FINAL DE LA OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS COLVM 2019 8 Y 9

1. En el siguiente plano cartesiano se muestran las circunferencias C y C’ con centros en O y O’. Las circunferencias son tangentes en el punto E y O es un punto de C’.

Las coordenadas de O y O’ son (2,2) y (3,2) respectivamente. ¿Cuántas unidades mide el diámetro de C?

• 1

• 2

• 4

• 5

2. Pablo tiene dos dados con forma de cubo, cada cara de los dados está marcada con un

número distinto.

Las caras de uno de los dados están marcadas con los números 2, 4, 6, 8 ,10, 12, respectivamente.

Y las caras del otro dado, están marcadas con los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, respectivamente.

Pablo lanza los dados, luego suma los números marcados en la cara superior de cada uno, y registra el resultado.

¿Cuál de los siguientes resultados es IMPOSIBLE que obtenga Pablo?

• 11

• 13

• 14

• 15

3. En la siguiente figura, el radio de cada uno de los círculos inscritos en los cuadrados mide 1 cm.  
¿Cuál es el área de la región sombreada?

•  $\left(64-16\pi\right)cm^2$  

•  $\left(16-8\pi\right)cm^2$  

•  $\left(64-4\pi\right)cm^2$  

•  $\left(16-2\pi\right)cm^2$  

4. Diego intentó solucionar la ecuación x + 3 = 5 - x, pero en uno de los pasos cometió un error.

Observa su solución.

¿En cuál de los pasos cometió el error?

• En el paso 1

• En el paso 2

• En el paso 3

• En el paso 4

5.  La función f(x) = (x-1)(x+4)(x+2)  permite determinar el volumen en centímetros cúbicos de la caja que se muestra en la figura. ¿Cuál debe ser el valor que debe tomar x en centímetros para que el volumen sea 70 centímetros cúbicos?  

• 4

• 2

• 1

• 3

6. Un hombre tiene plantado en su jardín un árbol de 15 metros de altura que justo a las 4 de la tarde proyecta una sombra de 24 metros de longitud. Debido a que esta sombra no alcanza a cubrir todo el jardín, decide plantar junto a él otro árbol de 10 metros de altura; al otro día, a las 4 de la tarde hace la medición de la sombra del nuevo árbol. El valor obtenido en la medición debe ser

• 16 m

• 24 m

• 26 m

• 36 m

Usando una bomba se va a pasar agua del tanque 1 al tanque 2 que está vacío (ver figura). El agua que está en el tanque 1 alcanza una altura de 1.200 mm. A partir del momento en que se enciende la bomba, la altura del tanque 1 disminuye 10 mm por minuto y la del tanque 2 aumenta 50 mm por minuto.

¿Cuál expresión permite encontrar los minutos (x) que deben transcurrir, a partir del momento en que se enciende la bomba, para que la altura del agua en los dos tanques sea la misma?

• $1200-10x=50x$

• $1200+30x=30x$

• $x+x=50+10$

• $600-x=x$

Para cercar un jardín se compraron dos tipos de malla, A y B. Del tipo A, dos rollos de 25,5 metros cada uno, y del tipo B, dos rollos cada uno con 7 metros de malla menos que un rollo del tipo A. ¿Cuál de los siguientes procedimientos permite determinar correctamente la cantidad de metros comprados para cercar el jardín?

• $\left(2\ x\ 25,5\right)+2\ x\ \left(25,5+7\right)$

• $2\ x\ \left[25,5-7\right]$

• $2\ x\ \left[2\ x\ \left(25,5\right)-\left(2\ x\ 7\right)\right]$

• $\left(2\ x\ 25,5\right)+2\ x\ \left(25,5-7\right)$

9. En la tabla se presentan las frecuencias en hertz de la nota musical “La”. A menudo se le denomina “nota de afinar”. Se produce un “La de afinar” cuando el aire vibra 440 veces por segundo, es decir, a 440 hertz. Como se ve en la tabla, esta nota se encuentra en la tercera octava.

NOTA: en música, una octava es el intervalo que separa dos sonidos cuyas frecuencias tienen una relación del doble.

Para calcular la frecuencia en hertz en la cuarta octava se debe multiplicar 110 con

• $2^3$

• $2^4$

• $3^2$

• $4^2$

10. Los siguientes son criterios para determinar si un número es divisible o no por 2 y por 3:

• Un número es divisible por 2 si termina en un número par.

• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo, 621 es divisible

por 3 porque al sumar sus cifras (6 + 2 + 1), el resultado es 9, que es múltiplo de 3.

Ahora, un número es divisible por 6 si cumple las condiciones para que sea divisible por 2 y por 3. Según la información anterior, una razón correcta para determinar si 1.036 será divisible o no por 6 es:

• A. No es divisible por 6, ya que tiene dos cifras que no son pares, 1 y 3.

• A. Sí es divisible por 6, pues su última cifra es 6 y, por ende, múltiplo de 6.

• No es divisible por 6, porque la suma de sus cifras es 10, que no es múltiplo de 3.

• Sí es divisible por 6, porque el último dígito es par y también es múltiplo de 3.