disjungsi

𝐏

𝐐

𝐏 ∨ 𝐐

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

• Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan

kata hubung “atau”.

• Notasi “𝑝 ∨ 𝑞” dibaca “𝑝 atau 𝑞”.

Contoh:

• 𝑝: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai

benar)

• 𝑞: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai

salah)

• 𝑝 ∨ 𝑞 : Paus adalah mamalia atau herbivora

(pernyataan bernilai benar)

Tabel Kebenaran

Implikasi

𝐏

𝐐

𝐏 ⇒ 𝐐

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

• Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata

hubung “jika… maka…”

• Notasi dari “𝑝 ⇒ 𝑞” dibaca “Jika 𝑝, maka 𝑞”.

Contoh:

• 𝑝: Andi belajar Matematika Dasar. (pernyataan

bernilai benar)

• 𝑞: Andi dapat belajar dengan tekun. (pernyataan

bernilai benar)

• 𝑝 ⇒ 𝑞: Jika Andi belajar Matematika Dasar, maka Andi

dapat belajar dengan tekun (pernyataan bernilai
benar)

Tabel Kebenaran

Biimplikasi

𝐏

𝐐

𝐏 ⇔ 𝐐

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

• Biimplikasi adalah pernyataan majemuk

dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”.

• Notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan

hanya jika q”.

Contoh:

• p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)

• q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan

bernilai salah)

• 𝑝 ⇔ 𝑞: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60

adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai
salah).

Tabel Kebenaran