Free Printable Ober- und Untersumme ans Integral annähern bei f(x)=x²

1.

$O_n=\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{2}{n}\right)+\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{3}{n}\right)+...+\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{n}{n}\right)$

a)

Aufstellen der Gleichung für Berechnung mit Streifenmethode jeweils im Abstand von $\frac{1}{n}$

b)

Multiplikation der drei hinteren Faktoren mit jeweils einem $\frac{1}{n}$ ; sodass: $\frac{Faktor}{n}$

2.

$=\ \frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2+\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{3}{n}\right)^2+...+\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{n}{n}\right)^2$

a)

Ausschreibung der Funktionsgleichung für jedes $f\left(\frac{a}{n}\right)$ zu $\left(\frac{a}{n}\right)^2$

b)

Kürzen und Umschreibung zu Summen natürlicher Zahlen und $\frac{1}{n}$ - Brüche

3.

$=\left(\frac{1}{n}\right)^3\cdot1^2+\left(\frac{1}{n}\right)^3\cdot2^2+\left(\frac{1}{n}\right)^3\cdot3^2+...\left(\frac{1}{n}\right)^3\cdot n^2+$

a)

Zusammenfassen zu Potenzen mit dem Exponenten $\left(\frac{1}{n}\right)^3$ und überbleibenden Quadraten aus natürlichen Zahlen als Faktoren

b)

Ersetzen der Summe aller Quadrate der natürlichen Zahlen von 1 bis n

4.

$=\left(\frac{1}{n}\right)^3\cdot\left(1^2+2^2+3^2+...+n^2\right)$

a)

Ausklammern von $\left(\frac{1}{n}\right)^3$ als Faktor vor Summe aller Quadrate der natürlichen Zahlen von 1 bis n

b)

Ausschreibung der Funktionsgleichung für jedes $f\left(\frac{a}{n}\right)$ zu $\left(\frac{a}{n}\right)^2$

5.

$=\left(\frac{1}{n}\right)^3\cdot\frac{1}{6}\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)$

a)

Ersetzen der Summe aller Quadrate der natürlichen Zahlen von 1 bis n $\frac{1}{6}\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)$

b)

Zusammenfassen zu Potenzen mit dem Exponenten $\left(\frac{1}{n}\right)^3$ und überbleibenden Quadraten aus natürlichen Zahlen als Faktoren

6.

$=\frac{1}{6}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2n+1}{n}$

a)

Multiplikation der drei hinteren Faktoren mit jeweils einem $\frac{1}{n}$ ; sodass: $\frac{Faktor}{n}$

b)

Kürzen und Umschreibung zu Summen natürlicher Zahlen und $\frac{1}{n}$ - Brüche

7.

$=\frac{1}{6}\cdot1\cdot\left(1\cdot\frac{1}{n}\right)\cdot\left(2+\frac{1}{n}\right)$

a)

Kürzen und Umschreibung zu Summen natürlicher Zahlen und $\frac{1}{n}$ - Brüche

b)

Ausklammern von $\left(\frac{1}{n}\right)^3$ als Faktor vor Summe aller Quadrate der natürlichen Zahlen von 1 bis n

8.

$Bei\ \ n\longrightarrow\infty:\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{6}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(2+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{6}\cdot1\cdot2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

a)

Bilden des Limes für n gegen unendlich, das heißt $\frac{1}{\infty}$ so klein, dass es wegfällt, Rest ausrechnen

b)

Aufstellen der Gleichung für Berechnung mit Streifenmethode jeweils im Abstand von $\frac{1}{n}$

9.

Worin liegt der Unterschied in der Berechnung des Grenzwertes der Obersumme zu der des Grenzwertes der Untersumme?

a)

Es wird nicht mit $\frac{1}{n}$ als erster x-Wert begonnen, sondern mit $\frac{0}{n}$

b)

Statt $\frac{n}{n}$ als höchster x-Wert wird $\frac{n-1}{n}$ verwendet,

c)

Es ergeben sich nachher negative Brüche bei dem Einsetzen der Formel für die Summe aller natürlichen Quadrate von $1$ bis $n-1$ ; also: $\frac{1}{6}\cdot\left(1+\frac{-1}{n}\right)\cdot\left(2+\frac{-1}{n}\right)$

d)

Es wird am Ende nicht mit $\frac{1}{6}\cdot1\cdot2$ sondern mit $\frac{1}{9}\cdot1\cdot3$ gerechnet

Ober- und Untersumme ans Integral annähern bei f(x)=x²

Total questions: 9

Worksheet time: 5mins

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