Γεωμετρία Α' ΓΕΛ 2.16

2.16 Απλές σχέσεις γωνιών

Η απαρχή της έννοιας της γωνίας

Συμπληρωματικές γωνίες

Δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές αν έχουν άθροισμα μία ορθή γωνία.

Καθεμία από αυτές λέγεται και συμπλήρωμα της άλλης, π.χ. οι γωνίες ΑÔΒ και ΒÔΓ είναι συμπληρωματικές.
https://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5705

Παραπληρωματικές γωνίες

Δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές αν έχουν άθροισμα μια ευθεία γωνία. Καθεμία από αυτές λέγεται και παραπλήρωμα της άλλης

Προφανώς τα παραπληρώματα ή συμπληρώματα της ίδιας γωνίας (ή ίσων γωνιών) είναι ίσες γωνίες.
https://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5705

Αν οι εφεξής γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ είναι παραπληρωματικές, το άθροισμά τους ΑÔΓ είναι μία ευθεία γωνία. Επομένως, από τον ορισμό της ευθείας γωνίας οι πλευρές ΟΑ και ΟΓ είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Αντίστροφα: Αν οι εφεξής γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες, τότε από τον ορισμό του αθροίσματος δύο γωνιών προκύπτει ότι το άθροισμα των γωνιών ΑÔΒ και BÔΓ είναι η ευθεία γωνία ΑÔΓ. Άρα, οι γωνίες ΑÔΒ και ΒÔΓ είναι παραπληρωματικές.

Κατακορυφήν γωνίες

Δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν, αν έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης.

Να το αποδείξετε!


https://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5813

Να το αποδείξετε!


https://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5814

Να το αποδείξετε!


https://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5817

Ερωτήσεις Κατανόησης

3. Να γράψετε τρία ζεύγη εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών που υπάρχουν στο διπλανό σχήμα.

​

Ερωτήσεις Κατανόησης

5. Υπάρχει περίπτωση η συμπληρωματική μιας γωνίας να είναι ίση με την παραπληρωματική της;

​

Θεωρήματα

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Θεωρούμε τρεις διαδοχικές γωνίες xÔy, yÔz και zÔt, ώστε xÔz = yÔt. Να δικαιολογήσετε ότι xÔy = zÔt.

​

Ασκήσεις Εμπέδωσης

2. Να υπολογίσετε, σε μέρη ορθής, τη γωνία ω του παρακάτω σχήματος.

​

Ασκήσεις Εμπέδωσης

3. Ένα ρολόι τοίχου δείχνει εννέα η ώρα ακριβώς. Τι γωνία σχηματίζουν οι δείκτες του ρολογιού; Μετά από πόσες ώρες (φυσικό αριθμό) οι δείκτες του ρολογιού θα σχηματίζουν ίση γωνία;

​

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο εφεξής γωνιών σχηματίζουν γωνία ίση με το ημιάθροισμα των γωνιών αυτών.

​
https://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5722

Αποδεικτικές Ασκήσεις

2. Θεωρούμε κυρτή γωνία ΑÔΒ, τη διχοτόμο της ΟΔ και τυχαία ημιευθεία ΟΓ εσωτερική της γωνίας Α'ÔΒ, όπου ΟΑ η αντικείμενη ημιευθεία της ΟΑ. Να αποδείξετε ότι

​