$Αν\ η\ \ f\ είναι\ παραγωγίσιμη\ στο\ x_{o\ },$  
 $τότε\ η\ f΄\ είναι\ πάντοτε\ συνεχής\ στο\ x_o.$  

 $Αν\ η\ f\ έχει\ δεύτερη\ παράγωγο\ στο\ x_o,τότε\ η\ f΄\ είναι\ συνεχής\ στο\ x_o.$  

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση $y=f\left(x\right)$  , όταν f είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο  $x_o$  , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο  $x_o$   την παράγωγο  $f'\left(x_o\right)$  

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο  $x_o$  , τότε η συνάρτηση f⋅g είναι παραγωγίσιμη στο  $x_o$  και ισχύει :  $\left(f\cdot g\right)'\left(x_o\right)=f'\left(x_o\right)\cdot g'\left(x_o\right)$  

Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

 $f\left(x\right)=\sqrt{x}$  

Έστω η συνάρτηση . H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+∞) και ισχύει  $f'\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x}}$  

Ο συντελεστής διεύθυνσης λ, της εφαπτομένης στο σημείο Α(x₀, f(x₀)), της γραφικής παράστασης C_f μιας συνάρτησης f, παραγωγίσιμης στο σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της είναι λ = f΄(x₀).

Έστω η συνάρτηση f(x) = συνx , όπου x ∈ IR . H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f ΄(x) = − ημx.

Έστω συνάρτηση f(x) = εφx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR 1=ΙR– {x/συνx = 0} και ισχύει  $f'\left(x\right)=\frac{1}{συν^2x}$  

Ισχύει ο τύπος $\left(3^x\right)'\ =\ x\cdot3^{x-1}$ 

, για κάθε x ∈ IR .

Αν μια πραγματική συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x₀, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x₀

Ισχύει $\left(σφx\right)'\ =\ \frac{1}{ημ^2x}\ ,\ x\in R-\left\{x\ ,\ ώστε\ ημx=0\right\}$  

Έστω f, g παραγωγίσιμες συναρτησεις στο R , με

Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο $x_o$  , ισχύει  $\left(f\cdot g\right)'\left(x_o\right)=f'\left(x_o\right)\cdot g\left(x_o\right)-f\left(x_o\right)\cdot g'\left(x_o\right)$  

Αν ισχύει $\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_o\right)}{x-x_o}=+\infty$ , τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο  $x_o$  . 

Έστω f, g παραγωγίσιμες συναρτησεις στο R , με

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, z συνδέονται με τη σχέση $$z=f\left(x\right)$$  , όταν f είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $$x_o$$  , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του z ως προς το x στο σημείο  $$x_o$$   την παράγωγο  $$f'\left(x_o\right)$$  

Αν µία συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x₁ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.