Vlastnosi funkcí - opakování pro 3. ročník

Vyberte funkci, která je rostoucí.

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Funkce je rostoucí, pokud pro všechna x₁ < x₂ platí f(x₁) < f(x₂). Zkrátka, s rostoucí hodnotou na ose x musí růst i hodnota na ose y. Z uvedených křivek to splňuje pouze ta zelená.

Pozor na chyták u modré křivky, funkce musí být rostoucí v celém definičním oboru (tj. spňovat výše uvedenou podmínku neustále). Nemůže si tedy najednou "odskočit" směrem dolů (okolí x = 0).

Vyberte funkci, která je klesající.

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Funkce je klesající, pokud pro všechna x₁ < x₂ platí f(x₁) > f(x₂). To znamená, že když se na ose x posouváme doprava (hodnota x roste), musí hodnota na ose y neustále klesat. Z uvedených křivek to splňuje pouze ta modrá.

Pozor na chyták u zelené křivky, funkce musí být klesající v celém definičním oboru (tj. splňovat výše uvedenou podmínku neustále). Nemůže tedy najednou "odskočit" směrem nahoru (okolí x = 0).

Vyberte funkci, která není monotónní (není ani rostoucí ani klesající):

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Funkce se nazývá monotónní (přesněji ryze monotónní), pokud na celém svém definičním oboru buď pouze roste, nebo pouze klesá. Zkrátka si po celou dobu musí "vybrat jen jeden směr".

U červené křivky (paraboly) vidíme, že v levé části grafu klesá a od svého vrcholu začíná naopak růst. Protože nesplňuje podmínku jednoho směru, není monotónní. Ostatní křivky tuto podmínku splňují (modrá a žlutá neustále rostou, zelená neustále klesá).

Vyberte funkci, která je sudá:

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Graf sudé funkce je osově souměrný podle svislé osy y. Matematicky se to zapisuje tak, že pro každé x z definičního oboru platí f(-x) = f(x). Tuto osovou souměrnost splňuje pouze modrá křivka.

Všimněte si zelené a červené křivky. Ty jsou středově souměrné podle počátku soustavy souřadnic (bodu [0; 0]), což je naopak typický znak funkce liché (f(-x) = -f(x)).

Vyberte funkci, která je lichá:

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic (bodu [0; 0]). Matematicky se to zapisuje tak, že pro každé x z definičního oboru platí f(-x) = -f(x). Tuto vlastnost splňuje pouze žlutá přímka.

Pozor na chyták - všechny uvedené funkce jsou sudé (grafy osově souměrné podle osy y). Žlutá funkce (konstantní funkce y = 0) je tedy současně sudá i lichá.

Vyberte funkci, která není ani sudá ani lichá:

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Graf sudé funkce je osově souměrný podle svislé osy y, graf liché funkce je středově souměrný podle počátku [0; 0].

Zelená, modrá i žlutá funkce některou z těchto symetrií splňují.

Červená parabola je sice osově souměrná, ale její osa souměrnosti se nekryje s osou y.

U funkcí tohoto typu platí, že jakmile jejich graf takto horizontálně posunete mimo osu y, ztratí svou symetrii a tím pádem přestávají být sudé nebo liché.

Vyberte funkci, která je omezená zdola:

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Funkce je omezená zdola, pokud existuje nějaká hodnota (vodorovná čára), pod kterou její graf nikdy neklesne.

Tuto podmínku splňuje graf zelené funkce y = x^-2. Jejím oborem hodnot jsou kladná reálná čísla, nemůže tedy nikdy nybýt hodnoty 0 nebo záporné.

Vyberte funkci, která je omezená shora:

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Funkce je omezená shora, pokud existuje nějaká hodnota (vodorovná čára), nad kterou její graf nikdy nevystoupá.

Tuto podmínku splňuje pouze modrá parabola. Jelikož se otevírá směrem dolů, dosahuje svého maxima ve vrcholu (v bodě [0; 0]) a do kladných hodnot už nikdy nezasáhne.

Naproti tomu zelená i červená funkce mají větve, které rostou neomezeně nahoru do plus nekonečna, a žlutá přímka také roste do nekonečna.

Vyberte funkci, která je omezená:

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Abychom o funkci mohli říct, že je omezená (bez dalšího přívlastku), musí splňovat dvě věci najednou: musí být omezená zdola i shora.

Žlutá vodorovná přímka představuje konstantní funkci. Její graf nikam neroste ani neklesá, drží se na jedné hodnotě. Tím pádem logicky nepřekročí žádnou hranici směrem nahoru ani dolů – je omezená.

U ostatních funkcí vždy najdeme alespoň jednu část (větev), která neomezeně utíká buď do plus nekonečna (modrá), do minus nekonečna (zelená), nebo oběma směry jako u červené křivky.

Vyberte funkci, která není omezená:

• ███████

  modrá

  ███████

• ███████

  zelená

  ███████

• ███████

  žlutá

  ███████

• ███████

  červená

  ███████

Answer explanation

Aby byla funkce omezená, musí být omezená shora i zdola současně.

U zelené, žluté i modré funkce to platí.

Naopak u červené paraboly vidíme, že je sice omezená zdola, ale její ramena letí neomezeně vzhůru. Proto jako jediná z nabídky není omezená.