векторы в пространстве

Multiple Select

Вектор - это

• направленный отрезок

• часть прямой, ограниченная двумя точками

• линия, имеющая начало и не имеющая конца

• отрезок, для которого заданы начало и конец

Multiple Select

Векторы $$\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}$$  называются коллинеарными, если

• принадлежат одной прямой

• лежат на параллельных прямых

• принадлежат одной плоскости

• одинаково направлены

Multiple Select

Векторы $$\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}$$  называются сонаправленными, если

• принадлежат одной прямой

• лежат на параллельных прямых

• принадлежат одной плоскости

• одинаково направлены

Multiple Select

Векторы $$\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}$$  называются противоположно направленными, если

• противоположные

• противоположно направлены

• коллинеарные

• одинаково направлены

Multiple Select

Векторы $$\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}$$  называются равными, если

• длины их равны

• противоположно направлены

• коллинеарные

• одинаково направлены

Multiple Select

Укажите векторы, коллинеарные вектору $$\overrightarrow{BD}$$  

• $$\overrightarrow{D_1B_1}$$  

• $$\overrightarrow{B_1D_1}$$  

• $$\overrightarrow{DB}$$  

• $$\overrightarrow{OM}$$  

Multiple Select

Укажите векторы, сонаправленные с вектором $$\overrightarrow{BA}$$  

• $$\overrightarrow{D_1C_1}$$  

• $$\overrightarrow{C_1D_1}$$  

• $$\overrightarrow{CD}$$  

• $$\overrightarrow{B_1A_1}$$  

Multiple Select

Укажите векторы, противоположно направленные вектору $$\overrightarrow{OM}$$  

• $$\overrightarrow{MO}$$  

• $$\overrightarrow{C_1A_1}$$  

• $$\overrightarrow{AC}$$  

• $$\overrightarrow{A_1C_1}$$  

Multiple Choice

Сколько векторов, равных вектору $$\overrightarrow{C_1O}$$  , можно отложить от точки O?

•  0

•  1

•  2

•  3

Multiple Choice

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой

• Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

• Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

• Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны

• Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то другая прямая параллельна этой плоскости

Multiple Select

Какие утверждения верны?

• СС1 $$\perp$$ (DBC)

• DD1 $$\perp$$ (DBC)

• C1B1 $$\perp$$ (АА1D)

• A1D $$\perp$$ (DBC)

Multiple Choice

Дан куб. Какая из данных прямых перпендикулярна плоскости (DCC₁)

• AA₁

• A₁D₁

• D₁B

• BC₁

• BD

Multiple Choice

Дан куб. Какая из данных плоскостей перпендикулярна прямой АС?

• (А₁В₁С₁)

• (АСС₁)

• (ВСС₁)

• (BDD₁)

• (A₁C₁D)

Multiple Choice

Какое из следующих утверждений верно?

• Две прямые перпендикулярные третьей, перпендикулярны между собой

• Две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой

• Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости

• Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, не лежащей в этой плоскости

Multiple Choice

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она

• перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

• перпендикулярна к любой прямой в любой плоскости

• параллельна к любой прямой в этой плоскости

• параллельна к любой прямой в любой плоскости

Multiple Choice

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости гласит:

• через одну данную точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости

• через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна

• через одну данную точку пространства проходит прямая, параллельная к данной плоскости, и притом только одна

• через одну данную точку пространства проходит прямая, параллельная к данной плоскости

Multiple Choice

Сторона АВ правильного треугольника АВС лежит в плоскости. Может ли прямая BC быть перпендикулярна к этой плоскости?

• да

• нет

Multiple Choice

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она

• параллельна к этой плоскости

• скрещивается с этой плоскостью

• перпендикулярна к этой плоскости

• лежит в этой поскости

Multiple Choice

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными

• если угол между ними равен 90 градусов

• если они не пересекаются

• если угол между ними равен 180 градусов

• если они совпадают

Multiple Select

Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания:

• Прямые СD и MN скрещивающиеся

• Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости

• Прямые СD и MN пересекаются

• Прямые АВ и СD скрещивающиеся

Multiple Choice

Определите взаимное расположение прямых

• a и b – пересекающиеся прямые

• a и b – параллельные прямые

• a и b – скрещивающиеся прямые

Multiple Choice

Определите взаимное расположение прямых

• a и b – пересекающиеся прямые

• a и b – параллельные прямые

• a и b – скрещивающиеся прямые

Multiple Choice

Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение

• равно 1

• равно 0

• не определено

• не знаю про скалярное произведение ничего

Multiple Choice

У коллинеарных векторов

• соответствующие координаты должны быть равны

• соответствующие координаты должны быть пропорциональны

• невозможно выяснить без чертежа

• Первый раз слышу про такие векторы

Multiple Choice

Если произведение векторов равно нулю, то...

• два вектора равные

• два вектора коллениарные

• два вектора ортогональные

• два вектора сонаправлены

Multiple Choice

Вектор а(1; 2с+1; -2) перпендикулярен вектору в(с; 1; 2с). Найдите значение с.

• -1

• 1

• 2

• -2

Multiple Choice

Известно, что угол между векторами а и в равен 135 градусов. Длина вектора а равна 2, длина вектора в равна 3. Найдите скалярное произведение векторов а и в.

• $$3\sqrt{2}$$

• $$2\sqrt{2}$$

• $$-3\sqrt{2}$$

• $$-\sqrt{2}$$

Multiple Choice

Даны векторы

$$\overrightarrow{а}\ \left(3;-1;\ 4\right),\ \overrightarrow{в}\ \left(2;\ 1;\ 3\right)\ и\ \overrightarrow{с}\ =\overrightarrow{а}\ -\overrightarrow{в.}$$  Найдите косинус угла между векторами с и в.

• $$\frac{\sqrt{21}}{7}$$  

• $$\frac{\sqrt{21}}{2}$$  

• $$\frac{\sqrt{21}}{14}$$  

• $$\frac{\sqrt{21}}{36}$$  

Multiple Choice

Найдите координаты вектора р, если известно, что

$$\overrightarrow{р}\ =2\overrightarrow{а}\ +3\overrightarrow{в}$$   и вектор а = i-j+2k, вектор в=2i+2j.

• (8;-4;-4)

• (-4; 8; 4)

• (8; 4; 4)

Multiple Choice

Найдите координаты вектора q, если известно, чтo

$$\overrightarrow{q}\ =2\overrightarrow{а\ }-3\overrightarrow{в}$$  и вектор а = i-j+2k, вектор в=2i+2j.

• (-4; -8; 4)

• (4; 8; -4)

• (4; 8; 4)

Multiple Choice

Известно, что координаты вектора р(8; 4; 4), а координаты вектора q(-4; -8; 4). Найдите косинус угла между этими векторами.

• 0,5

• 1

• 0

• -0,5

Multiple Choice

Результат скалярного произведения двух векторов есть величина...

• векторная

• числовая

• координатная

• приближенная

Multiple Choice

Найдите координаты вектора  $$\overrightarrow{AB}$$  , если $$A(2;-3;-11)$$  , $$B(3;-5;-7)$$  

• {6; 15; 77}

• {5; -8; -18}

• {1; -2; 4}

• {-1; -2; -4}

Multiple Choice

Найдите длину вектора  $$\overrightarrow{a,}$$  если  $$\overrightarrow{a}\left\{1;\ -1;\ 2\right\}$$  .

• 2

• $$\sqrt{6}$$  

• 4

• 6

Multiple Choice

Найдите длину вектора  $$\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$$ ,если  $$\overrightarrow{a}\left\{1;\ -1;\ 2\right\}\ и\ \overrightarrow{b}\left\{2;\ 2;\ 0\right\}$$  

• $$8\sqrt{3}$$  

• $$6\sqrt{2}$$  

• $$8\sqrt{6}$$  

• $$4\sqrt{6}$$  

Multiple Choice

Если  $$\overrightarrow{a}\left\{-2;\ 1;\ 3\right\},\ \overrightarrow{b}\left\{6;\ 2;\ 0\right\}$$ , то вектор  $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$  имеет координаты

• {4; 3; 3}

• {-4; 3; 0}

• {-3; 2; 3}

• {8; 1; -3}

Multiple Select

Даны 4 точки: А (2; 7; -3); B (1; 0; 3);С (-3; -4; 5); D (-2; 3; -1). Укажите среди векторов AB, BC, DC,AD и BD равные.

• AB=BC

• BC=AD

• DC=AD

• AB=DC

• BD=AB

Fill in the Blank

При каком значении n, данные векторы перпендикулярны: a (2; -1; 3); в (-3; 3; n)

Fill in the Blank

Найдите скалярное произведение векторов а{1, 2, 3} и в{4, -5, -1}

-

Fill in the Blank

При каком значении n векторы коллинеарны, если

а(2; n; 3); в(6; 18; 9)

Fill in the Blank

Найти косинус угла X между векторами CA и CB, если A(1; 3; 0); B(2; 3; -1); C(1; 2; -1)

Multiple Choice

Какая точка принадлежит оси х?

• А (0; 1; 0)

• В (-1; 0; 0)

• С (0; 0; 4)

• P (1; 2; 0)

• K ( 1; 2; -3)

Multiple Select

Какие утверждения верны?

• СС1 $$\perp$$ (DBC)

• DD1 $$\perp$$ (DBC)

• C1B1 $$\perp$$ (АА1D)

• A1D $$\perp$$ (DBC)

Multiple Choice

Дан куб. Какая из данных прямых перпендикулярна плоскости (DCC₁)

• AA₁

• A₁D₁

• D₁B

• BC₁

• BD

Multiple Choice

Дан куб. Какая из данных плоскостей перпендикулярна прямой АС?

• (А₁В₁С₁)

• (АСС₁)

• (ВСС₁)

• (BDD₁)

• (A₁C₁D)

Multiple Choice

Какое из следующих утверждений верно?

• Две прямые перпендикулярные третьей, перпендикулярны между собой

• Две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой

• Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости

• Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, не лежащей в этой плоскости

Multiple Choice

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она

• перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

• перпендикулярна к любой прямой в любой плоскости

• параллельна к любой прямой в этой плоскости

• параллельна к любой прямой в любой плоскости

Multiple Select

Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания:

• Прямые СD и MN скрещивающиеся

• Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости

• Прямые СD и MN пересекаются

• Прямые АВ и СD скрещивающиеся

Multiple Choice

Определите взаимное расположение прямых

• a и b – пересекающиеся прямые

• a и b – параллельные прямые

• a и b – скрещивающиеся прямые

Multiple Choice

Определите взаимное расположение прямых

• a и b – пересекающиеся прямые

• a и b – параллельные прямые

• a и b – скрещивающиеся прямые

Multiple Choice

Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?

• да
• нет

Multiple Choice

Точка А отстоит от плоскости на расстояние 12см. Найдите длины наклонных, проведённых из этой точки, если они образуют с плоскостью углы 30⁰.

• 12

• 24

• нет верного

Multiple Choice

В кубе  точки K, L, F – середины отрезков  ,     соответственно. Найдите угол между прямыми KL и DF.

• 0°

• 45°

• 60°

• 90°

Multiple Choice

Ребро SB пирамиды SABCD, основанием которой служит квадрат ABCD, перпендикулярно плоскости основания. O – точка пересечения диагоналей основания. Расстояние от точки A до плоскости SBD равно длине отрезка

• AB

• AО

• AD

Multiple Select

Выберите несколько вариантов ответа.

Прямая a перпендикулярна плоскости, если она

• перпендикулярна прямой l , лежащей в этой плоскости

• перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости

• перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости

• перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости

Multiple Choice

В пирамиде SABCD, все рёбра которой равны между собой, угол между прямой SC и плоскостью ABC равен

• 30°

• 45°

• 60°

Multiple Choice

В правильной пирамиде SABC точки K и F – середины рёбер AC и BC соответственно. Угол между плоскостями ASF и BSK равен

• 30°

• 45°

• 60°

• 90°

• 120°

Multiple Choice

 Найди скалярное произведение векторов  $$\overrightarrow{u\ \ }\ =\left(3;\ 9\right)$$   и $$\overrightarrow{v\ \ }\ =\left(6;\ 5\right)$$  

• 69

• 63

• 57

• -27

Multiple Choice

Найди скалярное произведение векторов:

• 92

• -4

• -92

• (1, -5)

Multiple Choice

Сторона квадрата ABCD
ABCD равна 1.
Найдите скалярное произведение векторов 

$$\overrightarrow{AD}$$  и  $$\overrightarrow{AC}$$  

• $$\sqrt{2}$$  

• -2

• 1

• 0

Multiple Choice

Найдите скалярное произведение векторов   $$\overrightarrow{a}\$$  и  $$\overrightarrow{b}\$$  , если  $$∣a⃗∣=3,∣b⃗∣=4,∠(a⃗,b⃗)=120∘.$$  

• $$-6\sqrt{3}$$  

• $$-6$$  

• $$6$$  

• $$6\sqrt{3}$$  

Multiple Choice

Найдите сумму векторов ̅а(7;-3) и ̅b(-4;1)

• (3;-2)

• (-3;2)

• -3;-2)

• (1;0)

Multiple Choice

Найдите скалярное произведение векторов ̅a(6;-3) и ̅b(2;-1)

• 13

• 3

• 12

• 15

Multiple Choice

Какие из векторов коллинеарны ̅a(3;6), ̅b(-9;-18), ̅c(1;-4), ̅d(2;0)

• ̅a и ̅с

• ̅a и ̅b

• ̅b и ̅с

• ̅c и ̅d

Multiple Choice

Коллинеарные векторы

• не пересекаются

• обязательно расположены на параллельных прямых

• расположены в разных плоскостях

• расположены на параллельных прямых или на одной прямой

Multiple Choice

Вектор ā(a₁, a₂). По данной формуле вычисляется:

• Координаты вектора

• Длина вектора

• Скалярное произведение векторов

• Угол между векторами

Multiple Choice

Определите угол между векторами АА₁ и ВС

• 180

• 90

• 30

• 45

Multiple Choice

Определите угол между векторами АD и ВB₁

• 180

• 90

• 30

• 45

Multiple Choice

Определите угол между векторами АD и A₁C₁

• 180

• 90

• 30

• 45

Fill in the Blank

ā(5, 6, 1) ē(1, 2, 4). Найдите скалярное произведение векторов ā и ē

Fill in the Blank

ā(1, 1, 1) ē(0, 2, 4). Найдите скалярное произведение векторов ā и ē

Fill in the Blank

ā(2, 6, -9). Найдите длину вектора ā