Pola dan Barisan Bilangan

Temukan hasil dari 398² – 397²!

(a)  

Answer explanation

Gunakan sifat:
(a² - b²) = (a + b) (a - b)

sehingga,

398² - 397²
= (398 + 397) x (398 - 397)
= 795 x 1
= 795

Hasil dari 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ adalah ...

(a)  

Answer explanation

Berdasarkan sifat : a³ + b³ +c³ +d³ = (a+b+c+d)²

maka,

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ = (1+2+3+4+5+6+7+8)² = 36² = 1296

Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang

habis dibagi 7.

(a)  

Answer explanation

Jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis

dibagi 7 adalah 252 + 259 + 266 + ... + 994.

Deret bilangan ini merupakan deret arimetika dengan

a = 252, b = 7, dan Un = 994 sehingga

Un = a + (n – 1) * b

􀂾 994 = 252 + (n – 1) * 7

􀂾 994 = 252 + 7n – 7

􀂾 994 = 245 + 7n

􀂾 7n = 994 – 245

􀂾 7n = 749

􀂾 n = 107

Sn = n/2 * (a + Un) maka

S107 = 107/2 * (252 + 994) = 66661

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan

dengan S_n = 5n² – 4n. Tentukanlah suku ke-n deret

tersebut.

(a)  

Answer explanation

Jumlah n suku pertama adalah :

S_n = 5n2 – 4n

Jumlah (n – 1) suku pertama adalah :

S_n–1 = 5(n – 1)² – 4(n – 1) = 5(n² – 2n + 1) – 4(n – 1)

= 5n² – 10n + 5 – 4n + 4

= 5n² – 14n + 9

U_n = S_n – S_n–1 = (5n² – 4n) – (5n² – 14n + 9)

= 5n² – 4n – 5n² + 14n – 9

= 10n – 9

Jadi, suku ke-n deret tersebut adalah U_n = 10n – 9.

Sebuah perusahaan mobil mainan memproduksi 3.000 buah

mobil mainan di tahun pertama produksinya. Karena permintaan

konsumen setiap tahunnya meningkat, perusahaan tersebut

memutuskan untuk mening katkan jumlah produksinya dengan

menambah produksi mobil mainan sebanyak 10% dari produksi

awal tiap tahunnya. Tentukanlah:

a. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan;

b. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai dengan

tahun kedelapan.

(a)  

Answer explanation

Diketahui:

Suku pertama (a) = 3.000

Beda (b) = 10% × 3.000 = 300

n = 8

a. Menentukan U₈ dengan menggunakan rumus

U_n = a + (n – 1) * b

U₈ = a + (8 – 1) * b

= a + 7b

= 3.000 + 7 (300) = 5.100

Jadi, jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun

kedelapan adalah 5.100 buah.

b. Menentukan S8 dengan menggunakan rumus

S_n = n/2 * (a + U_n)

S₈ = 8/2 * (3.000 + U₈)

= 4 (3.000 + 5.100)

= 32.400

Jadi, jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai

tahun kedelapan adalah 32.400 buah.

Tentukan suku ke-8 dari barisan 2, 6, 18, 54, ..., 39.366

(a)  

Answer explanation

Diketahui: a = 2

sehingga, r = U₂/U₁ = 6/2 atau U₃/U₂ = 18/6

maka r = 3

Karena U_n = a.r^n–1

maka U₈ = 2 × 3^8–1 = 2 × 3⁷ = 4.374.

Jadi, suku ke-8 = 4.374.

Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan Sⁿ = 2³ⁿ – 1.

Tentukan suku ke-n deret tersebut.

(untuk jawaban pangkat n diganti pangkat x)

Mathematical Equivalence

ON

Answer explanation

Bu Aminah membeli mobil baru seharga Rp 200.000.000,00.

Mobil tersebut mengalami depresiasi (penurunan harga jual)

sebesar 20% pada setiap akhir 1 tahun. Berapa rupiah harga jual

mobil tersebut pada akhir tahun keenam?

(tidak perlu mencantumkan Rp)

(a)  

Answer explanation

Diketahui:

Harga mobil baru Rp 200.000.000,00

Depresiasi 20% atau 0,2 setiap akhir 1 tahun

Maka,

􀀩􀁂􀁓􀁈􀁂􀀁􀁋􀁖􀁂􀁍􀀁􀁎􀁐􀁃􀁊􀁍􀀁􀁑􀁂􀁅􀁂􀀁􀁂􀁌􀁉􀁊􀁓􀀁􀁕􀁂􀁉􀁖􀁏􀀁􀁌􀁆􀁔􀁂􀁕􀁖􀀁􀁂􀁅􀁂􀁍􀁂􀁉􀀁

U₂ = 200.000.000 – 0,2 (200.000.000) (gunakan sifat distributif)

= 200.000.000 (1 – 0,2)

= 0,8 × 200.000.000 (Harga jual mobil akhir tahun pertama)

􀀩􀁂􀁓􀁈􀁂􀀁􀁋􀁖􀁂􀁍􀀁􀁎􀁐􀁃􀁊􀁍􀀁􀁑􀁂􀁅􀁂􀀁􀁂􀁌􀁉􀁊􀁓􀀁􀁕􀁂􀁉􀁖􀁏􀀁􀁌􀁆􀁅􀁖􀁂􀀁􀁂􀁅􀁂􀁍􀁂􀁉􀀁

U₃ = 0,8 × 200.000.000 – 0,2 (0,8 × 200.000.000) (gunakan sifat distributif)

= 0,8 × 200.000.000 (1 – 0,2)

= 0,8 × 200.000.000 (0,8)

= (0,8)² × 200.000.000

􀀩􀁂􀁓􀁈􀁂􀀁􀁋􀁖􀁂􀁍􀀁􀁎􀁐􀁃􀁊􀁍􀀁􀁑􀁂􀁅􀁂􀀁􀁂􀁌􀁉􀁊􀁓􀀁􀁕􀁂􀁉􀁖􀁏􀀁􀁌􀁆􀁕􀁊􀁈􀁂􀀁􀁂􀁅􀁂􀁍􀁂􀁉

U4 = (0,8)² × 200.000.000 – 0,2 (0,8² × 200.000.000) (gunakan sifat distributif)

= (0,8)² × 200.000.000 (1 – 0,2)

= (0,8)² × 200.000.000 (0,8)

= 0,8³ × 200.000.000

Sehingga diperoleh :

U1, U2, U3, U4 = 200.000.000, 0,8 × 200.000.000, (0,8)² × 200.000.000, (0,8)³ × 200.000.000

Karena a = 200.000.000, r = 0,8, maka
U_n = a x r^n-1

U₇ = 200.000.000 x (0,8)^7-1

= 200.000.000 x (0,8)⁶

= 54.428.800

Jadi, harga jual mobil pada akhir tahun keenam adalah

Rp52.428.800,00.

Perhatikan pola yang dibentuk dari potongan lidi berikut!

Banyak potongan lidi pada pola ke-55 adalah ...

(a)  

Answer explanation

Dari gambar, dapat kita hitung banyak persegi dan lidi yang digunakan.
Pola (1)= ada 1 persegi dan 4 lidi,
Pola (2)= ada 2 persegi dan 7 lidi,
Pola (3)= ada 3 persegi dan 10 lidi,

Jika kita teruskan maka akan kita peroleh;
Pola (4)= ada 4 persegi dan 13 lidi,
Pola (5)= ada 5 segitiga dan 16 lidi,

Banyak lidi yang digunakan pada pola ke-5555 adalah suku ke-5555 dari barisan aritmatika berikut:
4, 7, 10, 13, 16,⋯
U_n = a + (n−1)*b

a = 4; b = 7 − 4 = 3; n = 55, maka

U₅₅ = 4 + (55−1)*3

= 4 + 162

=166

Jumlah bilangan kelipatan 33 dan 44 antara 200 dan 300 adalah...

(a)  

Answer explanation